【高中数学苏教版必修第一册同步练习】 3函数的单调性（含答案）

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【高中数学苏教版必修第一册同步练习】
3函数的单调性
一、单选题
1．已知是定义在上的单调递减函数，且 ，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
2．若函数在其定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是(　　)
A．或 B．
C． D．不存在这样的实数k
3．在直角坐标系xOy中，全集U={（x，y）|x，y∈R}，集合A={（x，y）|xcosθ+（y﹣4）sinθ=1，0≤θ≤2π}，已知集合A的补集 UA所对应区域的对称中心为M，点P是线段x+y=8（x＞0，y＞0）上的动点，点Q是x轴上的动点，则△MPQ周长的最小值为（　　）
A．24 B．4 C．14 D．8+4
4．已知为自然对数的底数，则（　　）
A． B． C． D．
5．函数 的定义域为 ，其图像上任意两点 满足 ，若不等式 恒成立，则 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6．已知 ，若 ，使 ，则实数 的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
二、多选题
7．已知函数，则（　　）
A．的定义域是
B．有最大值
C．不等式的解集是
D．在上单调递增
8． 已知函数，且在区间上为单调函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值可以是（　　）
A． B． C． D．
三、填空题
9．在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ， ，则 的周长的最大值是　 　.
10．如果定义在R上的函数f（x），对任意x1≠x2都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2（fx1），则称函数为“H函数”，给出下列函数
①f（x）=3x+1 ②f（x）=（ ）x+1
③f（x）=x2+1 ④f（x）=
其中是“H函数”的有　 　（填序号）
11．已知f（x）= 在（﹣∞，+∞）上是增函数，那么实数a的取值范围是　 　．
12．函数f（x）= （x2-2x-3）的单调递增区间为　 　．
13．已知函数的定义域为，当时，有，则不等式的解集为　 　.
14．已知函数 ，当 时， 恒成立，设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为　 　.
四、解答题
15．设函数f（x）在R上是偶函数，在区间（﹣∞，0）上递增，且f（2a2+a+1）＜f（2a2﹣2a+3），求a的取值范围．
16．已知函数 .
（1）求函数 的定义域和值域；
（2）判断函数 在区间 上单调性，并用定义来证明所得结论.
17．已知函数f（x）= 的定义域为{x∈R|x≠0}，且f（1）=2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）判断函数f（x）在[1，+∞）上的单调性，并用定义证明结论；
（3）求函数在区间[1，2]上的最大值和最小值．
18．已知函数 .
（1）根据单调性的定义讨论 在区间 上的单调性；
（2）求 在区间 的最大值和最小值及对应的x的值.
19．对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n] D，同时满足：
①f（x）在[m，n]内是单调函数；
②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]．
则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．
（1）证明：[0，1]是函数y=f（x）=x2的一个“和谐区间”．
（2）求证：函数 不存在“和谐区间”．
（3）已知：函数 （a∈R，a≠0）有“和谐区间”[m，n]，当a变化时，求出n﹣m的最大值．
20．对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足下列两个条件：
①在区间上是单调的；
②当定义域是时，的值域也是．则称是函数的一个“黄金区间”．
（1）请证明：函数不存在“黄金区间”．
（2）已知函数在上存在“黄金区间”，请求出它的“黄金区间”．
（3）如果是函数的一个“黄金区间”，请求出的最大值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质
2．【答案】B
【知识点】函数单调性的性质
3．【答案】B
【知识点】函数的最大（小）值
4．【答案】A
【知识点】函数单调性的性质
5．【答案】B
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值
6．【答案】A
【知识点】函数的最大（小）值
7．【答案】A,B
【知识点】函数的定义域及其求法；函数单调性的判断与证明；函数的最大（小）值
8．【答案】B,C,D
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；复合函数的单调性
9．【答案】9
【知识点】函数的最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用
10．【答案】①④
【知识点】函数单调性的性质
11．【答案】[ ，3）
【知识点】函数单调性的性质
12．【答案】
【知识点】复合函数的单调性
13．【答案】
【知识点】函数单调性的性质
14．【答案】b＜a＜c
【知识点】函数单调性的性质
15．【答案】解：由f（x）在R上是偶函数，在区间（﹣∞，0）上递增，
可知f（x）在（0，+∞）上递减．
∵2a2+a+1=2（a+ ）2+ ＞0，2a2﹣2a+3=2（a﹣ ）2+ ＞0，且f（2a2+a+1）＜f（2a2﹣2a+3），
∴2a2+a+1＞2a2﹣2a+3，即3a﹣2＞0，解得a＞ ．
所以实数a的取值范围为：a＞ ．
【知识点】函数单调性的性质；一元二次不等式及其解法
16．【答案】（1）解： ，
的定义域为 .值域
（2）解：由函数解析式得该函数在 为减函数，下面证明：
任取 ，且 ，
， ， ，
.
