初中数学人教版八年级下18.2.3 特殊的平行四边形 正方形的判定同步（分层）练习（第6课时）（含答案）

第6课时 正方形的判定
基础知识夯实
知识沉淀
正方形的判定方法：
(1)一组邻边 的 是正方形.
(2)一个角是 的 是正方形.
基础过关
1.满足下列条件的四边形是正方形的是 ( )
A.对角线互相垂直平分的平行四边形
B.对角线互相平分且相等的矩形
C.对角线互相垂直平分的菱形
D.对角线互相垂直平分且相等的四边形
2.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC 的垂直平分线 EF 交 BC 于点D,交AB于点E,且BE=BF,请你添加一个条件 ，使四边形 BECF 是正方形.
典型案例探究
知识点 正方形的判定
【例题】已知,如图,点 D是△ABC的边AB 的中点,四边形 BCED 是平行四边形.
(1)求证：四边形ADCE是平行四边形；
(2)在△ABC中,若 AC=BC,则四边形 ADCE 是 ；(只写结论，不需证明)
(3)在(2)的条件下,当AC⊥BC时,求证:四边形ADCE是正方形.
【变式】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,过点 C的直线MN∥AB,D 为AB 上一点,过点 D 作 DE⊥BC,交直线 MN于点E,垂足为F,连接CD,BE.
(1)当点 D 是 AB 的中点时,四边形 BECD 是什么特殊四边形 说明你的理由；
(2)在(1)的条件下,当∠A= 时,四边形BECD 是正方形.
课后作业
A 组
1.从如图①②③④中选择一块拼图板可与左边图形拼成一个正方形，正确的选择为 ( )
A.① B.② C.③ D.④
2.要使菱形ABCD成为正方形，需要添加的条件是( )
A. AB=CD B. AD=BC
C. AB=BC D. AC=BD
3.已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中正确的有 ( )
①当AB=BC时,它是菱形;②当AC⊥BD时,它是菱形;③当∠ABC=90°时,它是矩形;④当AC=BD时，它是正方形.
A.3个 B.4个 C.1个 D.2个
4.从下列四个条件:①AB=AD;②∠ABC=90°;③AC=BD;④AC⊥BD 中选两个作为补充条件,使□ABCD为正方形，请填上一种你认为正确的选择
5.如图,在矩形ABCD中,M,N分别是边AD,BC的中点,E,F 分别是边 BM,CM 的中点,当AB:AD= 时,四边形 MENF 是正方形.
6.如图, 在 △ABC 中, 在 △ACB = 90°, CD 平 分△ACB,DE⊥AC于点E,DF⊥BC于点F.
求证：四边形CEDF是正方形.
7.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BD是∠ABC的平分线，过点A作AE∥BC交BD的延长线于点E，过点 E 作 EF⊥BC交其延长线于点F.
求证：四边形ABFE是正方形.
B 组
8.如图,已知:在四边形ABFC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线EF 交 BC 于点D,交 AB 于点E,且CF=AE.
(1)试判断四边形 BECF 是什么四边形 并说明理由；
(2)当∠A的大小满足什么条件时，四边形 BECF 是正方形 请回答并证明你的结论.
A
9.如图，BD是△ABC的角平分线，它的垂直平分线分别交 AB,BD,BC 于点E,F,G,连接 ED,DG.
(1)求证:△EFD≌△GFB;
(2)试判断四边形EBGD 的形状，并说明理由；
(3)当△ABC满足条件 时,四边形 EBGD是正方形.(不用说明理由)
C 组
10.如图，以△ABC的各边，在边 BC 的同侧分别作三个正方形ABDI,BCFE,ACHG.
(1)求证:△BDE≌△BAC;
(2)求证:四边形 ADEG 是平行四边形;
(3)直接回答下面两个问题，不必证明：
①当△ABC 满足什么条件时,四边形 ADEG 是矩形；
②当△ABC满足什么条件时，四边形 ADEG 是正方形.
第6 课时 正方形的判定
【基础知识夯实】
知识沉淀
(1)相等 矩形 (2)直角 菱形
基础过关
1. D 2. AC=BC(答案不唯一)
【典型案例探究】
例题 (1)证明：∵四边形 BCED是平行四边形，
∴BD∥CE,BD=CE.
