2023-2024学年湖南省长沙市雅礼中学高二（下）期中数学试卷（含答案）

2023-2024学年湖南省长沙市雅礼中学高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知在单调递增的等差数列中，与的等差中项为，且，则的公差( )
A. B. C. D.
4.已知，，则( )
A. B.
C. D.
5.已知某一家旗舰店近五年“五一”黄金周期间的成交额如下表：
年份
年份代号
成交额万元
若关于的线性回归方程为，则根据回归方程预测该店年“五一”黄金周的成交额是( )
A. 万元 B. 万元 C. 万元 D. 万元
6.已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
7.设某直角三角形的三个内角的余弦值成等差数列，则最小内角的正弦值为( )
A. B. C. D.
8.设曲线与函数的图像关于直线对称，设曲线仍然是某函数的图像，则实数的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中正确的是( )
A. 线性回归分析中可以用决定系数来刻画回归的效果，若的值越小，则模型的拟合效果越好
B. 已知随机变量服从二项分布，若，，则
C. 已知随机变量服从正态分布，若，则
D. 已知随机事件，满足，则
10.已知定义在上的函数，满足对任意的实数，，均有，且当时，，则( )
A. B.
C. 函数为减函数 D. 函数的图象关于点对称
11.已知点，，分别为双曲线的左、右焦点，为的右支上一点，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.平面向量，满足，，，则 ______．
13.已知函数，则的最大值为______．
14.已知正实数，，满足，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
请将上表数据补充完整，并写出函数的解析式直接写出结果即可；
根据表格中的数据作出在一个周期内的图象；
求函数在区间上的值域．
16.本小题分
已知函数．
求证：当时，曲线与直线只有一个交点；
若既存在极大值，又存在极小值，求实数的取值范围．
17.本小题分
某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了名同学在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表：
一周参加体育锻炼次数 合计
男生人数
女生人数
合计
若将一周参加体育锻炼次数为次及次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”请完成以下列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；
性别 锻炼 合计
不经常 经常
男生
女生
合计
若将一周参加体育锻炼次数为次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题以样本频率估计概率，在全校抽取名同学，其中“极度缺乏锻炼”的人数为，求和；
若将一周参加体育锻炼次或次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，在样本的名“运动爱好者”中，随机抽取人进行访谈，设抽取的人中男生人数为，求的分布列和数学期望．
附：，．
18.本小题分
已知圆与轴交于点，且经过椭圆的上顶点，椭圆的离心率为．
求椭圆的方程；
若点为椭圆上一点，且在轴上方，为关于原点的对称点，点为椭圆的右顶点，直线与交于点，的面积为，求直线的斜率．
19.本小题分
在空间直角坐标系中，任一平面的方程都能表示成，其中，，，，，且为该平面的法向量．
已知集合，，，
，
，，．
设集合，记中所有点构成的图形的面积为，中所有点构成的图形的面积为，求和的值；
记集合中所有点构成的几何体的体积为，中所有点构成的几何体的体积为，求和的值；
记集合中所有点构成的几何体为．
求的体积的值；
求的相邻有公共棱两个面所成二面角的大小，并指出的面数和棱数．
参考答案
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15.解：由表格知，，函数的周期，
则，
显然，解得，
所以，
数据补全如下表：
由，得在一个周期内的图象，如图，
当时，则，
因此，有，
所以函数在区间上的值域为．
16.解：当时，函数，求导得：，
令，得；令，得；
则函数在上递增，在上递减，
故，
所以曲线与直线只有一个交点．
函数的定义域为，
求导得，
设，
令，解得，．
因为既存在极大值，又存在极小值，即在有两个变号零点，
则，解得且，
综上所述：的取值范围为．
17.解：列联表如下：
性别 锻炼 合计
不经常 经常
男生
女生
合计
零假设为：性别与锻炼情况独立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关，
根据列联表的数据计算，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过；
因学校总学生数远大于所抽取的学生数，
故近似服从二项分布，随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率，
，
故，
；
名“运动爱好者”有名男生，名女生，服从超几何分布，的可能取值为，，，，
，
，
故所求分布列为：


．
18.解：因为圆与轴交于点，
所以，即，
所以圆的方程为：，令，可得或，
由题意可得，
离心率，可得，
所以椭圆的方程为：；
设，由题意可得，，
由题知且，
则，，
由，解得，，
即，
又因为，
即，
又，，
直线的斜率或．
19.解：集合表示平面上所有的点，
，，表示这八个顶点形成的正方形内所有的点，
而可以看成正方形在平面上的截面内所有的点，
发现它是棱长为的正方形，，
对于，当，，时，
表示经过，，的平面在第一象限的部分，
由对称性可知表示，，，
这六个点形成的八面体内所有的点，
而可以看成正八面体在平面上的截面内所有的点，
它是边长为的正方形，．
记集合，中所有点构成的几何体的体积分别为，，
考虑集合的子集，，，，
即为三个坐标平面与转成的四面体，
四面体四个顶点分别为，，，，
此四面体的体积为，
由对称性知，
考虑到的子集构成的几何体为棱长为的正方体，
即，，，
，，，，
为截去三棱锥所剩下的部分，
的体积，
三棱锥的体积为，
的体积为，
由对称性知．
记集合中所有点构成的几何体为，如图，
其中，正方体即为集合所构成的区域，
构成了一个正四棱锥，其中到面的距离为，
，
的体积．
由题意面的方程为，由题干定义知其法向量为，
面方程为，由题干定义知其法向量为，
，
由图知两个相邻的面所成角为钝角，
相邻两个面所成角为，
由图知共有个面，条棱．
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