【高中数学苏教版必修第一册同步练习】 第四章指数和对数综合题（含答案）

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【高中数学苏教版必修第一册同步练习】
第四章指数和对数综合题
一、单选题
1．已知 ，则这样的
A．存在且只有一个 B．存在且不只一个
C．存在且 D．根本不存在
2．计算log225·log32 ·log59的结果为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．已知3a=5b=A，且 ，则A的值是（　　）
A． B．15 C． D．8
4．若，则的最小值为（　　）
A．6 B． C．3 D．
5．定义函数，若存在常数C，对于任意的，存在唯一的，使得，则称函数在D上的“均值”为C，已知，则函数在上的均值为（　　）
A． B． C． D．10
6．函数的定义域为D，若满足：①在D内是单调函数；②存在[a，b]上的值域为，那么就称函数为“成功函数”，若函数是“成功函数”，则t的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
7．已知，则a，b满足（　　）
A． B． C． D．
8．已知，则实数满足（　　）
A． B． C． D．
三、填空题
9．当时，求的值　 　．
10．求值：　 　．
11．已知 ，则 　 　
12．倡导环保意识、生态意识，构建全社会共同参与的环境治理体系，让生态环保思想成为社会生活中的主流文化.为使排放的废气中含有的污染物量减少，某化工企业探索改良工艺，已知改良前所排放的废气中含有的污染物量为，首次改良后所排放的废气中含有的污染物量为.设改良前所排放的废气中含有的污染物量为（单位：），首次改良后所排放的废气中含有的污染物量为（单位：），则第n次改良后所排放的废气中的污染物量（单位：）满足函数模型.
（1）　 　；
（2）依据当地环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物量不能超过，则至少进行　 　次改良才能使该企业所排放的废气中含有的污染物量达标.（参考数据：）
13．已知实数a，b满足 ，则a+b的最小值是　 　．
四、解答题
14．计算下列各式的值：
（1） ；
（2） .
15．求下列各式的值．
（I） ．
（II） ．
16．计算下列各题：
（Ⅰ） ；
（Ⅱ） ．
17．
（1）计算
（2）已知 ，求 的值．
18．
（1）求值 ；
（2）已知 ， ，试用 、 表示 .
19．我们给出如下定义：对函数y=f（x），x∈D，若存在常数C（C∈R），对任意的x1∈D，存在唯一的x2∈D，使得=C，则称函数f（x）为“和谐函数”，称常数C为函数f（x）的“和谐数”．
（1）判断函数f（x）=x+1，x∈[﹣1，3]是否为“和谐函数”？答：　 　．（填“是”或“否”）如果是，写出它的一个“和谐数”：　 　．
（2）证明：函数g（x）=lgx，x∈[10，100]为“和谐函数”，是其“和谐数”；
（3）判断函数u（x）=x2，x∈R是否为和谐函数，并作出证明．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】指数式与对数式的互化
2．【答案】D
【知识点】换底公式的应用
3．【答案】B
【知识点】换底公式的应用
4．【答案】C
【知识点】对数的性质与运算法则；基本不等式在最值问题中的应用
5．【答案】A
【知识点】对数的性质与运算法则
6．【答案】D
【知识点】指数式与对数式的互化；一元二次方程的根与系数的关系
7．【答案】C,D
【知识点】换底公式的应用；基本不等式在最值问题中的应用
8．【答案】A,D
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则；基本不等式在最值问题中的应用
9．【答案】0
【知识点】根式与有理数指数幂的互化
10．【答案】5
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
11．【答案】1
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
12．【答案】（1）
（2）6
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
13．【答案】16
【知识点】换底公式的应用；基本不等式在最值问题中的应用
14．【答案】（1）解：原式
.
（2）
.
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
15．【答案】解：（I）原式 ．
（Ⅱ）原式
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
16．【答案】解：（Ⅰ） 4
=
=16+4+
=20．
（Ⅱ）原式= = = = = = ．
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
17．【答案】（1）解：原式= ．
（2）解：依题意得： ，∴
同理 ，∴ ．
【知识点】有理数指数幂的运算性质；指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则
18．【答案】（1）解：原式 ；
（2）解：由换底公式得 ，又 ，
因此， .
【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式的应用
19．【答案】解：（1）∵对任意x1∈[﹣1，3]，令=2，得x2=2﹣x1，∴x2∈[﹣1，3]，即对任意的x1∈[﹣1，3]，存在唯一的x2=2﹣x1∈[﹣1，3]，使得=2，
故正确答案为 是； 2
（2）证明：①对任意x1∈[10，100]，令，即，
得．∵x1∈[10，100]，∴∈[10，100]．
即对任意x1∈[10，100]，存在唯一的∈[10，100]，使得．
∴g（x）=lgx为“和谐函数”，其“和谐数”为．
参照上述证明过程证明：函数h（x）=2x，x∈（1，3）为“和谐函数”，5是其“和谐数”；
②对任意x1∈（1，3），令，即，得，．∵x1∈（1，3），∴∈（2，8），∈（1，3）．
即对任意x1∈（1，3），存在唯一的∈（1，3），使得．
∴h（x）=2x，x∈（1，3）为“和谐函数”，5是其“和谐数”
（3）解：函数u（x）=x2，x∈R不是“和谐函数”，证明如下：
对任意的常数C，①若C≤0，则对于x1=1，显然不存在x2∈R，使得==C成立，
所以C（C≤0）不是函数u（x）=x2，x∈R的和谐数；
②若C＞0，则对于，由=得，x22=﹣2C＜0，
即不存在x2∈R，使=C成立．所以C（C＞0）也不是函数u（x）=x2，x∈R的和谐数．
综上所述，函数u（x）=x2，x∈R不是“和谐函数”．
【知识点】指数式与对数式的互化
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