2023-2024学年重庆外国语学校高一（下）月考数学试卷（含答案）

2023-2024学年重庆外国语学校高一（下）月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则( )
A. B. C. D.
2.已知，是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则( )
A. B. C. D.
3.已知，，，，则( )
A. B. C. D.
4.已知非零向量满足：向量与向量垂直，且向量与向量垂直，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
5.设向量与的夹角为，定义已知向量为单位向量，，，则( )
A. B. C. D.
6.如图，这是一半径为的水轮示意图，水轮圆心距离水面，已知水轮每逆时针转动一圈，若当水轮上点从水中浮出时图中点开始计时，则( )
A. 点距离水面的高度与之间的函数关系式为
B. 点第一次到达最高点需要
C. 在水轮转动的一圈内，有的时间，点距离水面的高度不低于
D. 当水轮转动时，点在水面下方，距离水面
7.在锐角中，若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.正方形的边长为，点，分别在边，上，且，，如果对于常数，在正方形的四条边上不含顶点有且只有个不同的点，使得成立，那么的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法不正确的是( )
A. 若，则与的方向相同或者相反
B. 若，为非零向量，且，则与共线
C. 若，则存在唯一的实数使得
D. 若是两个单位向量，且，则
10.如图，顺次连接正五边形的不相邻的顶点，得到五角星形状，则以下说法正确的是( )
A.
B.
C.
D.
11.设函数，若的图象与直线在上有且仅有个交点，则下列说法正确的是( )
A. 的取值范围是
B. 在上有且仅有个零点
C. 若的图象向右平移个单位长度后关于轴对称，则
D. 若将图象上各点的横坐标变为原来的，得到函数的图象，则在上单调递增
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，动点、从点出发沿圆周运动，点按逆时针方向每秒钟转弧度，点按顺时针方向每秒钟转弧度，则、第一次相遇时点走过的弧长为______．
13.设向量、满足，，且、的夹角为，若向量与向量的夹角为钝角，则实数的取值范围是______．
14.已知向量满足，与的夹角为，则当实数变化时，的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
计算求值：
已知、均为锐角，，，求的值；
计算的值．
16.本小题分
已知，的夹角为，且，设，．
若，求实数的取值；
时，求与的夹角；
是否存在实数，使得，若存在，求出实数．
17.本小题分
已知，，如图，在中，点，满足，，是线段上一点，，点为的中点，且，，三点共线．
若点满足，证明：．
求的最小值．
18.本小题分
设函数．
求函数的最小正周期；
若不等式对任意时恒成立，求实数应满足的条件；
将函数的图象向右平移个单位，然后保持图象上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图象，若存在非零常数，对任意，有成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴同方向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做在斜坐标系中的坐标．
若，，求；
若，，，求在上的投影向量斜坐标；
若，，，，求的最小值．
参考答案
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15.解：、均为锐角，则，
所以，
，
所以．
．
16.解：，的夹角为，且，
．
由，得
，解得；
时，，
，
．
．
与的夹角为；
由，得，
即，解得．
存在实数，使得．
17.证明：，
，
，
，即，
，
．
解：由可知，，
，，三点共线，
，
，当且仅当，即，
时，等号成立，
故的最小值为．
18.解：，
则函数的最小正周期；
设，由，可得，则，
不等式对任意时恒成立，
即为对恒成立，
即有，
设在递减，可得，
所以，即，
所以的取值范围是；
将函数的图象向右平移个单位，得到，即，
然后保持图象上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图象，
若存在非零常数，对任意，有成立，
即为，
即为，
即有，
由于对任意，有成立，
可得，即有，
所以，且，
即实数的取值范围是且．
19.解：，
，
，即；
，
，
，
，
，
在上的投影向量为，
即在上的投影向量斜坐标为；
又，
，
．
令，则，
又，在上单调递增，
，即的最小值为．
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