人教版数学八年级下册 18.2.1矩形的性质 同步练习（含答案）

第1课时 矩形的性质
基础知识夯实
知识沉淀
1.矩形的定义：有一个角是 的 叫做矩形.
2.矩形的性质：(1)矩形的对边 且 .
(2)矩形的四个角都是 .
(3)矩形的对角线互相 且 .
3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
基础过关
1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( )
A.对角线互相平分 B.对角相等
C.对边相等 D.对角线相等
2.如图,矩形ABCD的对角线AC 与BD 相交点O,AC=10,P,Q分别为AO,AD 的中点,则 PQ 的长度为 .
典型案例探究
知识点1 矩形的性质
【例题1】已知:如图,在矩形ABCD 中,AC 与BD 交于O点,若点 E 是 AO 的中点,点 F 是OD 的中点.
求证:BE=CF.
【变式1】如图,四边形 ABCD 为矩形, 求证：PA=PD.
知识点2 矩形性质的应用
【例题 2】如图,四边形 ABCD 是矩形,点 E 在 BC 边上,点 F在BC 延长线上,且∠CDF=∠BAE.
(1)求证：四边形AEFD是平行四边形；
(2)若 DF=3,DE=4,AD=5,求 CD的长度.
【变式2】如图,在平行四边形 ABCD 中,点 E 是边 BC的中点，连接AE 并延长，交 DC 的延长线于点 F.连接AC,BF.
(1)求证:△ABE≌△FCE;
(2)当四边形 ABFC是矩形时,若∠AEC=130°,求∠D 的度数.
知识点 3 直角三角形斜边上的中线
【例题3】如图,BD,CE是△ABC的两条高,M,N分别是BC,DE的中点.求证:MN⊥DE.
【变式3】如图,∠ACB=∠ADB=90°,M,N 分别是AB,CD的中点.
(1)求证:MN⊥CD;
(2)若AB=10,CD=8,求 MN的长.
课后作业
A 组
1.如图,在矩形ABCD中,∠AOB=60°,AB=2,则AC的长为 ( )
A.2 B.4 C.2
2.如图,延长矩形 ABCD 的边 BC 至点 E,使 CE=CA,连接AE,若∠ACB=40°,则∠E的值是 ( )
A.18° B.19° C.20° D.40°
3.如图,点 O 是矩形ABCD 的对角线 AC 的中点,M是AD 的中点,若OM=3,BC=10,则OB 的长为
4.一个矩形的周长为16，面积为 14，则该矩形的对角线长为 .
5.如图,在矩形 ABCD 中,E 在 AD 上,且 EF⊥EC,EF=EC,DE=2,矩形的周长为16,则 AE的长是 .
6.如图，在矩形 ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOB=60°,AB=2,求AD的长.
7.如图,在矩形 ABCD 中,点 E 为 BC 上一点, AE 于点F,求证:
B 组
8.如图,在矩形ABCD 中,对角线 AC,BD 交于点O,AE 平分∠BAD交BC 于点E,若∠CAE=15°.
(1)求证:△AOB是等边三角形;
(2)求∠BOE的度数.
9.如图,在矩形ABCD中,AB=9,AD=4. E为CD 边上一点,CE=6.点 P 从点 B 出发,以每秒1 个单位长度的速度沿着边 BA 向终点A 运动，连接 PE.设点 P 运动的时间为t 秒.
(1)求 AE 的长;
(2)当t为何值时，△PAE为直角三角形
C组
10.如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形AB-CO是矩形,点 A(0,2),点 C 在x 轴上且∠OCA=30°.点 D是对角线AC 上一动点(不与 A,C 重合),连接 BD,作 DE⊥DB.交x轴于点E,以线段 DE,DB为邻边作矩形 BDEF.
(1)求点 B 的坐标.
(2)是否存在这样的点 D，使得△DEC是等腰三角形 若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由.[提示：分图(1)、图(2)两种情况讨论]
18.2 特殊的平行四边形
第 1 课时 矩形的性质
【基础知识夯实】
知识沉淀
1.直角 平行四边形
2.(1)平行 相等 (2)直角 (3)平分 相等
基础过关
1. D 2.2.5
【典型案例探究】
例题1 证明：∵四边形ABCD是矩形，
AC=BD.
∴OA=OC=OB=OD.
∵点E 是AO 的中点,点 F 是OD 的中点,
∴OE=OF.