∵D是AB的中点,∴AD=BD.
∴AD=CE.
又∵BD∥CE,∴四边形ADCE是平行四边形.
(2)矩形
(3)证明:∵AC⊥BC,∴∠ACB=90°.
∵在 Rt△ABC中,D是AB 的中点,
∵在△ABC中,AC=BC,D是AB 的中点,
∴CD⊥AB.∴∠ADC=90°.
∴平行四边形 ADCE 是正方形.
变式 解:(1)当点 D 是AB 的中点时,四边形 BECD 是菱形，理由如下：
∵DE⊥BC,∴∠DFB=90°.
∵∠ACB=90°,∴∠ACB=∠DFB.
∴AC∥DE.
∵MN∥AB,即CE∥AD,
∴四边形ADEC是平行四边形.∴CE=AD.
∵D为AB中点,∴AD=BD.∴BD=CE.
∵BD∥CE,∴四边形 BECD是平行四边形.
∵∠ACB=90°,D为AB中点,
∴四边形 BECD 是菱形.
(2)45°
【课后作业】
1. C 2. D3. A
4.①②(答案不唯一)
5.1: 2
6.证明:∵CD平分∠ACB,DE⊥AC,DF⊥BC,∴DE=DF,∠DFC=∠DEC=90°.
又∵∠ACB=90°,
∴四边形CEDF 是矩形.
∵DE=DF,
∴矩形CEDF是正方形.
7.证明:∵AE∥BC,∠ABC=90°,
∴∠ABC+∠BAE=180°.
∴∠BAE=90°.
∵EF⊥BC于点F,∴∠F=90°.
∵∠F=∠ABC=∠BAE=90°,
∴四边形 ABFE 是矩形.
∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC=45°.
∴∠AEB=∠EBF=45°.∴∠ABE=∠AEB=45°.
∴AB=AE.
∴四边形 ABFE 是正方形.
8.解:(1)四边形 BECF 是菱形.
理由如下：如图，∵EF垂直平分BC，∴BF=FC,BE=EC.
∴∠3=∠1.
∵∠ACB=90°,
∴∠3+∠A=90°,∠1+∠2=90°.
∴∠2=∠A.∴EC=AE.
∴BE=AE.
∵CF=AE,∴BE=EC=CF=BF.
∴四边形BECF是菱形.
(2)当∠A=45°时,菱形 BECF 是正方形.
理由如下:∵∠A=45°,∠ACB=90°,如图,
∴∠3=45°.∴∠1+∠4=45°.∴∠EBF=90°.
∴四边形 BECF 是正方形.
9.(1)证明:∵EG 垂直平分BD,∴EB=ED,GB=GD.
∴∠EBD=∠EDB.
∵∠EBD=∠DBC,∴∠EDF=∠GBF.
在△EFD和△GFB中, ∴△EFD≌△GFB.
(2)解:四边形EBGD是菱形.
理由如下:由(1)知,△EFD≌△GFB,∴ED=BG.
∴BE=ED=DG=GB.
∴四边形EBGD 是菱形.
(3)∠ABC=90°.
10.(1)证明:∵四边形 ABDI、四边形 BCFE、四边形ACHG都是正方形,
∴AC=AG,AB=BD,BC=BE,∠GAC=∠EBC=∠DBA=90°.
∴∠ABC=∠EBD(同为∠EBA的余角).
在△BDE 和△BAC中.
∴△BDE≌△BAC(SAS).
(2)证明:∵△BDE≌△BAC,
∴DE=AC=AG,∠BAC=∠BDE.
∵AD 是正方形ABDI 的对角线,
∴∠BDA=∠BAD=45°.
∵∠EDA=∠BDE-∠BDA=∠BDE-45°,
∠DAG=360°-∠GAC-∠BAC-∠BAD
=180°.
∴DE∥AG.
∴四边形 ADEG 是平行四边形(一组对边平行且相等).
(3)①当∠BAC=135°时,平行四边形 ADEG 是矩形;②当∠BAC=135°且. 时,四边形 ADEG是正方形.