2023-2024学年浙江省杭州市重点中学高一（下）月考数学试卷（含答案）

2023-2024学年浙江省杭州市重点中学高一（下）月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，则( )
A. B. C. D.
2.复平面内表示复数的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.在中，，，则角的大小为( )
A. B. 或 C. D. 或
4.设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
5.已知平面向量，，若存在实数，使得，则实数的值为( )
A. B. C. D.
6.达芬奇的经典之作蒙娜丽莎举世闻名．画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷．现将画中女子的嘴唇近似的看作一个圆弧，设嘴角，间的圆弧长为，嘴角间的距离为，圆弧所对的圆心角为为弧度角，则、和所满足的恒等关系为( )
A. B. C. D.
7.如图，已知正四棱锥的所有棱长均为，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
8.已知点为外接圆的圆心，内角、、的对边分别为、、，且，，内角取最大值时的面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. “”是“与的夹角为钝角”的充要条件
D. 若，则在上的投影向量的坐标为
10.如图是函数的部分图像，则( )
A. 的最小正周期为
B. 是函数的一条对称轴
C. 将函数的图像向右平移个单位后，得到的函数为奇函数
D. 若函数在上有且仅有两个零点，则
11.如图，正方体棱长为，是上的一个动点，下列结论中正确的是( )
A. 的最小值为
B. 当在上运动时，都有
C. 当在直线上运动时，三棱锥的体积不变
D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知是定义在上的奇函数，当时，，则的值为______．
13.在一个如图所示的直角梯形内挖去一个扇形，恰好是梯形的下底边的中点，将所得平面图形绕直线旋转一圈，则所得几何体的体积为______．
14.平面向量满足，对任意的实数，不等式恒成立，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数其中是虚数单位，．
若复数是纯虚数，求的值；
求的取值范围．
16.本小题分
已知向量，，，．
若，求的值；
若，，，求的值．
17.本小题分
在，，这三个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题的内角，，所对的边分别为，，，已知_____只需填序号．
求角；
若是锐角三角形，边长，求面积的取值范围．
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，，，，为棱的中点，平面．
求证：平面；
求证：平面平面；
若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
已知函数
若不等式的解集为，求的取值范围；
解关于的不等式；
若不等式对一切恒成立，求的取值范围．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：．
复数是纯虚数，，即；
，
，
的取值范围是．
16.【答案】解：已知向量，，
又，
则，
即，
又，
则；
已知向量，，，
又，
则，
即，
又，
则，
即，
又，
则，
则，
即，
又，
则，
则．
17.【答案】解：若选：因为，由正弦定理可得，
且，可得，整理得，
注意到，则，可得，所以；
若选：因为，由正弦定理可得，
注意到，，则，，
可得，即，所以；
若选：因为，由余弦定理可得，
整理得，则，
注意到，所以．
因为是锐角三角形，，
则，解得，
由正弦定理可得，则，
可得，则，所以，
故面积，
所以面积的取值范围为．
18.【答案】证明：连接，
因为，，且是的中点，
所以，，
所以四边形是平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面．
证明：在直角梯形中，，
所以，，
所以，即，
因为平面，平面，
所以，
又，、平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面．
解：因为平面，，
所以由三垂线定理知，，
所以就是二面角的平面角，即，
所以，
所以，
由知，平面平面，
所以直线与平面所成角即为，
在中，，
故直线与平面所成角的正弦值为．
19.【答案】解：当即时，，不合题意； 分
当即时，，即，分
，
分
即
即
当即时，解集为分
当即时，，
，
解集为或分
当即时，，
，
解集为分
，即，
恒成立，
分
设，则，，
，
，当且仅当时取等号，
，当且仅当时取等号，
当时，，
分
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