【高中数学苏教版必修第一册同步练习】 4函数的奇偶性（含答案）

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【高中数学苏教版必修第一册同步练习】
4函数的奇偶性
一、单选题
1．如图，给出了奇函数 的局部图象，那么f(1)等于（　　）
A．-4 B．-2 C．2 D．4
2．下列函数中，是奇函数的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（　　）
A． B． C． D．
4．以下给出了4个命题：
（1），；
（2），；
（3）若奇函数在上单调递增，则它在上单调递减；
（4）若偶函数在上单调递增，则它在上单调递减；
其中真命题的个数为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
5．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2，对任意的x∈[t，t+2]不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，那么实数t的取值范围是（　　）
A．[ ，+∞） B．[2，+∞）
C．（0， ] D．[0， ]
6．已知定义域为R的函数满足，且在单调递减，若，，，则（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
7．已知函数 ，则下列结论中错误的是（　　）
A．函数 的定义域是
B．函数 是偶函数
C．函数 在区间 上是减函数
D．函数 的图象关于直线 轴对称
8．设函数 是定义域为R，且周期为2的偶函数，在区间[0，1]上， ，其中集合 ，则下列结论正确的是（　　）
A．
B． 在[2m，2m+1](m∈N)上单调递增
C． 在 内单调递增
D． 的值域为[0，1]
三、填空题
9．函数 的定义域为R，满足 ，且当 时， ，则 　 　．
10．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当x>0时，f(x)＝2x－3，则f(－2)＝　 　.
11．已知函数，给出下列四个结论：
①的定义域为；
②对任意实数x，有；
③在上单调递减；
④存在，对任意有．
其中所有正确结论的序号是　 　．
12．若函数f（x）为奇函数，当x≥0时，f（x）=x2+x，则f（﹣3）的值为　 　．
13．给出下列五个命题：
①函数f（x）＝2 x﹣1﹣1的图象过定点（ ，﹣1）；②已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x（x+1），若f（a）＝﹣2则实数a＝﹣1或2．③若 1，则a的取值范围是（ ，1）；④若对于任意x∈R都f（x）＝f（4﹣x）成立，则f（x）图象关于直线x＝2对称；⑤对于函数f（x）＝lnx，其定义域内任意 都满足f（ ） 其中所有正确命题的序号是　 　．
14．写出一个同时满足下列两个条件的函数　 　．
①是上的偶函数；②在上有三个零点．
四、解答题
15．设函数 是定义在 上的奇函数，已知 ，且当 时， .
（Ⅰ）求 时，函数 的解析式；
（Ⅱ）判断函数 在 上的单调性，并用定义证明.
16．已知函数 ．
（1）判断 的奇偶性，并加以证明；
（2）设 ，若方程 有实根，求 的取值范围；
17．已知函数f（x）=2x+2ax（a为实数），且f（1）= ．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断函数f（x）的奇偶性并证明；
（3）判断函数f（x）在区间[0，+∞）的单调性，并用定义证明．
18．已知函数 （a为实数）是定义在R上的奇函数．
（1）求a的值；
（2）若对任意 ， 恒成立，求实数m的最大值．
19．已知函数 的值满足 （当 时），对任意实数 ， 都有 ，且 ， ，当 时， .
（1）求 的值，判断 的奇偶性并证明；
（2）判断 在 上的单调性，并给出证明；
（3）若 且 ，求 的取值范围.
20．已知函数 ，且 的解集为 .
（1）求函数 的解析式；
（2）设 ，若对任意的 都有 ，求 的最小值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】奇偶函数图象的对称性
2．【答案】C
【知识点】函数的奇偶性
3．【答案】D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
4．【答案】C
【知识点】全称量词命题；存在量词命题；命题的真假判断与应用；奇偶性与单调性的综合
5．【答案】A
【知识点】函数单调性的性质；奇函数与偶函数的性质；奇偶性与单调性的综合
6．【答案】D
【知识点】奇偶性与单调性的综合
7．【答案】A,C,D
【知识点】奇函数与偶函数的性质；对数的性质与运算法则
8．【答案】A,C
【知识点】函数的值域；函数单调性的性质；奇函数与偶函数的性质
9．【答案】1
【知识点】奇函数与偶函数的性质
10．【答案】1
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数的值
11．【答案】①②④
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的奇偶性
12．【答案】﹣12
【知识点】奇函数与偶函数的性质
13．【答案】③④⑤
【知识点】奇偶性与单调性的综合
14．【答案】
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数单调性的性质；函数的奇偶性；奇函数与偶函数的性质；奇偶函数图象的对称性
15．【答案】解：（Ⅰ）由题可知， ，解得 ；
∴当 时， .
当 时， ， .
∴ ， .
（Ⅱ）∵ ，
∴函数 在 上为增函数.
证明：设 ， 是 上任意实数，且 .
则 .
∵ ， 且 ，
∴ ， ， .
∴ ，即： .
∴函数 在 上为增函数
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明；奇函数与偶函数的性质
16．【答案】（1）解： 为奇函数
由 解得定义域为 或 关于原点对称，
，所以 为奇函数 ；
（2）解：由题意知 ，即 ，
所以 ，
即 在 有解，
设 ，则 设 ，
则 ，因为 ，
当且仅当 等号成立 ，
所以 值域为 ，所以 ，
【知识点】函数的奇偶性；对数的性质与运算法则；基本不等式在最值问题中的应用
17．【答案】（1）解：∵f（x）=2x+2ax（a为实数），且f（1）= ．
∴f（1）=2+2a= ．得2a= ，即a=﹣1，
则函数f（x）的解析式f（x）=2x+2﹣x
（2）解：f（﹣x）=2﹣x﹣2x=﹣（2x﹣2﹣x）=﹣f（x），
则函数f（x）是奇函数
（3）解：设0≤x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）= ﹣ ﹣ + =（ ﹣ ）（1+ ），
∵y=2x是增函数，∴ ﹣ ＜0，又1+ ＞0，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），函数f（x）是增函数
【知识点】奇偶性与单调性的综合
18．【答案】（1）解：因为 是R上的奇函数，所以 恒成立，则 ．
所以
（2）解：由（1）， ，由 得 ，
由于 ，当且仅当 时，“＝”成立．
所以实数m的最大值为4
【知识点】奇函数与偶函数的性质；基本不等式
19．【答案】（1）解：令 ， ；
函数 为偶函数.
证明如下：令 ，则 ， ，
，
故 为偶函数；
（2）解： 在 上是增函数.
证明如下：设 ， ， ，
则 ，
， ， ，
，
故 在 上是增函数.
（3）解： ，
又 ，
， ，
， ，
，则 ，
又函数 在 上是增函数，
，即 ，
综上知， 的取值范围是 .
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；奇偶性与单调性的综合
20．【答案】（1）解：因为 的解集为
所以 ， 是方程 的两根
则由韦达定理可得 ，
解得
所以
（2）解： ，为 上的奇函数
当 时，
当 时， ，则函数 在 上单调递增，在 上单调递减，且 时， ，在 时， 取得最大值，即 ；
当 时， ，则函数 在 上单调递减，在 上单调递减，且 时， ，在 时， 取得最小值，即 ；
对于任意的 都有
则等价于
即
所以 的最小值为1.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的最大（小）值；奇函数与偶函数的性质；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
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