2023-2024学年江西省稳派上进联考高二下学期7月期末调研测试数学试题（含答案）

2023-2024学年江西省稳派上进联考高二下学期7月期末调研测试
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.数列，，，，的一个通项公式为( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则的真子集个数为( )
A. B. C. D.
3.某物体走过的路程单位：与时间单位：的函数关系为，则该物体在时的瞬时速度为( )
A. B. C. D.
4.已知在等差数列中，，，则( )
A. B. C. D.
5.设为函数的极值点，则( )
A. B. C. D.
6.已知实数，满足，则( )
A. B. C. D.
7.若首项为的数列满足，则( )
A. B. C. D.
8.在平面直角坐标系中，为曲线上位于第一象限内的一点，为在轴上的射影，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.“，”成立的一个充分条件是( )
A. B. C. D.
10.已知为定义在上的奇函数，为定义在上的偶函数，则( )
A. B.
C. D.
11.设数列满足，且当时则( )
A. B. ，
C. ， D. ，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知命题，，则为 ．
13.方程的唯一正根为 ．
14.中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是各种民俗活动的重要组成部分，其传承赓续的视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，是中国古老的民间艺术之一已知某剪纸的裁剪工艺如下：取一张半径为的圆形纸片，记为，在内作内接正方形，接着在该正方形内作内切圆，记为，并裁剪去该正方形与内切圆之间的部分如图所示阴影部分，记为一次裁剪操作重复上述裁剪操作次，最终得到该剪纸，则第次操作后，所有被裁剪部分的面积之和为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
判断的奇偶性，并说明理由
求时，的值域．
16.本小题分
已知函数记为的导函数．
若，求曲线在点处的切线方程
讨论的单调性．
17.本小题分
已知数列的前项和满足．
求的通项公式
求数列的前项和．
18.本小题分
已知函数，，证明：
，
19.本小题分
若数列满足，，且，则称数列为“正余弦错位数列”已知数列为“正余弦错位数列”．
若，求，，
证明：数列为等差数列．
参考答案
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12.，
13.
14.
15.解：由题意可知的定义域为，关于原点对称，
且，即，可知为奇函数．
因为，令，则函数，
易知在上单调递增，
所以的值域为
16.解：当时，，，
，
则，
故曲线在点处的切线方程为．
由，得，
令，则，，
若，则，从而，在上单调递增，
若，则当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
综上所述，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增．
17.解：因为，
当时，，
当时，，
而不满足上式，所以
设，可知
当时，
当时，，
．
两式相减得
，
所以，且满足该式，所以．
18.证明：由题意可得，
所以函数在上单调递增，
所以，即，故不等式得证．
令，则，
所以在上单调递增，
所以，
故当时，，所以．
由中不等式，
用替换得，
所以当时，，
所以．
令，其中，，，，，，
则，
所以，
，
，
，
，
以上个式子相加得
，
即时，
19.解：当时，由，知．
又由，知，所以，
又，符合题意．
同理，由，，
得或．
又或，所以．
由，，得，
又，符合题意．
证明：由，得，
所以或，
即或．
因为，
所以，，
所以，，
所以或或．
又，所以，
，
所以，
所以数列是公差为的等差数列．
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