高一数学 参考答案
一、选择题 每题 4 分
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 C C A B C C B B D
二、填空题 每题 4 分
10. i 311. 0 12. 13. 12 14. 15. 4
6 2
三、解答题
16.（本小题满分 10分）
解：（Ⅰ）由 a :b : c 1: 2 : 3，
2 2 2
得 cos A b c a 6 ，...............................4分
2bc 3
2 2 3
（Ⅱ）因为 sin A cos A 1,得sin A ，............5分
3
且sin 2A 2sin Acos A 2 2 ，.............................6分
3
cos2A 1 2cos2 A 1 ，.........................................7分
3
sin(2A ) sin 2Acos cos2Asin ....................8分
4 4 4
4 2
.......................................................10分
6
17.（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）因为bsin A 3csin B，则ba 3cb，..............1分
即 a 3c，且 a 3，
则 c 1，..................................................................2分
2
又b a2 c2 2ac cosB，..............................4分
解得b 6 ；.........................................................6分
5
（Ⅱ）因为 sin 2 B cos2 B 1,得 sin B ，...............8分
3
1
{#{QQABJYoAogCoAIAAAQgCQQFKCgCQkBEAAYgORBAEMAAAABFABAA=}#}
所以 ABC的面积为 S 1 ac sin B 5 。.............10分
2 2
（18）（本小题满分10分）
z
C C1
D D1
B
B1 y
O
A A1
x
（Ⅰ）依题意，以点 B为原点建立空间直角坐标系（如图），
可得 A(2,0,0)，B(0,0,0)，B1(0,2,0) C(0,0,1)，C1(0,2,1)，D(1,0,1)，O(1,1,0)。
因为 AD ( 1,0,1) ,...................................................................................................1分
若OC ( 1, 1,1) ,OC1 ( 1,1,1) ,
设 n (x, y, z)为平面COC1的法向量，
OC n 0 x y z 0
则 即 ,
OC1 n 0 x y z 0
不妨令 y 1，可得 n (1,0,1)为平面COC1的一个法向量，.............................3分
若 AD n 0，则 AD n，
且 AD 平面COC1，..............................................................................................4分
则 AD //平面COC1；..............................................................................................5分
（Ⅱ）因为OC1 ( 1,1,1)， AB1 ( 2,2,0) , AC ( 2,0,1) ,
设m (x, y, z)为平面 AB1C的法向量，
2
{#{QQABJYoAogCoAIAAAQgCQQFKCgCQkBEAAYgORBAEMAAAABFABAA=}#}
AB m 0 2x 2y 0
则 1 即 ,
AC m 0 2x z 0
不妨令 y 1，可得m (1,1,2)为平面COC1的一个法向量，....................7分
cos OC m OC1 m 2则 1 ,................................................................9分
OC1 m 3
则直线OC1与平面 AB1C
2
所成角的正弦值为 。.............................10分
3
（19）（本小题满分10分）
（Ⅰ）依题意，以点C 为原点建立空间直角坐标系（如图），
可得 A(0,0,0)， B(2,0,0)，C(1, 2,0)，D(0, 2,0)， P(0,0,2)。
z
y
x
因为BD ( 2, 2,0)， PC (1, 2, 2)，...............2分
且BD PC x1x2 y1y2 z1z2 0，..........................3分
所以BD PC；
（Ⅱ）因为向量 PA (0,0, 2), PC (1, 2, 2)，
