2023-2024学年山东省淄博四中高一（下）第三次月考数学试卷（含答案）

2023-2024学年山东省淄博四中高一（下）第三次月考数学试卷
一、选择题（第1-8题每题5分，第9-11题每题6分，共58分）
1.已知实数，满足其中为虚数单位，则复数的共轭复数为( )
A. B. C. D.
2.如图，为水平放置的的直观图，其中，，则在原平面图形中有( )
A. B. C. D.
3.已知两条直线，，两个平面，，则下列命题正确的是( )
A. 若且，则 B. 若且，则
C. 若且，则 D. 若且，则
4.在中，角，，所对的边分别为，，，若，则为( )
A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等边三角形
5.在空间四边形中，，分别为，上的点，且：：：，，分别为，的中点，则( )
A. 平面且为矩形
B. 平面且为梯形
C. 平面且为菱形
D. 平面且为平行四边形
6.已知函数部分图象如图所示，下列说法正确的是( )
A. 的图象关于点对称
B. 的图象关于直线对称
C. 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象
D. 若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是
7.已知各棱长均相等的正四棱锥各顶点都在同一球面上，若该球表面积为，则正四棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
8.已知函数的定义域为，在定义域内存在唯一，使得，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
9.在复平面内，复数为虚数单位对应的点分别为，，，下列描述正确的是( )
A.
B.
C. 若是关于的实系数方程的一个根，则，
D. 若复数满足，则的最大值为
10.在中，角所对的边分别为，，，给出下列四个命题中，其中正确的命题为( )
A. 若：：：：，则：：：：
B. 若，则
C. 若，，，则这个三角形有两解
D. 当是钝角三角形．则
11.如图，已知正方体中为线段的中点，为线段上的动点，则下列四个结论正确的是( )
A. 不存在点，使平面
B. 三棱锥的体积不随动点变化而变化
C. 直线与所成的角可能等于
D. 不存在点，使平面
二、填空题（每题5分，共15分）
12.设是不共线的两个向量，若，，三点共线，则的值为______．
13.中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作提出“幂势既同，则积不容异”“幂”是截面积，“势”是几何体的高，详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等，上述原理在中国被称为祖暅原理一个上底面边长为，下底面边长为，高为的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为______．
14.山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标如图，其主体建筑采用与地形吻合的矩形设计，将数学符号“”完美嵌入其中，寓意无限未知、无限发展、无限可能和无限的科技创新如图，为了测量科技馆最高点与其附近一建筑物楼顶之间的距离，无人机在点测得点和点的俯角分别为，，随后无人机沿水平方向飞行米到点，此时测得点和点的俯角分别为和在同一铅垂面内，则，两点之间的距离为______米
三、解答题（共77分）
15.（13分）如图，正方形是圆柱的轴截面，是圆柱的母线，圆柱的体积为．
求圆柱的表面积；
若，求点到平面的距离．
16.（15分）已知向量，，，设函数 ．
求 的最小正周期；
求函数 的单调递减区间；
求 在上的最大值和最小值．
17.（15分）在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足．
求角的大小；
若，，求的面积．
18.（17分）如图，在四棱锥中，，，，为棱的中点，平面．
求证：平面；
求证：平面平面；
若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．
19.（17分）设为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”．
设函数，求的“相伴向量”；
记的“相伴函数”为，若函数，与直线有且仅有四个不同的交点，求实数的取值范围；
已知点满足，向量的“相伴函数”在处取得最大值当点运动时，求的取值范围．
参考答案
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14.
15.解：设圆柱的底面半径为，则，解得．
则圆柱的表面积为．
连接，因为，，所以，
设点到平面的距离为，
易知，，，平面，，
所以平面，因为平面，所以，
所以，
，，
因为，所以．
即，解得．
16.解：向量，，，
函数
，
的最小正周期为；
由正弦函数的单调性，
令，；
解得，；
函数 的单调递减区间为，；
时，，
此时，
时取得最大值，
时取得最小值．
17.解：在中，由，则，
由余弦定理知：，
所以，
因为，
所以；
因为，，所以，
即，
由正弦定理，
由，所以，，
由，，
解得：或，
即或，
当时，，
在中，由正弦定理，，
所以，
所以；
当时，三角形为等边三角形，，
．
综上：当时，；当时，．
18.证明：连接，
因为，，且是的中点，
所以，，
所以四边形是平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面．
证明：在直角梯形中，，
所以，，
所以，即，
因为平面，平面，
所以，
又，、平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面．
解：因为平面，，
所以由三垂线定理知，，
所以就是二面角的平面角，即，
所以，
所以，
由知，平面平面，
所以直线与平面所成角即为，
在中，，
故直线与平面所成角的正弦值为．
19.解：，
所以函数的“相伴向量”．
由题知：．
可求得在单调递增，单调递减，单调递增，单调递减，
且，，，，，
图象与有且仅有四个不同的交点，
，
所以，实数的取值范围为；
，
其中，，，
当，即时，取得最大值．
此时，
令，则由知：，解得，
，因为在上单调递增，
所以在上单调递减，从而
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