人教版八年级下册18.2.2第 4 课时 菱形的判定 同步练习（含答案）
文档属性
| 名称 | 人教版八年级下册18.2.2第 4 课时 菱形的判定 同步练习（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 328.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-03 15:48:57 | ||
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文档简介
第 4 课时 菱形的判定
基础知识夯实
知识沉淀
菱形的判定方法：
(1)一组邻边相等的 是菱形.
(2)对角线 的平行四边形是菱形.
(3)四条边都 的四边形是菱形.
基础过关
1.如图，四边形 ABCD 为平行四边形，延长 AD 到点E,使DE=AD,连接EB,EC,DB,添加一个条件能使四边形DBCE成为菱形的是 ( )
A. AB=BE B. AB⊥BE
C.∠ADB=90° D. CE⊥DE
2.如图,在 ABCD中,E,F 分别是AB,CD的中点,AF,DE交于点G,BF,CE交于点H.当 ABCD满足 ,四边形 EHFG是菱形.
典型案例探究
知识点 菱形的判定
【例题1】如图,在 ABCD中,E,F分别为边AB,CD的中点，BD是对角线.
(1)求证:△ADE≌△CBF;
(2)若DB⊥BC,请证明四边形 DEBF是菱形.
【变式1】如图,在△ABC中,∠ABC=90°,D,E 分别为AB,AC的中点,延长DE到点 F,使EF=2DE.
(1)求证：四边形 BCFE是平行四边形；
(2)当∠ACB=60°时,求证:四边形BCFE是菱形.
7.如图,在 ABCD 中,AE,BF 分别平分∠DAB 和∠ABC,交CD于点E,F,AE,BF相交于点M.
(1)求证:AE⊥BF;
(2)判断线段 DF 与CE 的大小关系，并予以证明.
B 组
8.如图,在 ABCD中,∠ABC的平分线交AD 于点E,延长 BE交CD的延长线于点 F.
(1)若∠F=20°,求∠A的度数;
(2)若 AB=5,BC=8,CE⊥AD,求□ABCD 的面积.
9.如图,在 ABCD中,点 E,F分别在AB,CD 上,且ED⊥DB,FB⊥BD.
(1)求证:△AED≌△CFB;
(2)若∠A=30°,∠DEB=45°,求证:DA=DF.
第 4 课时 菱形的判定
【基础知识夯实】
知识沉淀
(1)平行四边形 (2)互相垂直 (3)相等
基础过关
1. B 2. AB⊥BC
【典型案例探究】
例题1 证明:(1)∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴AD=BC,AB=CD,∠A=∠C.
∵E,F分别为边AB,CD的中点,
在△ADE 和△CBF中,∵
∴△ADE≌△CBF(SAS).
(2)∵E,F分别为边AB,CD的中点,
又∵在 ABCD中,AB∥CD,AB=CD,
∴DF∥BE,DF=BE.
∴四边形 DEBF为平行四边形.
∵DB⊥BC,∴∠DBC=90°.
∴△DBC为直角三角形.
又∵F 为边DC 的中点,
又∵四边形DEBF为平行四边形，
∴四边形DEBF是菱形.
变式1 证明:(1)∵D,E为AB,AC的中点,
∴DE为△ABC的中位线,
∴DE∥BC,即EF∥BC.
∵EF=2DE,∴EF=BC.
∴四边形 BCFE为平行四边形.
(2)∵点 E为AC 中点,∠ABC=90°,
∵∠ACB=60°,∴BC=CE=BE.
∵四边形 BCFE 为平行四边形，
∴四边形 BCFE是菱形.
例题 2 证明:∵等腰三角形 ABC中,AB=AC,AH⊥BC,
∴BH=CH.
又 FH=EH,∴四边形 EBFC是平行四边形.
又 EF⊥BC,∴平行四边形EBFC是菱形.
变式2 (1)证明:∵BE⊥CD,∴∠DEB=90°.
∴∠A=∠DEB=90°.
又 AB=BE,BD=BD,
∴Rt△BDA≌Rt△BDE.
∴AD=DE.
(2)∵AD=DE,DC=DE+EC=2AD,∴DE=EC.
∵AD∥BC,∴∠DFE=∠CBE.
又∠DEF=∠CEB,∴△DEF≌△CEB.
∴DF=BC.
∴四边形 BCFD为平行四边形.
又BE⊥CD,
∴四边形 BCFD是菱形.
【课后作业】
1. B 2. D 3. D 4.菱形
5.(-4,3)
6.证明:如图,∵AF∥CD,FG∥AC,∴四边形 ACGF 是平行四边形.∴∠2=∠3.
∵CE平分∠ACD,
∴∠1=∠2.
∴∠1=∠3.∴AC=AF.
∴四边形 ACGF 是菱形.