函数在 为减函数
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值域；函数单调性的判断与证明
17．【答案】（1）解：由已知bx+c≠0，即x≠0，∴b≠0，c=0，
又∵f（1）=2，∴b=1，
∴
（2）解：函数f（x）在[1，+∞）上是增函数．
证明：任取x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2
则
∵1≤x1＜x2，∴x1﹣x2＜0， ∴ ，
即f（x1）＜f（x2）
∴函数f（x）在[1，+∞）上是增函数
（3）解：由（2）知函数f（x）在[1，+∞）上是增函数，
∴函数f（x）在[1，2]上也是增函数，
∴ ．
故所求函数的最大值为 ，最小值为2
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的最大（小）值
18．【答案】（1）解：令 ，则 ，而 ，
∴ 时即 恒成立时，有 单调递增；
时即 恒成立时，有 单调递减；
而 时恒有 ； 时恒有 .
∴ 在 上的单调递减，在 上的单调递增；
（2）解：由（1）知： 在 上的最小值为 ，
而 ， ，
∴当 时， ；当 时， ；
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的最大（小）值
19．【答案】（1）解：∵y=x2在区间[0，1]上单调递增．
又f（0）=0，f（1）=1，
∴值域为[0，1]，
∴区间[0，1]是y=f（x）=x2的一个“和谐区间”
（2）解：设[m，n]是已知函数定义域的子集．
∵x≠0，[m，n] （﹣∞，0）或[m，n] （0，+∞），
故函数 在[m，n]上单调递增．
若[m，n]是已知函数的“和谐区间”，则
故m、n是方程 的同号的相异实数根．
∵x2﹣3x+5=0无实数根，
∴函数 不存在“和谐区间”．
（3）解：设[m，n]是已知函数定义域的子集．
∵x≠0，[m，n] （﹣∞，0）或[m，n] （0，+∞），
故函数 在[m，n]上单调递增．
若[m，n]是已知函数的“和谐区间”，则
故m、n是方程 ，即a2x2﹣（a2+a）x+1=0的同号的相异实数根．
∵ ，
∴m，n同号，只须△=a2（a+3）（a﹣1）＞0，即a＞1或a＜﹣3时，
已知函数有“和谐区间”[m，n]，
∵ ，
∴当a=3时，n﹣m取最大值
【知识点】函数单调性的性质
20．【答案】（1）证明：由为上的增函数，则有，
∴，无解，∴不存在“黄金区间”；
（2）记是函数的一个“黄金区间”，
由及此时函数值域为，可知
而其对称轴为，∴在上必为增函数，
令，∴，∴
故该函数有唯一一个“黄金区间”；
（3）由在和上均为增函数，
已知在“黄金区间”上单调，所以或，且在上为单调递增，
则同理可得，，即是方程的两个同号的实数根，等价于方程有两个同号的实数根，
又，则只要，∴或，
而由韦达定理知，，
所以，其中或，所以当时，取得最大值．
【知识点】函数的值域；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；一元二次方程的根与系数的关系
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