【高中数学苏教版必修第一册同步练习】 5函数的概念和性质综合题（含答案）

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【高中数学苏教版必修第一册同步练习】
5函数的概念和性质综合题
一、单选题
1．若函数f（ x）=ax3﹣bx+c为奇函数，则c=（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．﹣2
2．若关下 的函数 的最大值为 ，最小值为 ， ．则实数 的值为（　　）
A．2 B．5 C．-2021 D．2021
3．下列函数，既是偶函数，又在区间（0，+∞）为单调递增函数的是（　　）
A．y=x B．y=﹣2x C．y=cosx D．y=
4．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在（0，+∞）上是增函数，设a=f（﹣），b=f（log3），c=f（），则a、b、c的大小关系是（　　）
A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜b＜a
5．定义在R上的函数在(6， ＋∞)上为减函数，且函数y＝f(x＋6)为偶函数，则（　　）
A．f(4)＞f(5) B．f(4)＞f(7) C．f(5)＞f(7) D．f(5)＞f(8)
6．已知函数，若在定义域内存在实数，使得，其中为整数，则称函数为定义域上的“阶局部奇函数”，若是上的“阶局部奇函数”，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
7．若函数 在R上单调递增，则实数 的取值范围是（　　）.
A． B． C． D．
二、多选题
8．已知 为奇函数，且 ，当 时， ，则（　　）
A． 的图象关于 对称 B． 的图象关于 对称
C． D．
9．德国著名数学家狄利克雷第一个引入了现代函数的概念，是解析数论的创始人，狄利克雷函数就以其名命名，其解析式为，狄利克雷函数的发现改变了数学家们对“函数是连续的”的认识，也使数学家们更加认可函数的对应说定义，关于函数有以下四个命题，其中真命题是（　　）
A．函数是奇函数 B．，
C．函数是偶函数 D．，，
三、填空题
10．已知f（x）= ，则f（f（ ））=　 　
11．已知函数，则　 　.
12．高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的美誉，以“高斯”命名的概念、定理、公式很多．如高斯函数，其中不超过实数的最大整数称为的整数部分，记作．如，，，记函数，则　 　，的值域为　 　．
13．若f（x）= 在[0，1]上单调递减，则实数a的取值范围为　 　．
14．已知函数，若对任意的，且成立，则实数的取值范围是　 　.
15．已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围为　 　.
16．已知 ， ，且 对任意的 恒成立，则 的最小值为　 　．
四、解答题
17．已知函数
（1）请在给定的坐标系中画出此函数的图象；
（2）写出此函数的定义域 单调区间及值域(不需要写过程).
18．已知函数，判断函数在(-2，+∞)上单调性并给出证明.
19．已知函数f（x）=log3（3+x）+log3（3﹣x）．
（1）求函数f（x）的定义域和值域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由．
20．设函数，，．
（1）若，求；
（2）是否存在正实数，使得是偶函数．
21．设函数f（x）的解析式满足 ．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当a=1时，试判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性，并加以证明；
（3）当a=1时，记函数 ，求函数g（x）在区间 上的值域．
22．函数是定义在实数集上的奇函数，当时，．
（1）求函数的解析式；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
23．已知函数
（1）求的值域；
（2）当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】奇函数与偶函数的性质
2．【答案】B
【知识点】函数的最大（小）值
3．【答案】D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
4．【答案】C
【知识点】奇偶性与单调性的综合
5．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；奇函数与偶函数的性质；函数的图象
6．【答案】B
【知识点】奇函数
7．【答案】B
【知识点】函数单调性的性质
8．【答案】A,B,D
【知识点】奇函数与偶函数的性质；奇偶函数图象的对称性；函数的值
9．【答案】B,C,D
【知识点】全称量词命题；存在量词命题；命题的真假判断与应用；函数的奇偶性
10．【答案】
【知识点】函数的值
11．【答案】
【知识点】函数的值
12．【答案】0.8；[0，1)
【知识点】函数的值域；函数的值
13．【答案】[2，5]
【知识点】复合函数的单调性
14．【答案】
【知识点】函数单调性的性质
15．【答案】
【知识点】函数单调性的性质
16．【答案】3
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值
17．【答案】（1）解：作图所示：
（2）解：定义域为 ，函数的单调增区间 和 ，单调减区间 和 ，值域为 .
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值域；分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的单调性及单调区间
18．【答案】解：在在(-2，+∞)上单调递增，
证明： ∈(-2，+∞)，且，又=，
∴==，而，，，
∴<0，即，
∴在(-2，+∞)上单调递增.
【知识点】函数单调性的判断与证明
19．【答案】（1）解：由题意：函数f（x）=log3（3+x）+log3（3﹣x）．
其定义域满足： ，解得：﹣3＜x＜3．
所以函数f（x）=log3（3+x）+log3（3﹣x）的定义域为（﹣3，3）．
函数f（x）=log3（3+x）+log3（3﹣x）=f（x）=log3（9﹣x2）
令u=9﹣x2（u＞0）其在x=0时取得最大值为9，
故得函数f（x）最大值为2，
所以函数f（x）=log3（3+x）+log3（3﹣x）的定义域为（﹣∞，2]
（2）解：由（1）可知定义域关于原点对称．
f（﹣x）=log3（3﹣x）+log3（3+x）=f（x）
所以原函数为偶函数
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值域；函数的奇偶性
20．【答案】（1）解：根据题意，函数，
则f（1），f（﹣1）2，
若f（1）+f（﹣1），则2，
变形可得（a﹣2）2＝0，即a＝2；
（2）解：假设存在正实数a＞0，使得是偶函数，
即f（﹣x）＝f（x），即，
变形可得（ax﹣4x）（1+ax）＝0，
必有a＝4，
故存在正实数a＝4，使得是偶函数．
【知识点】函数的概念及其构成要素；函数的奇偶性
21．【答案】（1）解：设x+1=t（t≠0），则x=t﹣1，
∴
∴
（2）解：当a=1时，
f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
证明：设0＜x1＜x2＜1，则
∵0＜x1＜x2＜1，∴x1﹣x2＜0，x1x2＞0，x1x2﹣1＜0，
∴ ，∴f（x1）﹣f（x2）＞0 f（x1）＞f（x2）
所以，f（x）在（0，1）上单调递减，
同理可证得f（x）在（1，+∞）上单调递增
（3）解：∵ ，
∴g（x）为偶函数，
所以，∴y=g（x）的图象关于y轴对称，
又当 时，由（2）知 在 单调减，[1，2]单调增，
∴
∴当a=1时，函数g（x）在区间 上的值域的为
【知识点】函数的值域；函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明
22．【答案】（1）解：因为当时，，
且函数是定义在实数集上的奇函数，
所以当时，，，
即当时，，
所以函数的解析式为
（2）解：因为当时，，
所以函数在上单调递减，且，
又因为是定义在实数集上的奇函数，
所以函数在上单调递减，且时，，
所以函数在实数集上单调递减，
那么不等式，
即，
则有，
即恒成立，
所以，
所以，实数的取值范围是
【知识点】奇函数与偶函数的性质；奇偶性与单调性的综合；一元二次不等式及其解法
23．【答案】（1）解：，
令，则，
所以的值域为．
（2）解：，即，
令，则，即在上有解，
当时，m无解；当时，可得，
因为，当且仅当时，等号成立，
所以．综上，实数m的取值范围为．
【知识点】复合函数的单调性；基本不等式在最值问题中的应用
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