7.(1)证明:∵∠ACB=90°,
点 E 是 AB 边的中点,
∵点 F 恰是点 E 关于AC 所在直线的对称点，
∴AE=AF,CE=CF.∴CE=EA=AF=CF.
∴四边形 CFAE 是菱形.
(2)解:∵四边形CFAE 是菱形,
8.证明:(1)∵四边形 ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C.
在△AEH与△CGF 中,
∴△AEH≌△CGF.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AB=CD,∠B=∠D.
∵AE=CG,AH=CF,∴EB=DG,HD=BF.
∴△BEF≌△DGH.∴EF=HG.
又∵△AEH≌△CGF,∴EH=GF.
∴四边形 EFGH 为平行四边形.
∴EH∥FG.∴∠HEG=∠FGE.
∵EG平分∠HEF,∴∠HEG=∠FEG.
∴∠FGE=∠FEG.∴EF=GF.
∴四边形 EFGH是菱形.
9.证明:(1)∵点 F,G是边AC 的三等分点,
∴AF=FG=GC.
又∵点D 是边AB 的中点,∴DH∥BG.
同理,EH∥BF.
∴四边形 FBGH是平行四边形.
(2)连接 BH,交 AC 于点O.
∵四边形 FBGH是平行四边形，
∴BO=HO,FO=GO.
又∵AF=FG=GC,∴AF+FO=GC+GO,即AO=CO.
∴四边形 ABCH是平行四边形.
∴AH∥BC.∴∠HAC=∠BCA.
∵AC平分∠BAH,∴∠HAC=∠BAC.
∴∠BAC=∠BCA.∴AB=BC.
又∵四边形 ABCH是平行四边形，
∴四边形ABCH是菱形.
10.(1)证明:∵点A ,D 分别是AB,AD的中点,
∴A D 是△ABD的中位线.
同理：
∴四边形 A B C D 是平行四边形.
∵AC⊥BD,AC∥A B ,BD∥A D ,
∴A B ⊥A D ,即∠B A D =90°.
∴四边形 A B C D 是矩形.
(2)证明:∵A ,B ,C ,D 分别是A B ,B C ,C D ,A D 的中点,
∵四边形 A B C D 是矩形.
∴四边形 A B C D 是菱形.
(3)解:由(1)得 所以四边形 A B C D 的周长为 =14,
四边形 A B C D 的面积为
由(2)可得
所以四边形 A B C D 的周长为
四边形 A B C D 的面积为
按此规律，可得四边形 AnBnCnDn的面积为
当n为奇数时，四边形AnBnCnDn为矩形，其周长为
当n为偶数时，四边形AnBnCnDn为菱形，其周长为
基础知识夯实
知识沉淀
菱形的判定方法：
(1)一组邻边相等的 是菱形.
(2)对角线 的平行四边形是菱形.
(3)四条边都 的四边形是菱形.
基础过关
1.如图，四边形 ABCD 为平行四边形，延长 AD 到点E,使DE=AD,连接EB,EC,DB,添加一个条件能使四边形DBCE成为菱形的是 ( )
A. AB=BE B. AB⊥BE
C.∠ADB=90° D. CE⊥DE
2.如图,在 ABCD中,E,F 分别是AB,CD的中点,AF,DE交于点G,BF,CE交于点H.当 ABCD满足 ,四边形 EHFG是菱形.
典型案例探究
知识点 菱形的判定
【例题1】如图,在 ABCD中,E,F分别为边AB,CD的中点，BD是对角线.
(1)求证:△ADE≌△CBF;
(2)若DB⊥BC,请证明四边形 DEBF是菱形.
【变式1】如图,在△ABC中,∠ABC=90°,D,E 分别为AB,AC的中点,延长DE到点 F,使EF=2DE.
(1)求证：四边形 BCFE是平行四边形；
(2)当∠ACB=60°时,求证:四边形BCFE是菱形.
7.如图,在 ABCD 中,AE,BF 分别平分∠DAB 和∠ABC,交CD于点E,F,AE,BF相交于点M.
(1)求证:AE⊥BF;
(2)判断线段 DF 与CE 的大小关系，并予以证明.
B 组
8.如图,在 ABCD中,∠ABC的平分线交AD 于点E,延长 BE交CD的延长线于点 F.
(1)若∠F=20°,求∠A的度数;
(2)若 AB=5,BC=8,CE⊥AD,求□ABCD 的面积.
9.如图,在 ABCD中,点 E,F分别在AB,CD 上,且ED⊥DB,FB⊥BD.
(1)求证:△AED≌△CFB;
(2)若∠A=30°,∠DEB=45°,求证:DA=DF.
第 4 课时 菱形的判定
【基础知识夯实】
知识沉淀
(1)平行四边形 (2)互相垂直 (3)相等
基础过关
1. B 2. AB⊥BC
【典型案例探究】
例题1 证明:(1)∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴AD=BC,AB=CD,∠A=∠C.
