2023-2024学年江苏省泰兴中学、泰州中学联考高一（下）质检数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年江苏省泰兴中学、泰州中学联考高一（下）质检数学试卷（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 95.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-03 15:40:05 | ||
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文档简介
2023-2024学年江苏省泰兴中学、泰州中学联考高一（下）质检
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.如图，等腰梯形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形的面积是( )
A.
B.
C.
D.
3.若复数，则的最大值为( )
A. B. C. D.
4.设，则是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图是一个正八边形窗花隔断，图是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图如图，若正八边形的边长为，是正八边形八条边上的动点，则的最大值为( )
A. B. C. D.
7.已知为锐角三角形，，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.棱长为的正方体中，，分别为，的中点，点在正方体的表面上运动，若，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，是关于的方程的两根，则( )
A. B.
C. D. 若，则
10.在中，角、、所对的边分别为、、若，，则下列说法正确的有( )
A. B. C. D.
11.如图，正方体的棱长为，是棱的中点，是侧面上的动点，且满足平面，则下列结论中正确的是( )
A. 直线与所成角的范围是
B. 存在点，使得
C. 平面截正方体所得截面面积为
D. 平面与平面所成锐二面角的大小是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数满足为虚数单位，则 ______．
13.如图，已知平行四边形的对角线相交于点，过点的直线与，所在直线分别交于点，，满足，，若，则的值为______．
14.的内角，，的对边分别为，，，已知，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知平面向量，．
求的值；
若向量与夹角为，求实数的值．
16.本小题分
如图，四棱锥的底面为梯形，，，点在棱上，且．
证明：平面；
设平面与棱交于点，证明：．
17.本小题分
如图，在三棱柱中，，且平面平面．
证明：平面；
证明：平面平面；
设点为棱的中点，求直线与平面所成角的正切值．
18.本小题分
某学校有一四边形地块，为了提高校园土地的利用率，现把其中的一部分作为学校生物综合实践基地如图所示，，是中点，，分别在边、上，拟作为花草种植区，四边形拟作为景观欣赏区，拟作为谷物蔬菜区，和拟建造快速通道，，记快速通道的宽度忽略不计
若，求景观欣赏区所在四边形的面积；
当取何值时，可使快速通道的路程最短？最短路程是多少？
19.本小题分
设是一个关于复数的表达式，若其中，，，，为虚数单位，就称将点“对应”到点例如：将点“对应”到点．
若，点“对应”到点，点“对应”到点，求点、的坐标．
设常数，，若直线：，，是否存在一个有序实数对，使得直线上的任意一点“对应”到点后，点仍在直线上？若存在，试求出所有的有序实数对；若不存在，请说明理由．
设常数，，集合且和且，若满足：对于集合中的任意一个元素，都有；对于集合中的任意一个元素，都存在集合中的元素使得请写出满足条件的一个有序实数对，并论证此时的满足条件．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，，
所以，可得．
因为，且，
所以 ，
结合与夹角为，可得，
即，化简得，其中，解得或．
16.证明：如图，连接，设，连接，
因为，且，
所以，
又，则，
所以，
又平面，平面，
所以平面．
因为，平面，平面，
所以平面，
又平面，平面平面，
所以，
所以，即．
17.证明：在中，由，
由正弦定理可得：，即，
所以，则，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面；
连接与，如图，
在中，由，
在中，由余弦定理可得：
，
所以，则，
在棱柱中，，由知，
所以，又，，，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面；
解：由知平面，所以在平面内射影为，
则为直线与平面所成角，
由知平面，面，
所以，又，
所以，
在中，，则，
在中，，
则，
所以直线与平面所成角的正切值为．
18.解：当时，，
此时为中位线，
；
在中，，
，，
由正弦定理得，，
所以，，
在中，，，，
由正弦定理得，，
所以，所以，
所以
，其中，
令，
因为，所以
所以，
又因为在单调递增，在单调递减，
所以在单调递增，
所以当，即时，
，
所以当取时，可使快速通道路程最短，最短距离为．
19.解：由知，则，故，
设，则，
由知，，则，，即；
直线上的任意一点“对应”到点，
所以，，且，
所以，，即，
由题意，点仍在直线上，
则，又，
则，
展开整理得，
则，解得，
所以，所求的有序实数对为；
满足条件的一个有序实数对为，
即，，，证明如下：
证明：设，，且，
则，
，
因为，
所以，
，
即，满足条件；
设，，，且，即，得，
由得，
则，
则，满足条件，
综上，满足条件的一个有序实数对为．
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数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.如图，等腰梯形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形的面积是( )
A.
