2023—2024 学年度第二学期阶段性质量监测参考答案
高二年级 数学学科
一、选择题:
题 号 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)
答 案 C D A B A C D B B C
二、填空题:
3 + 2 3
(11)4; (12)18; (13)2.2; (14)1; (15) .
3
三、解答题:(其他正确解法请比照给分)
6 r
a a
(16)解:(Ⅰ) r 6 r r 6 2r r x + 展开式的通项为Tr+1 = C6 x = C6 x a ,
x x
取 r = 3 得到常数项为C3 a3 = 20a3 = 160 ,解得 a = 2. …………………6 分 6
5
2 a (Ⅱ)因为(x + m) x + 的展开式中各项系数的和为 3,
x
所以令 x = 1,得(m +1)(1 2)= 3,解得 m = 2. …………………9 分
5 r
2 2
因为 x 的展开式为T = Cr 5 r r+1 5x ,r = 0,1,2,3,4,5.
x x
3 2
2 3 2 2 2 3 2 则展开式中含 x 的项为 x C5x + 2 C5 x = 0 ,故 x 的系数为 0.
x x
…………………14 分
(17)解:(Ⅰ)(i)设“在 1 次游戏中摸出 i 个白球”为事件 Ai(i = 0,1,2,3),
C2 C1 1
则 P(A3)=
3 2 = . …………………3 分
C25 C
2
3 5
数学试卷参考答案 第1页(共5页)
{#{QQABBYgEogiIAIAAAQgCQQkKCgOQkBEACYgOgAAMMAAAgBFABAA=}#}
(ii)设“在 1 次游戏中获奖”为事件 B,则 B = A2∪A3,
C2 2 C1C C
1
C1 1
P(A )= 3 2 + 3 2 2 = , …………………6 分 2
C2 C2 C2 C25 3 5 3 2
又 A2,A3互斥,
1 1 7
所以 P(B)= P(A )+ P(A )= + = . …………………8 分 2 3
2 5 10
(Ⅱ)由题意可知 X 的所有可能取值为 0,1,2.
2
7 9 7 7 21
P(X = 0)= 1 = , P(X =1)= C
1
2 1 = ,
10 100 10 10 50
2
7 49
P(X = 2)= = . …………………13 分
10 100
所以 X 的分布列是
X 0 1 2
P 9 21 49
100 50 100
9 21 49 7
X 的数学期望 E(X)= 0 +1 + 2 = . …………………15 分
100 50 100 5
(18)解:(Ⅰ)因为曲线 f(x)= ex 2 + ax 2a 在点(2,1)处的切线与直线 y = 2x 平行,
故曲线 f(x)= ex 2 + ax 2a 在点(2,1)处的切线的斜率为 2,
因为 f (x)= ex 2 + a,所以 f (2)= e0 + a = 1 + a = 2, …………………4 分
所以 a = 1. …………………5 分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 y = f(x) x + 3 = ex 2 + 1,可得 y = ex 2 , …………………6 分
设切点坐标为(x ,ex0 2 + 1),可得切线方程为 y (ex0 2 + 1)= ex0 20 (x x0) ,
数学试卷参考答案 第2页(共5页)
{#{QQABBYgEogiIAIAAAQgCQQkKCgOQkBEACYgOgAAMMAAAgBFABAA=}#}
把(0,0)代入方程,可得 0 (ex0 2 + 1)= ex0 2 x0 2 (0 x0),即(x0 1)e = 1,…………9 分
令 g(x)=(x 1)ex 2 1,g (x)= xex 2 ,
当 x ( ∞,0)时,g (x)<0,g(x)在( ∞,0)单调递减;
当 x (0,+ ∞)时,g (x)>0,g(x)在(0,+ ∞)单调递增.
又 x ( ∞,0]时,g(x)<0,x (0,+ ∞)时,g(2)= 0,
所以 x0 = 2,所以切线方程为 y (e0 0 + 1) = e (x 2),即 y = x . …………………15 分
1 1
(19)解:(Ⅰ)因为道路 D,E 上班时间往返出现拥堵的概率分别是 和 ,
10 5
1 1 1 1 3
因此从甲到丙遇到拥堵的概率是: × + × = , …………………4 分
2 10 2 5 20
3 17
故李先生的小孩能够按时到校的概率是 1 = . …………………6 分
20 20
17 17
(Ⅱ)甲到丙没有遇到拥堵的概率是 ,丙到甲没有遇到拥堵的概率也是 ,
20 20
1 1 1 1 1 1 2
甲到乙遇到拥堵的概率是 × + × + × = , …………………10 分
3 10 3 10 3 5 15
2 13
甲到乙没有遇到拥堵的概率是 1 = , …………………11 分
15 15
17 17 13 3757
所以李先生上班途中均没有遇到拥堵的概率是 × × = <0.7,
20 20 15 6000
所以李先生没有七成把握能够按时上班. …………………15 分
(20)解:(Ⅰ)因为 f(x) = x(1 alnx),则 f (x) = 1 a alnx,x (0,+∞),
①当 a = 0 时,f (x)>0,此时 f(x)单调递增,无极值; …………………2 分
1 a 1 a
②当 a > 0 时,令 f (x)>0,得0 x e a ;令 f (x)<0,得 x e a ,
数学试卷参考答案 第3页(共5页)
{#{QQABBYgEogiIAIAAAQgCQQkKCgOQkBEACYgOgAAMMAAAgBFABAA=}#}
1 a 1 a
所以 f(x)在(0 , e a )上单调递增,在(e a , + )上单调递减,
1 a 1 a
所以 f(x) = f(e a )= ae a ,无极小值; …………………5 分
极大值
1 a 1 a
③当 a < 0 时,令 f (x)>0,得 x e a ;令 f (x)<0,得0 x e a ,
1 a 1 a
所以 f(x)在(0 , e a )上单调递减,在(e a , + )上单调递增,
1 a 1 a
所以 f(x) = f(e a )= ae a ,无极大值. …………………7 分
极小值
1 a 1 a
综上,当 a = 0 时,函数 f(x)无极值;当 a> 0 时, f(x) = f(e a )= ae a ,无极小值;极大值
1 a 1 a
当 a < a a 0 时, f(x) = f(e )= ae ,无极大值. 极小值
x ln x ln x
(Ⅱ)由 f(x)≤ ,得 1 + alnx≥ 0,x (1,+∞),
x 1 x 1
(ax a +1)ln x x +1
即 ≥ 0.
