2014—2015学年广东省广州市高二水平测试数学试题（含答案）

2014年广州市高中二年级学生学业水平测试 数学
选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.
1、已知集合，，则.
2、下列函数中，与函数定义域相同的函数为.
3、设是等差数列的前项和，已知，，则.
4、某几何体的三视图及其尺寸如图所示，则这个几何体的体积是.
5、将函数的图像向左平移个单位，得到函数
的图像，则下列说法正确的是.
的最小正周期为 是偶函数
的图像关于点对称 在区间上是减函数
6、已知，则下列不等关系式中正确的是.
7、在中，已知，，则.
设满足约束条件 则的最小值为
设为定义在上的奇函数，当时，（为常数），则的值为
小李从甲地到乙地的平均速度为，从乙地到甲地的平均速度为，他往返甲乙两地的平均速度为，则
填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.
11、过点且与直线平行的直线方程是
12、如图，在半径为的圆内随机撒粒豆子，有粒落在阴影部分，
据此估计阴影部分的面积为
13、执行如图所示的程序框图，则输出的的值是
14、在中，已知，，，则的长为
解答题：本大题共6小题，满分80分.解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程.
15、（本小题满分12分）
实验室某一天的温度（单位：）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系：.
求实验室这一天上午10点的温度；
当为何值时，这一天中实验室的温度最低.
16、（本小题满分12分）
近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理， ( http: / / www.21cnjy.com )将生活垃圾分为“厨余垃圾”、“可回收垃圾”、“有害垃圾”和“其他垃圾”等四类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾的正确分类投放情况，现随机抽取了该市四类垃圾箱总计100吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：
“厨余垃圾”箱 “可回收垃圾”箱 “有害垃圾”箱 “其他垃圾”箱
厨余垃圾 24 4 1 2
可回收垃圾 4 19 2 3
有害垃圾 2 2 14 1
其他垃圾 1 5 3 13
试估计“可回收垃圾”投放正确的概率；
试估计生活垃圾投放错误的概率.
17、（本小题满分14分）
如图所示，四棱锥中，底面为矩形，
，，点为的中点.
求证：；
求证：.
18、（本小题满分14分）
已知直线与圆相交于不同两点，.
求实数的取值范围
是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出的
值；若不存在，请说明理由.
19、（本小题满分14分）
已知等差数列的公差为，且，，成等比数列.
求数列的通项公式；
设数列的前项和为，求证：.
20、（本小题满分14分）
已知，函数.
当时，求函数的单调递增区间；
求函数的零点个数.
2014年广州市高中二年级学生学业水平测试
数学参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D C C D D C B A D
二、填空题
11、 12、 13、 14、
三、解答题
15、解：（1）依题意
实验室这一天上午10点，即时，，
所以上午10点时，温度为.
（2）因为，所以，
令，即，所以
故当时，即时，取得最小值，
故当时，这一天中实验室的温度最低。
16、解：（1）依题意得，“可回收垃圾”共有（吨）
其中投放正确的，即投入了“可回收垃圾”箱的有吨
设事件为“可回收垃圾投放正确”
所以，可估计“可回收垃圾”投放正确的概率为
（2）据数据统计，总共抽取了吨生活垃圾
其中“厨余垃圾”，“可回收垃圾”，“有害垃圾”，“其他垃圾”投放正确的数量
分别为24吨，19吨，14吨，13吨。
故生活垃圾投放正确的数量为吨
所以，生活垃圾投放错误的总量为吨
设事件“生活垃圾投放错误”
故可估计生活垃圾投放错误的概率为
17、证明：（1）连交于,连
为矩形，为中点
，∥
,，∥面（2），
为矩形，
，
，
,为中点，
，
，
解：（1）圆的圆心，，到直线距离为
直线与圆相交，
，或
（2）为圆上的点，的垂直平分线过圆心，与垂直
而，，，
符合（1）中的或
存在，使得过的直线垂直平分弦
19、解：（1）为等差数列，，
成等比数列
，故有，
解得，.
（2）
①
②
①②得
.
，.
20、解：（1）当时，
当时，，的对称轴为
所以，的单调递增区间为
当时，，的对称轴为
所以，的单调递增区间为
（2）令，即，
求函数的零点个数，即求与的交点个数；
当时，，的对称轴为
当时，，的对称轴为
①当时，，
故由图像可得，
与只存在一个交点.
②当时，，且，
故由图像可得，
当时，，
与只存在两个交点；
当时，，
与只存在一个交点；
当时，，
与只存在三个交点.
③当时， ，
故由图像可得，
与只存在一个交点.
综上所述：当时，存在三个零点；
当时，存在两个零点；
当时，存在一个零点.