∵E,F分别为边AB,CD的中点,
在△ADE 和△CBF中,∵
∴△ADE≌△CBF(SAS).
(2)∵E,F分别为边AB,CD的中点,
又∵在 ABCD中,AB∥CD,AB=CD,
∴DF∥BE,DF=BE.
∴四边形 DEBF为平行四边形.
∵DB⊥BC,∴∠DBC=90°.
∴△DBC为直角三角形.
又∵F 为边DC 的中点,
又∵四边形DEBF为平行四边形，
∴四边形DEBF是菱形.
变式1 证明:(1)∵D,E为AB,AC的中点,
∴DE为△ABC的中位线,
∴DE∥BC,即EF∥BC.
∵EF=2DE,∴EF=BC.
∴四边形 BCFE为平行四边形.
(2)∵点 E为AC 中点,∠ABC=90°,
∵∠ACB=60°,∴BC=CE=BE.
∵四边形 BCFE 为平行四边形，
∴四边形 BCFE是菱形.
例题 2 证明:∵等腰三角形 ABC中,AB=AC,AH⊥BC,
∴BH=CH.
又 FH=EH,∴四边形 EBFC是平行四边形.
又 EF⊥BC,∴平行四边形EBFC是菱形.
变式2 (1)证明:∵BE⊥CD,∴∠DEB=90°.
∴∠A=∠DEB=90°.
又 AB=BE,BD=BD,
∴Rt△BDA≌Rt△BDE.
∴AD=DE.
(2)∵AD=DE,DC=DE+EC=2AD,∴DE=EC.
∵AD∥BC,∴∠DFE=∠CBE.
又∠DEF=∠CEB,∴△DEF≌△CEB.
∴DF=BC.
∴四边形 BCFD为平行四边形.
又BE⊥CD,
∴四边形 BCFD是菱形.
【课后作业】
1. B 2. D 3. D 4.菱形
5.(-4,3)
6.证明:如图,∵AF∥CD,FG∥AC,∴四边形 ACGF 是平行四边形.∴∠2=∠3.
∵CE平分∠ACD,
∴∠1=∠2.
∴∠1=∠3.∴AC=AF.
∴四边形 ACGF 是菱形.
7.(1)证明:∵∠ACB=90°,
点 E 是 AB 边的中点,
∵点 F 恰是点 E 关于AC 所在直线的对称点，
∴AE=AF,CE=CF.∴CE=EA=AF=CF.
∴四边形 CFAE 是菱形.
(2)解:∵四边形CFAE 是菱形,
8.证明:(1)∵四边形 ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C.
在△AEH与△CGF 中,
∴△AEH≌△CGF.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AB=CD,∠B=∠D.
∵AE=CG,AH=CF,∴EB=DG,HD=BF.
∴△BEF≌△DGH.∴EF=HG.
又∵△AEH≌△CGF,∴EH=GF.
∴四边形 EFGH 为平行四边形.
∴EH∥FG.∴∠HEG=∠FGE.
∵EG平分∠HEF,∴∠HEG=∠FEG.
∴∠FGE=∠FEG.∴EF=GF.
∴四边形 EFGH是菱形.
9.证明:(1)∵点 F,G是边AC 的三等分点,
∴AF=FG=GC.
又∵点D 是边AB 的中点,∴DH∥BG.
同理,EH∥BF.
∴四边形 FBGH是平行四边形.
(2)连接 BH,交 AC 于点O.
∵四边形 FBGH是平行四边形，
∴BO=HO,FO=GO.
又∵AF=FG=GC,∴AF+FO=GC+GO,即AO=CO.
∴四边形 ABCH是平行四边形.
∴AH∥BC.∴∠HAC=∠BCA.
∵AC平分∠BAH,∴∠HAC=∠BAC.
∴∠BAC=∠BCA.∴AB=BC.
又∵四边形 ABCH是平行四边形，
∴四边形ABCH是菱形.
10.(1)证明:∵点A ,D 分别是AB,AD的中点,
∴A D 是△ABD的中位线.
同理：
∴四边形 A B C D 是平行四边形.
∵AC⊥BD,AC∥A B ,BD∥A D ,
∴A B ⊥A D ,即∠B A D =90°.
∴四边形 A B C D 是矩形.
(2)证明:∵A ,B ,C ,D 分别是A B ,B C ,C D ,A D 的中点,
∵四边形 A B C D 是矩形.
∴四边形 A B C D 是菱形.
(3)解:由(1)得 所以四边形 A B C D 的周长为 =14,
四边形 A B C D 的面积为
由(2)可得
所以四边形 A B C D 的周长为
四边形 A B C D 的面积为
按此规律，可得四边形 AnBnCnDn的面积为
当n为奇数时，四边形AnBnCnDn为矩形，其周长为
当n为偶数时，四边形AnBnCnDn为菱形，其周长为