2z 0
设 n (x, y, z)为平面 PAC PA n 0
的法向量，则 即 ,
PC n 0 x 2y 2z 0
不妨令 y 1，
可得n ( 2,1,0)为平面 PAC 的一个法向量，.....................4分
又因为向量 PD (0, 2, 2)， PC (1, 2, 2)，
3
{#{QQABJYoAogCoAIAAAQgCQQFKCgCQkBEAAYgORBAEMAAAABFABAA=}#}
m (x, y, z) PCD PD m 0
x 2y 2z 0
设 为平面 的法向量，则 即
PC m 0 2y 2z 0
不妨令 z 1，
可得m (0, 2,1)为平面 PCD的一个法向量,............................5分
cos n m n m 2 ，.........................................................6分
n m 3
2
则二面角 A PC D的余弦值 ；
3
（Ⅲ））设Q(x, y, z)，则 PQ PD( 0,1 ) ,.................7分
即 (x, y, z 2) (0, 2, 2)，
x 0
解得 y 2 ，Q(0, 2 ,2 2 )，...................................8分
z 2 2
且 AQ (0, 2 ,2 2 )， n ( 2,1,0)为平面 PAC 的一个法向量，
cos n AQ n AQ 2 ,
n AQ 3
2
解得 2（舍）， ，.................9分
3
PQ 2
则 。.........................................10分
PD 3
4
{#{QQABJYoAogCoAIAAAQgCQQFKCgCQkBEAAYgORBAEMAAAABFABAA=}#}天津市红桥区2023-2024学年下学期期末质量调查
高一数学
本试卷分第1卷（选择题）和第川物（非选择题)两部分，共100分，粤试用时90分钟，
窑卷前，考生务必将自己的姓名、准考导填写在容题卡上，井在规定位置帖贴身试用条形网，
答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试艳上的无效，
祝各位考生考试顺利！
参考公式：
柱体的体积公式”住体=Sh,其中S表示柱体的底面积，h瘦示柱体的高。
锥体的体积公式
体=了Sh，其中5表示锥体的底面积，h发示维体的离。
球的体积公式
”球了？，其中R费示球的半径。
4
第1卷
注意幕项：
1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的管案标号涂黑。如需改动，用掠皮
擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共9题，每小题4分，共36分。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
(1)
已知a∈R，i为虚数单位，若8-为实数，则a=
2+i
(A)-1
B)1
(C)-2
D)2
(2)设向量a=(m,1),b=(1,2),若a1b,则m=
1
(C)-2
(D)2
高一数学第1页共7页
(3)设m,n是两条不同的直线，a,B,Y是三个不同的平面，则下列命题为真命翅的是
(A)若a∥B,B∥y,m⊥a，则m⊥Y
B)若a⊥y,B⊥y,则a∥B
(C)若mc&,n∥a,则m∥n
(D)若a∩B=n,mHn,则m∥a,m∥B
(4)已知圆柱的底面半径和高都是2，则圆柱的侧面积是
(A)4π
B)8π
(C)12π
(D)16π
(5)已知平面a裁球O的球面所得圆的面积为π，O到a的距离为】，则球O的裘面积为
(A)2π
(B)4r
(C)8π
D)16π
(6)如国：一个水平放置的三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形AB'O',若O'B'=2,
则原△ABO的面积是
(A)2V2
B)4
(C)42
D)8V2
(7)已知向量a=(c,2,-1,b=(2,4,-2),若a1∥b,则x=
(A)-1
B)1
(C)-5
D)5
G(8)在△ABC中，D是BC中点，AB=2,BC=3,AC=4,则AD·AB=
19
(A)
19
(B)
4
7
(C)
2
高数学第2项共7顶
一一地44L底四
(9)如图，在正方体ABCD一A,B,CD,中，M,N分别为AB,BB,的中点，则直线AM与CN
所成角的余弦值为
D
B
(A)
5
v10
2
(B)
10
(C)
3-5
(D)
2-5
第1卷
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.
(10)已知为虚数单位，则1-i
1+i
(11)化简AC-BD+CD-AB=
(12)一个正方体的表面积为6，若一个球内切于该正方体，则此球的体积是
(13)若圆锥的底面半径为3，侧面积为15π，则该圆锥的体积为
(14)已知三校谁P-ABC四个项点在球面上，PA=PB=PC,△ABC是边长为√2的正
三角形，E,F分别是PA,AB的中点，∠CEF=90°，则此球的半径是
已点0是A4BC内部=点，清足0A+20B=m0C,=奥实数m为
SMEC
高一→数学第3页共7页