B.
C.
D.
3.若复数，则的最大值为( )
A. B. C. D.
4.设，则是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图是一个正八边形窗花隔断，图是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图如图，若正八边形的边长为，是正八边形八条边上的动点，则的最大值为( )
A. B. C. D.
7.已知为锐角三角形，，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.棱长为的正方体中，，分别为，的中点，点在正方体的表面上运动，若，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，是关于的方程的两根，则( )
A. B.
C. D. 若，则
10.在中，角、、所对的边分别为、、若，，则下列说法正确的有( )
A. B. C. D.
11.如图，正方体的棱长为，是棱的中点，是侧面上的动点，且满足平面，则下列结论中正确的是( )
A. 直线与所成角的范围是
B. 存在点，使得
C. 平面截正方体所得截面面积为
D. 平面与平面所成锐二面角的大小是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数满足为虚数单位，则 ______．
13.如图，已知平行四边形的对角线相交于点，过点的直线与，所在直线分别交于点，，满足，，若，则的值为______．
14.的内角，，的对边分别为，，，已知，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知平面向量，．
求的值；
若向量与夹角为，求实数的值．
16.本小题分
如图，四棱锥的底面为梯形，，，点在棱上，且．
证明：平面；
设平面与棱交于点，证明：．
17.本小题分
如图，在三棱柱中，，且平面平面．
证明：平面；
证明：平面平面；
设点为棱的中点，求直线与平面所成角的正切值．
18.本小题分
某学校有一四边形地块，为了提高校园土地的利用率，现把其中的一部分作为学校生物综合实践基地如图所示，，是中点，，分别在边、上，拟作为花草种植区，四边形拟作为景观欣赏区，拟作为谷物蔬菜区，和拟建造快速通道，，记快速通道的宽度忽略不计
若，求景观欣赏区所在四边形的面积；
当取何值时，可使快速通道的路程最短？最短路程是多少？
19.本小题分
设是一个关于复数的表达式，若其中，，，，为虚数单位，就称将点“对应”到点例如：将点“对应”到点．
若，点“对应”到点，点“对应”到点，求点、的坐标．
设常数，，若直线：，，是否存在一个有序实数对，使得直线上的任意一点“对应”到点后，点仍在直线上？若存在，试求出所有的有序实数对；若不存在，请说明理由．
设常数，，集合且和且，若满足：对于集合中的任意一个元素，都有；对于集合中的任意一个元素，都存在集合中的元素使得请写出满足条件的一个有序实数对，并论证此时的满足条件．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，，
所以，可得．
因为，且，
所以 ，
结合与夹角为，可得，
即，化简得，其中，解得或．
16.证明：如图，连接，设，连接，
因为，且，
所以，
又，则，
所以，
又平面，平面，
所以平面．
因为，平面，平面，
所以平面，
又平面，平面平面，
所以，
所以，即．
17.证明：在中，由，
由正弦定理可得：，即，
所以，则，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面；
连接与，如图，
在中，由，
在中，由余弦定理可得：
，
所以，则，
在棱柱中，，由知，
所以，又，，，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面；
解：由知平面，所以在平面内射影为，
则为直线与平面所成角，
由知平面，面，
所以，又，
所以，
在中，，则，
在中，，
则，
所以直线与平面所成角的正切值为．
18.解：当时，，
此时为中位线，
；
在中，，
，，
由正弦定理得，，
所以，，
在中，，，，
由正弦定理得，，
所以，所以，
所以
，其中，
令，
因为，所以
所以，
又因为在单调递增，在单调递减，
所以在单调递增，
所以当，即时，
，
所以当取时，可使快速通道路程最短，最短距离为．
19.解：由知，则，故，
设，则，
由知，，则，，即；
直线上的任意一点“对应”到点，
所以，，且，
所以，，即，
由题意，点仍在直线上，
则，又，
则，
展开整理得，
则，解得，
所以，所求的有序实数对为；
满足条件的一个有序实数对为，
即，，，证明如下：
证明：设，，且，
则，
，
因为，
所以，
，
即，满足条件；
设，，，且，即，得，
由得，
则，
则，满足条件，
综上，满足条件的一个有序实数对为．
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