2023-2024学年江西省宜春市高二下学期6月期末联考数学试题（含答案）

2023-2024学年江西省宜春市高二下学期6月期末联考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.已知集合，若，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.函数的定义域为( )
A. B. C. D.
4.若函数有最小值，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.若，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.在等比数列中，是函数的两个极值点，若，则的值为( )
A. B. C. D.
8.设定义域为的偶函数的导函数为，若也为偶函数，且，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各组函数不是同一函数的是( )
A.
B.
C.
D.
10.设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )
A. 有三个极值点 B. 为函数的极大值
C. 为的极小值 D. 有两个极小值
11.对于正整数，是小于或等于的正整数中与互质的数的数目．函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如与互质，则( )
A. 若为质数，则 B. 数列单调递增
C. 数列的最大值为 D. 数列为等比数列
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知是奇函数，当时，，则_________．
13.已知数列满足：，当为奇数时，；当为偶数时，若，则的取值为_____________．
14.设集合，且中任意两数之和不能被整除，则的最大值为___________．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列各项均为正数，且．
求的通项公式；
数列满足，，求数列的前项和．
16.本小题分
已知函数．
当时，求函数在的最小值和最大值；
讨论函数的单调性．
17.本小题分
为了加强“平安校园”建设，有效遏制涉校案件的发生，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为米，底面为平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室．由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米元，左右两面新建墙体报价为每平方米元，屋顶和地面以及其他报价共计元．设屋子的左右两面墙的长度均为米．
Ⅰ当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价．
Ⅱ现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围．
18.本小题分
已知，，是自然对数的底数．
当时，求函数的极值；
若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围；
当时，若满足，求证：．
19.本小题分
设有穷数列的项数为，若正整数满足：，则称为数列的“点”．
若，求数列的“点”；
已知有穷等比数列的公比为，前项和为若数列存在“点”，求正数的取值范围；
若，数列的“点”的个数为，证明：．
参考答案
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15.解：数列各项均为正数，且，，
可得，即为，
因为，所以，
所以数列是以首项为，公差为的等差数列，
则；
由题设，
．
所以数列的前项和为．
16.解：当时，，，则，
令得，，所以当时，，单调递减
当时，，单调递增，所以当时，取得极小值，也是最小值，
又因为，，所以的最大值为，
综上所述，函数在的最小值为，最大值
因为，所以，
当时，在上恒成立，故此时在上为增函数
当时，令，得，当时，
当时，，故此时在上为增函数在上为减函数，
综上所述，当时，在上为增函数当时，在上为增函数在上为减函数．
17.解：Ⅰ设甲工程队的总造价为元，
则．
当且仅当，即时，等号取到，，
即当左右两面墙的长度为米时，甲工程队报价最低，最低报价元；
Ⅱ由题意可得，对任意的恒成立．
整理得：对恒成立，
令，，当且仅当，即，等号取到，
，在上递增，
，
所以，综上的取值范围为．

18.解：当时，，定义域为，
则，
令，得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以在处取到极小值，无极大值；
方程，
显然当时，方程不成立，则，，
若方程有两个不等实根，即与有个交点，
则，
当或时，，在区间和上单调递减，
并且时，，当时，，
当时，，严格增，时，当时，取得最小值，，
作出函数的图象，如下图所示：
与有个交点，
则，
即的取值范围为；
证明：，
令，可得，
函数在上单调递减，在上单调递增，
由题意，则，，
要证，只需证，
而，且函数在上单调递减，
故只需证，
又，所以只需证，
即证，
令，
即，，
由均值不等式可得，当且仅当，即时，等号成立，
所以函数在上严格增，
由，可得，即，
所以，
又函数在上严格减，
所以，
即得证．
19.解：因为，，，，，
所以数列的“点”为，．
依题意，，
因为数列存在“点”，所以存在，使得，
所以，即．．
因为，所以，所以．
又当时，取最大值，所以，又，所以．
当时，有，所以数列存在“点”，
则的取值范围为
若，则数列不存在“点”，即．
由得，，所以
若存在，使得下证数列有“点”．
证明：若，则是数列的“点”
若，因为存在，使得，
所以设数列中第个小于的项为，则，
所以是数列的第个“点”．
综上，数列存在“点”．
不妨设数列的“点”由小到大依次为，，，，，
则是，，，，，中第个小于的项，
故，
因为，所以，所以，
所以
所以
个．
所以
综上，，得证．
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