2023-2024学年广东省深圳市育才中学高一（下）段考数学试卷（二）（含答案）

2023-2024学年广东省深圳市育才中学高一（下）段考数学试卷（二）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.是虚数单位( )
A. B. C. D.
2.已知向量，若，则的值为( )
A. B. C. D.
3.已知直线和平面、，则下列结论一定成立的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
4.若一个圆台的正视图如图所示，则其侧面积等于( )
A. B. C. D.
5.对小时内降水在平地上的积水厚度进行如下定义：
小雨 中雨 大雨 暴雨
小明用一个圆锥形容器接了小时的雨水，则这一天的雨水属于哪个等级( )
A. 小雨 B. 中雨 C. 大雨 D. 暴雨
6.在正三棱台中，已知，侧棱的长为，则此正三棱台的体积为( )
A. B. C. D.
7.在中，角，，所对的边分别为，，，且若有两解，则的值可以是( )
A. B. C. D.
8.已知四面体的各顶点均在球的球面上，平面平面，，，则球的表面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列有关复数的说法中其中为虚数单位，正确的是( )
A. B. 复数的虚部为
C. 对任意复数都有 D. 复数为实数的充要条件是
10.已知向量，，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则与夹角的余弦值为
B. 若，则
C. 若，则与夹角为锐角
D. 向量在上的投影向量是
11.正方体中，，分别为棱和的中点，则下列说法正确的是( )
A. 平面 B. 平面
C. 异面直线与所成角为 D. 平面截正方体所得截面为等腰梯形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数满足，则的模为______．
13.已知，为单位向量，且它们之间的夹角为，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为______．
14.如图所示，平行四边形形状的纸片是由六个边长为的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示的六面体，则该六面体的体积为______；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，，，且．
求的值；
求向量与向量夹角的余弦值．
16.本小题分
如图，已知四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱底面，且，为侧棱的中点．
求证：平面；
求三棱锥的体积．
若为侧棱的中点，求证：平面．
17.本小题分
四棱锥中，，，．
求证：平面平面；
当平面时，求直线与平面所成的角的正切值．
18.本小题分
设内角，，的对边分别为，，，已知．
求角；
若，求的面积；
求的周长的取值范围．
19.本小题分
如图，在平行四边形中，，，以为折痕将折起，使点到达点的位置，且．
证明：平面平面；
为线段上一点，为线段上一点，且．
求三棱锥的体积；
求二面角的余弦值．
参考答案
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15.解：因为，，，，
所以，，
因为，所以，解得．
由，，
设与的夹角为，
则，
所以向量与向量夹角的余弦值为．
16.解：证明：连接交于，连接，
为侧棱的中点，是的中点，
，
平面，平面，
平面．
为侧棱的中点，
到平面的距离等于到平面的距离的一半，
到平面的距离，
．
．
证明：设为侧棱的中点，连结，，
为侧棱的中点，为侧棱的中点，
，
，
，，
四边形为平行四边形，
，
平面，平面，
平面．
17.解：证明：取中点，
因为，
所以，
因为，，，
所以四边形是正方形，
所以，，
所以，
，
，
在中，，
所以，
在中，，
所以，
又，
所以面，
又面，
所以平面平面．
如图建立空间直角坐标，
所以，，，，，
，
设平面的法向量，
，即，
所以，
令，则，，
所以，
设直线与平面所成的角为，
，，
，
．
18.解：因为，
由正弦定理可得，
而在三角形中，，
所以，，
可得，，
解得；
因为，，
由余弦定理可得，
即，解得，
所以；
由余弦定理可得，
即，
可得，即，
在三角形中，，
所以
即的周长范围为
19.解：证明：在平行四边形中，，，
又且，
面，面，
平面平面；
，，，
，
由得，又，面，
三棱锥的体积，
．
在中，过作交于点，
过作交于点由Ⅰ知平面平面，
平面平面，，平面，
，平面，平面，
，
又，，平面，平面，
，就是二面角的平面角．
又易求得，又，，，
在中，，，
，
，
在中，由正弦定理有，即，
，
中，，且，
在中，，
在中，，，
所以二面角大小的余弦值．
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