x 1
设 g(x)=(ax a +1)ln x x +1,x (1,+∞), …………………8 分
e 2
当 x (1,+∞)时,需 g(x)≥0.由 g(e)= ae a e + 2≥ 0,得 a≥ 0,
e 1
…………………9 分
1 a 1 a
g (x)= a ln x + + a 1,设 h(x)= g (x)= a ln x + + a 1,
x x
ax + a 1
则 h (x)= , h (1)= 2a 1, …………………10 分
x2
1 ax + a 1 1 a
①当 a ≥ 时,由 h (x)= 0 ,得 x ,
2 x2 a
1 1 a
因为 a ≥ ,所以 ≤1,
2 a
所以当 x (1,+∞)时,则 h (x)>0,h(x)即 g (x)为增函数,
则 g (x)>g (1)= 0,g(x)为增函数,
1
则 g (x)>g (1)= 0,所以 a ≥ 符合条件. …………………13 分
2
数学试卷参考答案 第4页(共5页)
{#{QQABBYgEogiIAIAAAQgCQQkKCgOQkBEACYgOgAAMMAAAgBFABAA=}#}
1 ax + a 1 1 a
②当 0 a 时,由 h (x)= 0,得 x ,
2 x2 a
1 1 a 1 a
因为 0 a ,所以 1,所以当 x 1 , 时,h (x)>0,
2 a a
则 h(x)即 g (x)为减函数,则 g (x)<g (1)= 0,g(x)为减函数,
则 g (x)<g (1)= 0,不符合条件. …………………15 分
1
综上所述,a 的取值范围为 , + . …………………16 分
2
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{#{QQABBYgEogiIAIAAAQgCQQkKCgOQkBEACYgOgAAMMAAAgBFABAA=}#}2023一2024学年度第二学期阶段性质量监测
高二年级
数学学科
本试卷分第1卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分,考试时间100分钟,
國
一、
选择题:本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的.
如
(1)己知集合A={0,1,2,3},B={1,0,1},C=AnB,则集合C的子集个数为():
(A)2
(B)3
(C)4
(D)8
剧
(2)已知正实数a,b,则“2a+b=4”是“ab≥2”的().
(A)充分不必要条件
(B)必要不充分条件
长
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
(3)函数(x)=的大致图象为().
解
(B)
杯
相
(C)
(4)已知a=1.30.1,b=log25,c=log42√2,则().
(A)a
(B)c(C)c(D)a数学试卷
第1页(共8页)
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(5)某统计部门对四组数据进行统计分析后,获得如图所示的散点图.
35
35
9
20
10
5
101520253035
5
101520253035
相关系数为
相关系数为3
35
35
02505
20
10
0
5
5101520253035
101520253035
相关系数为乃
相关系数为r4
下面关于相关系数的比较,正确的是(
(A)2(B)r2(C)4<2(D)r4(6)函数y=log,(4+3x-x2)的单调增区间是(·.
A
(7)根据分类变量x与y的观察数据,计算得到K2=2.974.
依据下面给出的临界值表,
P(K2≥ko)
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
ko
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
可知下列判断中正确的是(
(A)有95%的把握认为变量x与y独立
(B)有95%的把握认为变量x与y不独立
(C)变量x与y独立,这个结论犯错误的概率不超过10%
(D)变量x与y不独立,这个结论犯错误的概率不超过10%
数学试卷
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(8)长时间玩手机可能影响视力,据调查,某学校学生中,大约有二的学生每天玩手机超
过1,这些人近视率约为乞
,其余学生的近视率约为,】
现从该校任意调查一名学生,他近
视的概率大约是().
(B)
2-5
(c)
16
(D)
7-8
(9)三人踢毽子,互相传递,每人每次只能踢一下,由甲开始踢,经过4次传递后,毽子
又被踢回甲,则不同的传递方式共有().
(A)12种
(B)6种
(C)5种
(D)4种
(10)
已知函数f(x)=
2,x≤0,g=|xx-2训,若方程f八g)+gw-a=0的所有
Inx,x>0,
实根之和为4,则实数a的取值范围是().
(A)(1,+o)
(B)[1,+o)
(C)(仁o,1)
(D):(o,1]
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