在△OBE和△OCF中,
∴△OBE≌△OCF(SAS).
∴BE=CF.
变式1证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD,∠ABC=∠DCB=90°.
∵PB=PC,∴∠PBC=∠PCB.
∴∠ABP=∠DCP.
∴△ABP≌△DCP(SAS).
∴PA=PD.
例题2 (1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=DC,∠B=∠DCF=90°.
在△ABE 和△DCF 中,
∴△ABE≌△DCF(ASA).
∴BE=CF.∴BC=EF.
∵BC=AD,∴EF=AD.
又∵EF∥AD,
∴四边形AEFD 是平行四边形.
(2)解:由(1)知,EF=AD=5.
在△EFD中,∵DF=3,DE=4,EF=5,
∴DE +DF =EF .∴∠EDF=90°.
变式2 (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC,即 AB∥DF.∴∠ABE=∠FCE.
∵点 E 是BC 的中点,∴BE=CE.
在△ABE和△FCE 中, ∴△ABE≌△FCE.
(2)解:∵四边形 ABFC是矩形,
∴AE=BE.∴∠ABE=∠BAE.
∵∠AEC=130°,∴∠ABE=∠BAE=65°.
∵平行四边形ABCD,∴∠D=∠ABE=65°.
例题3 证明:连接EM,DM,如图:
∵BD,CE为△ABC的两条高,
∴BD⊥AC,CE⊥AB.∴∠BEC=∠CDB=90°.在 Rt△BEC中,∵M 为斜边BC的中点,
在 Rt△CDB中,∵M为斜边BC的中点,
∴EM=DM.
又 N 为DE 的中点,∴MN⊥DE.
(1)证明：如图，连接CM,DM.
由 已 知 得 CM = ∴CM=DM.
又点 N 为 CD 的中点,∴MN⊥CD.
(2)解:∵AB=10,CD=8,
∵MN⊥CD,
【课后作业】
1. B 2. C 3. 4 4.6 5.3
6.解:∵四边形ABCD是矩形,
∴OA=OB=OC=OD,∠BAD=90°.
∵∠AOB=60°,
∴△AOB 是等边三角形.
∴OB=AB=2.∴BD=2BO=4.
在 Rt△BAD中,
7.证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ADC=90°,AD∥BC.
∴∠CDF+∠ADF=90°.
∵DF⊥AE于点F,
∴∠DAF+∠ADF=90°.∴∠CDF=∠DAF.
∵AD∥BC,∴∠DAF=∠AEB.
∴∠AEB=∠CDF.
8.(1)证明:∵四边形ABCD 是矩形,
∴AD∥BC,AC=BD,OA=OC,OB=OD,∠BAD=90°.
∴OA=OB,∠DAE=∠AEB.
∵AE 平分∠BAD,
∴AB=BE.
∵∠CAE=15°,
∴△BAO是等边三角形.
(2)解:∵△AOB是等边三角形,
∴AB=OB,∠ABO=60°.
∵AB=OB=BE,
9.解:(1)∵在矩形ABCD中,AB=9,AD=4,
∴CD=AB=9,∠D=90°.∴DE=9-6=3.
(2)①若∠EPA=90°,t=6;
②若∠ 解得
综上所述，当t=6或 时,△PAE 为直角三角形.
10.解:(1)∵四边形 AOCB 是矩形,点 A(0,2),∠OCA=30°,
∴BC=OA=2,AC=2OA=4.
∴点 B的坐标为(
(2)①如题图(1),当E在线段CO上时,△DEC是等腰三角形,观察图象可知,只能 ED=EC,∴∠DCE=∠EDC=30°.
由矩形可得∠BDE=∠OCB=90°,
∴∠BDC=∠BCD=60°.
∴△DBC是等边三角形.
∴DC=BC=2.
∴AD=AC-CD=4-2=2.
②如题图(2),当E在OC 的延长线上时,△DCE 是等腰三角形,只能CD=CE,∴∠CDE=∠CED.
又∠CDE+∠CED=∠OCA=30°,
∴∠CDE=∠CED=15°.
又在△ABD中,∠BAD=∠OCA=30°,
∴∠ABD=180°-75°-30°=75°.
∴∠ABD=∠ADB.
∴AD=AB=OC=2 .
综上所述，存在点 D 使得△DEC 是等腰三角形，AD的长度为2或2 .