初中数学人教版八年级下册18.2.1矩形的判定同步（分层）练习（第2 课时）（含答案）

第2 课时矩形的判定
基础知识夯实
知识沉淀
矩形的判定方法：
(1)有一个角是直角的 是矩形.
(2)对角线 的平行四边形是矩形.
(3)三个角都是 的四边形是矩形.
基础过关
1.下列命题中正确的是 ( )
A.对角线相等的四边形是矩形
B.对角线互相垂直的四边形是矩形
C.对角线相等的平行四边形是矩形
D.对角线互相垂直的平行四边形是矩形
2.如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，应添加的条件是 (只需填一个你认为正确的条件即可).
典型案例探究
知识点1 矩形的判定
【例题1】如图,在 Rt△ABC中,∠ACB=90°,分别以AC,BC 为底边,向△ABC外部作等腰△ADC 和△CEB,点 M为AB 中点,连接 MD,ME,分别与AC,BC交于点F和点G.求证:四边形MFCG是矩形.
【变式1】如图,在四边形 ABCD中,AC,BD 相交于点O,且AO=CO,AB∥CD.
(1)求证:AB=CD;
(2)若∠OAB=∠OBA,求证:四边形 ABCD 是矩形.
知识点2 探索矩形的条件
【例题2】如图,在△ABC 中,点 O是AC 边上一个动点,过点 O 作直线MN∥BC,设 MN交∠BCA 的平分线于点E，交∠DCA的平分线于点F.
(1)求证:EO=FO;
(2)当点 O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形 并证明你的结论.
【变式2】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD 相交于点O,点E,F分别为OB,OD的中点,延长 AE 至G,使EG=AE,连接CG.
(1)求证:△ABE≌△CDF;
(2)当线段AB 与线段AC 满足什么数量关系时，四边形 EGCF是矩形 请说明理由.
课后作业
A 组
1.如图,平行四边形 ABCD 的对角线 AC 与BD 相交于点O，要使它成为矩形，需再添加的条件是 ( )
A. AO=OC
B. AC=BD
C. AC⊥BD
D. BD平分∠ABC
2.检查一个门框(已知两组对边分别相等)是不是矩形，可用的方法是 ( )
A.测量两条对角线是否相等
B.用重锤线检查竖门框是否与地面垂直
C.测量两条对角线是否互相平分
D.用曲尺测量两条对角线是否互相垂直
3.在四边形ABCD中,AC,BD交于点 O,在下列各组条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是 ( )
A. AB=CD,AD=BC,AC=BD
B. AO=CO,BO=DO,∠A=90°
C.∠A=∠C,∠B+∠C=180°,AC⊥BD
D.∠A=∠B=90°,AC=BD
4.顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形一定是 .
5.在四边形ABCD中,AD∥BC,∠D=90°,如果再添加一个条件，可以得到四边形ABCD 是矩形，那么可以添加的条件是 .(不再添加线或字母，写出一种情况即可)
6.如图,在四边形 ABCD 中,∠B=∠C,点 E,F分别在边AB,BC上,AE=DF=DC.
(1)求证：四边形 AEFD是平行四边形；
(2)当∠FDC与∠EFB满足什么数量关系时，四边形 AEFD是矩形
7.如图,在△ABC 中,D 是 BC 边上的一点,E 是AD的中点，过A 点作BC 的平行线交CE 的延长线于点F,且AF=BD,连接BF.
(1)求证:BD=CD;
(2)如果AB=AC,试判断四边形 AFBD的形状,并证明你的结论.
B 组
8.如图,在△ABC中,AD,BE分别是边 BC,AC上的中线,AD 与BE 交于点O,点 F,G 分别是 BO,AO的中点,连接DE,EG,GF,FD.
(1)求证:FG∥DE;
(2)若AC=BC,求证:四边形EDFG是矩形.
9.如图,已知△ABC为等边三角形,CF∥AB,点 P 为线段AB 上任意一点(点 P 不与A,B重合),过点 P作PE∥BC,分别交AC,CF于点G,E.
(1)四边形 PBCE是平行四边形吗 为什么
(2)求证:CP=AE;
(3)试探索:当 P 为AB 的中点时,四边形 APCE 是什么样的特殊四边形 并说明理由.
C 组
10.(1)已知矩形 ABCD 和点 P,当点 P 在边 BC 上时[如图(1)],求证:
(2)请你探究：当点 P 分别在图(2)、图(3)中的位置时，(1)中的结论是否成立 并证明你的结论.
第 2 课时 矩形的判定
【基础知识夯实】
知识沉淀
(1)平行四边形 (2)相等 (3)直角
基础过关
1. C 2. AC=BD(或∠ABC=90°,答案不唯一)
【典型案例探究】
例题1 证明:连接CM.
∵Rt△ABC中,∠ACB=90°,M为AB 中点,
∴点 M在线段AC 的垂直平分线上.
∵在等腰△ADC中,AC为底边,∴AD=CD.
∴点 D 在线段AC 的垂直平分线上.
∴MD 垂直平分AC.∴∠MFC=90°.
同理,∠MGC=90°.又∠ACB=90°,
∴四边形 MFCG 是矩形.
变式1 证明:(1)∵AB∥CD,∴∠OAB=∠OCD.
在△OAB和△OCD 中.
∴△OAB≌△OCD.∴AB=CD.
