人教版数学八年级下册18.2.2平行四边形（第 3课时） 菱形的性质 （分层）同步练习 （含答案）

第 3课时 菱形的性质
基础知识夯实
知识沉淀
1.菱形的定义：一组 的平行四边形叫做菱形.
2.菱形的性质：(1)菱形的对边平行.
(2)菱形的四条边都 .
(3)菱形的对角线互相 ，并且每条对角线平分一组 .
3.菱形的面积：菱形的面积等于对角线乘积的一半.
基础过关
1.如图,菱形 ABCD的周长为24 cm,对角线 AC,BD相交于O点，E是AD 的中点，连接OE，则线段OE的长等于 ( )
A.3cm B.4 cm
C.2. 5cm D.2cm
2.如图,在菱形ABCD 中,过点 C 作 CE⊥BC交对角线BD 于点 E,若∠ECD=20°,则∠ADB= .
典型案例探究
知识点1 菱形的性质
【例题1】如图,在菱形ABCD中,E,F 是对角线 AC 上的两点,且AE=CF.
求证:ED∥BF.
【变式1】如图,在菱形ABCD中,点 E,F 分别在BC 和CD 上,且 CE=CF,连接 AE,AF,求证:∠BAE=∠DAF.
知识点 2 菱形性质的应用
【例题2】如图,在菱形 ABCF中,∠ABC=60°,延长BA 至点 D,延长 CB 至点 E,使 BE=AD,连接CD,EA,延长EA交CD 于点G.
(1)求证:△ACE≌△CBD;
(2)求∠CGE 的度数.
【变式2】如图,O是菱形 ABCD 对角线 AC 与 BD 的交点,CD=5 cm,OD=3 cm.过点 C 作 CE∥DB,过点 B作 BE∥AC,CE与BE 相交于点E.
(1)求 OC的长;
(2)求四边形 OBEC的面积.
课后作业
A 组
1.如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠B=60°,E,F 分别是边BC,CD的中点,则△AEF周长等于 ( )
D.3
2.一个菱形的两条对角线的长分别为5和8，那么这个菱形的面积是 ( )
A.40 B.20
C.10 D.25
3.菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图，点 C的坐标是(6,0),点 A 的纵坐标是 1,则点 B 的坐标是 ( )
A.(3,1) B.(3,-1)
C.(1,-3) D.(1,3)
4.如图,在菱形ABCD中,AC,BD相交于点O,E 为AB 的中点,若 OE = 2,则菱形 ABCD 的周长是 .
5.如图,四边形ABCD 是菱形,∠DAB=50°,对角线AC,BD 相交于点O,DH⊥AB于点 H,连接OH,则∠DHO= 度.
6.如图,在菱形ABCD中,分别延长AB,AD 到点E,F,使得BE=DF,连接EC,FC.求证:EC=FC.
7.如图,将 ABCD的边DC 延长至点E,使CE=DC,连接AE,交 BC于点F.
(1)求证:△ABF≌△ECF;
(2)连接AC,BE,若四边形 ABEC是菱形,且EF= 求 AD 的长度.
B 组
8.如图,在菱形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点O，过点O的直线EF 分别交 DA，BC的延长线于点E,F,连接BE,DF.
(1)求证:△AOE≌△COF;
(2)若EF=BD,BE=8,BF=16,求菱形 ABCD 的面积.
9.在菱形 ABCD 中,AC 是对角线,CD = CE,连接 DE.
(1)如图(1),若AC=16,CD=10,求 DE的长;
(2)如图(2),点 M 是线段 DE 的中点,点 F 在菱形的外部,DF=DM,且∠CDA=∠FDE,连接 FM交AD 于点G,FM 的延长线交 AC 于点 N,求证:CN=AG.
C 组
10.如图,在边长为 10的菱形ABCD中,对角线 BD=16,点 O 是直线 BD 上的动点,OE⊥AB 于点 E,OF⊥AD 于点F.
(1)求菱形ABCD的面积;
(2)如图(1),当点 O在对角线BD 上运动时,OE+OF 的值是否会发生变化 请说明理由.
(3)如图(2)，当点O在对角线BD 的延长线上时，OE+OF的值是否会发生变化 若不变，请说明理由；若变化，请探究 OE，OF 之间的数量关系，并说明理由.
