2023-2024学年广东省江门一中高二（下）第二次段考数学试卷（含答案）

2023-2024学年广东省江门一中高二（下）第二次段考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知随机变量服从正态分布，且，则等于( )
A. B. C. D.
2.等差数列的前项和为，若，，则等于 ( )
A. B. C. D.
3.函数的导函数，满足关系式，则的值为( )
A. B. C. D.
4.已知，展开式的各项系数之和为，则展开式中的系数为( )
A. 或 B. C. D.
5.如图，用，，三类不同的元件连接成一个系统，当正常工作且，至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知，，正常工作的概率依次是，，，已知在系统正常工作的前提下，则只有和正常工作的概率是( )
A. B. C. D.
6.双曲线的左、右焦点分别为、，过点且斜率为的直线与双曲线的左右两支分别交于、两点，若，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
7.函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.现要从名学生中选名代表班级参加学校接力赛，其中已确定人跑第棒或第棒，另有人只能跑第，棒，还有人不能跑第棒，那么合适的选择方法种数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.给出下列命题，其中不正确的有( )
A. 若，则是钝角
B. 若，则与一定共线
C. 若，则与为同一线段
D. 非零向量、、满足与，与，与都是共面向量，则、、必共面
10.已知直线：经过抛物线：的焦点，且与相交于，两点，则下列结论中正确的是( )
A. B.
C. D. 以为直径的圆和抛物线的准线相切
11.已知函数是奇函数，对于任意的满足其中是函数的导函数，则下列不等式成立的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，则 ______， ______．
13.直线：截圆的弦为，则的最小值为______．
14.针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关“作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若有的把握认为中学生追星与性别有关，则男生至少有______人．
参考数据及公式如下：
，．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，是的中点．
证明：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
16.本小题分
已知数列的首项为，且满足．
求证：数列为等比数列；
设，记数列的前项和为，求，并证明：．
17.本小题分
数据显示，某企业近年加大了科技研发资金的投入，其科技投入百万元与收益百万元的数据统计如表：
科技投入
收益
根据数据特点，甲认为样本点分布在指数型曲线的周围，据此他对数据进行了一些初步处理如表：
其中，．
请根据表中数据，建立关于的回归方程系数精确到；
乙认为样本点分布在直线的周围，并计算得线性回归方程为，以及该回归模型的决定系数，试比较甲、乙两人所建立的模型，谁的拟合效果更好？
由所得的结论，计算该企业欲使收益达到亿元，科技投入的费用至少要多少百万元？精确到
附：对于一组数据，，，，其线性回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，，决定系数：参考数据：．
18.本小题分
年月日，是第个世界粮食日．中国工程院院士袁隆平海水稻团队迎来了海水稻的测产收割，其中宁夏石嘴山海水稻示范种植基地测产，亩产超过公斤，通过推广种植海水稻，实现亿亩荒滩变粮仓，大大提高了当地居民收入．某企业引进一条先进食品生产线，以海水稻为原料进行深加工，发明了一种新产品，若该产品的质量指标值为，其质量指标等级划分如表：
质量指标值
质量指标等级 良好 优秀 良好 合格 废品
为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产．现从试生产的产品中随机抽取了件，将其质量指标值的数据作为样本，绘制如下频率分布直方图：
若将频率作为概率，从该产品中随机抽取件产品，记“抽出的产品中至少有件不是废品”为事件，求事件发生的概率；
若从质量指标值的样本中利用分层抽样的方法抽取件产品，然后从这件产品中任取件产品，求质量指标值的件数的分布列及数学期望；
若每件产品的质量指标值与利润单位：元的关系如表：
质量指标值
利润元
试分析生产该产品能否盈利？若不能，请说明理由；若能，试确定为何值时，每件产品的平均利润达到最大参考数值：，．
19.本小题分
定义：若函数图象上恰好存在相异的两点，满足曲线在和处的切线重合，则称，为曲线的“双重切点”，直线为曲线的“双重切线”．
直线是否为曲线的“双重切线”，请说明理由；
已知函数求曲线的“双重切线”的方程；
已知函数，直线为曲线的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，，，若，证明：．
参考答案
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15.证明：连接交于点，连接，
因为四边形为正方形，且，为的中点，
又因为为的中点，，
平面，平面，平面；
解：设，底面，且四边形为正方形，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则、、、，
，，，
设平面的法向量为，
由，令，可得，则，
，
因此，直线与平面所成角的正弦值为．
16.证明：由，得，
，
又，，
数列是以为首项，为公比的等比数列．
由知，，
，
，
，
得：，
，
，
又为递增数列，
，
故．
17.解：将两边取对数得：，令，则，
，，
，
回归方程为，即；
甲建立的回归模型的．
甲建立的回归模型拟合效果更好．
由知，甲建立的回归模型拟合效果更好．
设，解得：，解得：．
科技投入的费用至少要百万元，下一年的收益才能达到亿．
18.解：设事件的概率为，则由频率分布直方图可得，
件产品为废品的概率为，
则，
由频率分布直方图得指标值大于或等于的产品中，
的频率为，
的频率为，
的频率为，
利用分层抽样抽取的件产品中，的有件，
的有件，的有件，
从这件产品中，任取件，质量指标值的件数的所有可能取值为，，，
，
，
，
的分布列为：


．
由频率分布直方图可得该产品的质量指标值与利润元的关系与表所示，
质量指标值
利润元

每件产品的平均利润：
，，
则，
令，解得，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
当时，取最大值为，
生产该产品能够实现盈利，当时，每件产品的平均利润达到最大．
19.解：的定义域为，
求导得，直线的斜率为，
令，解得，
不妨设切点，，
则点处的切线方程为，即，
点处的切线方程为，即，
所以直线是曲线的“双重切线”．
函数，求导得，
显然函数在上单调递增，函数在上单调递减，
设切点，，则存在，使得，
则在点处的切线方程为，
在点处的切线方程为，
因此，消去可得，
，
求导得，
则函数在上单调递增，又，
函数的零点为，因此，，
所以曲线的“双重切线”的方程为；
设对应的切点为，，，
对应的切点为，，，
由，得，，
由诱导公式及余弦函数的周期性知，只需考虑，，其中，，
由及余弦函数在上递增知，，
则，
，
因此，又，，
则，同理，
令，求导得．
则在上单调递增，显然，且，
函数在上的值域为，
即函数在上存在零点，则有，
由，同理可得，而，
因此，于是，即有．
所以，即．
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