(2)∵AB∥CD,AB=CD,
∴四边形ABCD 是平行四边形.
∵∠OAB=∠OBA,∴OA=OB.∴AC=BD.
∴平行四边形ABCD是矩形.
例题2(1)证明:如图,∵CE平分∠BCA,∴∠1=∠2.
又∵MN∥BC,
∴∠1=∠3.
∴∠3=∠2.
∴EO=CO.
同理,FO=CO.
∴EO=FO.
(2)解:当点 O 运动到AC 中点时，四边形 AECF 是矩形.理由如下：
∵OA=OC,EO=FO,
∴四边形AECF是平行四边形.
∵CF是∠DCA 的平分线,∴∠4=∠5.
又∵∠1=∠2,∴∠1+∠5=∠2+∠4.
又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°,∴∠2+∠4=90°.
∴平行四边形 AECF 是矩形.
变式2 (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD,AB∥CD,OB=OD,OA=OC.
∴∠ABE=∠CDF.
∵点E,F分别为OB,OD的中点,
在△ABE和△CDF中,
∴△ABE≌△CDF(SAS).
(2)解:当AC=2AB时,四边形 EGCF 是矩形,理由如下：
∵△ABE≌△CDF,
∴AE=CF,∠AEB=∠CFD.
又EG=AE,∠GEF=∠AEB=∠CFD,
∴EG=CF,EG∥CF.
∴四边形 EGCF 是平行四边形.
当AC=2AB时,可得AB=AO,
又点 E为OB 的中点,则AE⊥OB,从而∠GEF=90°,
∴平行四边形 EGCF 是矩形.
【课后作业】
1. B 2. A 3. C
4.矩形
5. AD=BC(答案不唯一)
6.(1)证明:∵DF=DC,∴∠DFC=∠C.
∵∠B=∠C,∴∠DFC=∠B.∴AE∥DF.
∵AE=DF,∴四边形AEFD是平行四边形.
(2)解:当∠FDC=2∠EFB时,四边形AEFD是矩形,理由如下：
∵2∠DFC+∠FDC=180°,∠FDC=2∠EFB,
∴2∠DFC+2∠EFB=180°.
∴∠DFC+∠EFB=90°.
∵四边形 AEFD是平行四边形，
∴四边形 AEFD 是矩形.
7.(1)证明:∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DCE.
∵E是AD 的中点,∴AE=DE.
在△AEF≌△DEC中,
∴△AEF≌△DEC(AAS).∴AF=DC.
∵AF=BD,∴BD=CD.
(2)解:四边形 AFBD 是矩形.
理由如下:∵AB=AC,D 是BC的中点,
∴AD⊥BC.∴∠ADB=90°.
∵AF=BD,AF∥BC,
∴四边形 AFBD 是平行四边形.
又∵∠ADB=90°,∴四边形AFBD是矩形.
8.证明:(1)∵AD,BE分别是边BC,AC上的中线,
∴DE 是△ABC的中位线.
∴DE∥AB且
∵点 F,G分别是BO,AO的中点,
∴FG是△OAB的中位线.∴FG∥AB且
∴GF∥DE.
(2)由(1)知,GF∥DE,GF=DE.
∴四边形 EDFG是平行四边形.
∵AD,BE 是BC,AC上的中线,
又∵AC=BC,∴CD=CE.
在△ACD 和△BCE中,
∴△ACD≌△BCE.∴∠CAD=∠CBE.
∵AC=BC,∴∠BAC=∠ABC.
∴∠DAB=∠EBA.∴OB=OA.
∵点 F,G分别是OB,AO的中点,
∴OF=OG.∴EF=DG.
∴四边形 EDFG 是矩形.
9.(1)解:四边形 PBCE是平行四边形.
理由如下:∵CF∥AB(即CE∥BP),PE∥BC,∴四边形PBCE 是平行四边形.
(2)证明:[如图(1)]
∵△ABC是等边三角形,∴∠B=∠1=60°,BC=CA.
∵CF∥AB,∴∠2=∠1.∴∠B=∠2.
又由(1)知四边形 PBCE为平行四边形，∴PB=EC.
在△BPC和△CEA中,PB=EC,∠B=∠2,BC=CA,∴△BPC≌△CEA.
∴CP=AE.
(3)解：当P为AB的中点时，四边形APCE 是矩形[如图(2)],理由如下:
∵P为AB 的中点,∴AP=BP.
又由(2)证得BP=CE,∴AP=CE.
∵CF∥AB,即EC∥AP,
∴四边形 APCE 是平行四边形.
又∵△ABC是等边三角形，P为AB的中点，
∴CP⊥AB(“三线合一”).∴∠APC=90°.
∴四边形 APCE 是矩形.
10.(1)证明:∵四边形ABCD 是矩形,
∴AB=CD,∠B=∠C=90°.
即 +PD .
(2)解:在图(1)、图(2)中,(1)中的结论都仍然成立.
①如图(1),过点 P 作MN∥AD,交 AB 于点 M,交CD于点 N.
易得四边形 ADNM 和四边形 BCNM 的内角都是 90°,
∴四边形ADNM 和四边形BCNM 都是矩形.
根据(1)的结论可得.
②如图(2),过点 P 作MN∥AD,交 BA 的延长线于点M,交 CD的延长线于点 N.
易得四边形ADNM和四边形BCNM 都是矩形，同①可证.