第 3 课时 菱形的性质
【基础知识夯实】
知识沉淀
1.邻边相等 2.(2)相等 (3)垂直平分 对角
基础过关
1. A 2.35°
【典型案例探究】
例题1 证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CD,AB∥CD.∴∠BAC=∠DCA.
∵AE=CF,∴AE+EF=CF+EF.
∴AF=CE.
在△ABF 和△CDE中.
∴△ABF≌△CDE(SAS).∴∠BFA=∠DEC.
∴ED∥BF.
变式1 证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=BC=CD,∠B=∠D.
∵CE=CF,∴BE=DF.
在△ABE和△ADF中.
∴△ABE≌△ADF.∴∠BAE=∠DAF.
例题2 (1)证明:∵AB=BC,∠ABC=60°,
∴△ABC是等边三角形.
∴BC=AC,∠ACB=∠ABC.
∵BE=AD,
∴BE+BC=AD+AB,即CE=BD.在△ACE和△CBD中.∴△ACE≌△CBD(SAS).
(2)解:由(1)知△ABC是等边三角形,△ACE≌△CBD,
∴∠E=∠D.
∵∠BAE=∠DAG,
∴∠E+∠BAE=∠D+∠DAG.
∴∠CGE=∠ABC.
∵∠ABC=60°,∴∠CGE=60°.
变式2 解:(1)∵ABCD 是菱形,∴AC⊥BD.
∴在直角三角形OCD中，(
(2)∵CE∥DB,BE∥AC,
∴四边形OBEC为平行四边形.
又∵AC⊥BD,即∠COB=90°,
∴平行四边形OBEC 为矩形.
∵OB=OD,
∴S矩形OBEC=OB·OC=3×4=12(cm ).
【课后作业】
1. B 2. B 3. B 4.16 5.25
6.证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴CB=CD,∠ABC=∠ADC.
∴∠EBC=∠FDC.
在△EBC 和△FDC中.
∴△EBC≌△FDC.
∴EC=FC.
7.(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AB∥CD.∴∠ABF=∠ECF.
∵CE=CD,∴AB=CE.
在△ABF 和△ECF 中, ∴△ABF≌△ECF.
(2)解:∵四边形 ABEC是菱形,
∴AE⊥BC,AF=EF,AD=2FC=2√EC -EF =2.
8.(1)证明:∵四边形ABCD 是菱形,
∴OA=OC,AD∥BC.∴∠EAO=∠FCO.
又∠AOE=∠COF,∴△AOE≌△COF(AAS).
(2)由△AOE≌△COF,得OE=OF.
∵四边形 ABCD是菱形,∴OB=OD.
∴四边形 EBFD是平行四边形.
∵EF=BD,∴平行四边形 EBFD是矩形.
∴∠EBF=90°.
设菱形ABCD 的边长为x,
∴AB=AD=x,AE=16-x.
在 Rt△AEB中,根据勾股定理,得 即 解得x=10.
∴S菱形ABCD=AD·BE=10×8=80.
9.(1)解:如图,过点 D作DP⊥AC交AC 于点P.
∵DC=AD,DP⊥AC,
又∵DC=10,∴DP=6.
∵EC=DC=10,∴AE=6.
(2)证明:∵∠CDA=∠FDE,∴∠CDA--∠ADE=∠FDE--∠ADE,即∠CDE=∠FDG.
∵CD=CE,∴∠CDE=∠MEN.
∴∠FDG=∠MEN.
∵DF=DM,M是线段DE的中点,
∴DF=EM,∠F=∠DMF.
又∠DMF=∠EMN,∴∠F=∠EMN.
在△DFG和△EMN中,
∴△DFG≌△EMN.
∴DG=EN.
又CE=CD=AD,
∴CE-EN=AD-DG,即CN=AG.
10.解:(1)如图(1),连接 AC 交 BD 于点G.
在菱形 ABCD 中,. =8.
由勾股定理，得 ∴AC=2AG=2×6=12.
∴菱形 ABCD 的面积 =96.
(2)如图(1),连接AO,则 即 解得OE+OF=9.6,是定值,不会发生变化.
(3)如图(2),连接AO,则
即
解得OE-OF=9.6,是定值.
∴OE+OF的值会发生变化,OE,OF 之间的数量关系为OE--OF=9.6.