人教版高中数学选择性必修第一册1.1.1空间向量及其线性运算精讲精练同步训练
【考点梳理】
考点一 空间向量的概念
1．定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．
2．长度或模：向量的大小．
3．表示方法：
①几何表示法：空间向量用有向线段表示；
②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或||.
4．几类特殊的空间向量
名称 定义及表示
零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0
单位向量 模为1的向量称为单位向量
相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a
共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a
相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量
考点二 空间向量的线性运算
空间向量的线性运算 加法 a＋b＝＋ ＝
减法 a－b＝－＝
数乘 当λ>0时，λa＝λ＝；当λ<0时，λa＝λ＝；当λ＝0时，λa＝0
运算律 交换律：a＋b＝b＋a；结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.
考点三 共线向量
1．空间两个向量共线的充要条件
对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
2．直线的方向向量
在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量．
考点四 共面向量
1．共面向量
如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．
2．向量共面的充要条件
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
【题型归纳】
题型一：空间向量的有关概念
1．给出下列命题：
①空间向量就是空间中的一条有向线段；
②在正方体中，必有；
③是向量的必要不充分条件；
④若空间向量满足，则．
其中正确的命题的个数是
A．1 B．2
C．3 D．0
2．给出下列命题
①空间中所有的单位向量都相等；②方向相反的两个向量是相反向量；
③若满足，且同向，则；
④零向量没有方向；⑤对于任意向量，必有．
其中正确命题的序号为（ ）
A．①②③ B．⑤ C．④⑤ D．①⑤
3．下列关于空间向量的说法中正确的是（ ）
A．若向量，平行，则，所在直线平行
B．若，则，的长度相等而方向相同或相反
C．若向量，满足，则
D．相等向量其方向必相同
题型二：空间向量的线性运算（加减法）
4．如图，在正方体中，点，分别是面对角线与的中点，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．空间四边形各边及对角线长均为，，，分别是，，的中点，则（ ）
A． B． C． D．
6．空间四边形中，.点在上，且，为的中点，则等于（ ）
A．- B．- C．- D．-
题型三：空间两个向量共线的有关问题
7．已知空间向量，，且，，，则一定共线的三点是（ ）.
A．A B D B．A B C C．B C D D．A C D
8．已知空间中两条不同的直线，其方向向量分别为，则“”是“直线相交”的（ ）
A．.充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9．下列命题中正确的是（ ）.
A．若与共线，与共线，则与共线.
B．向量，，共面，即它们所在的直线共面
C．若两个非零空间向量与满足，则
D．若，则存在唯一的实数，使
题型四：空间共面向量定理
10．已知、、三点不共线，点是平面外一点，则在下列各条件中，能得到点与、、一定共面的是（ ）
A． B．
C． D．
11．下列结论错误的是（ ）.
A．三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面
B．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
C．若 是两个不共线的向量，且(且)，则构成空间的一个基底
D．若 不能构成空间的一个基底，则 四点共面
12．在下列结论中：
①若向量共线，则向量所在的直线平行；
②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面；
③若三个向量两两共面，则向量共面；
④已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数x，y，z使得
．其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【双基达标】
一、单选题
13．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，已知下列各式：
①；②；
③；④.
其中运算的结果为向量的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
14．①若A B C D是空间任意四点，则有；
②是 共线的充要条件；
③若 共线，则与所在直线平行；
④对空间任意一点O与不共线的三点A B C，若（其中x y z∈R），则P A B C四点共面.
其中不正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
15．若空间中任意四点O，A，B，P满足＝m＋n，其中m＋n＝1，则（ ）
A．P∈直线AB
B．P 直线AB
C．点P可能在直线AB上，也可能不在直线AB上
D．以上都不对
16．在正方体中，点满足（）若平面平面，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
17．如图，在平行六面体ABCD A′B′C′D′中，设，，，则下列与向量相等的表达式是（ ）
A． B．
C． D．
18．如图，在四面体中，，分别是，的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
19．已知空间四边形ABCD中，，，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
20．下列说法：
①若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同；
②若向量，满足，且与同向，则；
③若两个非零向量与满足，则，为相反向量；
④的充要条件是A与C重合，B与D重合.
其中错误的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
21．在空间四边形中，，点在上，且，为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
22．如图，在平行六面体中，，，点在上，且，则（ ）．
A． B．
C． D．
【高分突破】
一：单选题
23．四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC的中点，若，则等于（ ）
A．1 B． C． D．2
24．已知正方体中，，若，则（ ）
A．， B．，y=1
C．， D．，
25．如图，在平行六面体中，M在AC上，且，N在上，且．设，，，则
A． B．
C． D．
26．在四面体中，空间的一点M满足，若M，A，B，C共面，则（ ）
A． B． C． D．
27．在正方体中，若点是侧面的中心，且，则的值分别为（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
28．已知点P为三棱O-ABC的底面ABC所在平面内的一点，且，则的值可能为（ ）
A． B．
C． D．
29．如图，在三棱柱中，为的中点，设，则下列向量与相等的是（ ）
A． B．
C． D．
30．空间、、、四点共面，但任意三点不共线，若为该平面外一点且，则实数的值为
A． B． C． D．
31．在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A． B． C． D．
32．如图，在空间四边形中， ， ， ．点在上，且，是的中点，则=（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
33．如图所示，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，，设，，，则下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
34．已知正方体的中心为，则下列结论中正确的有（ ）
A．与是一对相反向量
B．与是一对相反向量
C．与是一对相反向量
D．与是一对相反向量
35．如图，在正方体中，下列各式中运算的结果为的有
A． B．
C． D．
36．已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外的任一点，则“点M与点A，B，C共面”的充分条件的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
37．如果两个向量不共线，则与共面的充要条件是___________.
38．已知非零向量，不共线，则使与共线的的值是________．
39．在三棱锥A BCD中，若△BCD是正三角形，E为其中心，则＋－－化简的结果为________.
40．已知点在平面内，并且对不在平面内的任意一点，都有，则的值为_______．
41．如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，，用向量，，表示，则=_______．
四、解答题
42．在空间四边形ABCD中，连结AC BD，的重心为G，化简.
43．如图所示，在三棱柱中，是的中点，化简下列各式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
44．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E在A1D1上，且，F在对角线A1C上，且，求证：E，F，B三点共线.
45．如图，已知为空间的9个点，且， ，求证：
（1）四点共面，四点共面；
（2）；
（3）.
【答案详解】
1．B
【详解】
有向线段可以表示向量，但不是向量，故①不正确；根据正方体中，向量与的方向相同，模也相等，则，故②正确；命题③显然正确；命题④不正确，向量的平行不具有传递性，比如当为零向量时，零向量与任何向量都平行，则不一定平行．故选B．
2．B
【详解】
对于①，长度相等，方向也相同的向量才是相等的向量，两个单位向量，方向不同时，不相等，故①错误；
对于②，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，仅仅方向相反不是相反向量，故②错误；
对于③，向量是既有大小有有方向的量，向量的长度(模)能够比较大小，但向量不能比较大小的，故③错误；
对于④，根据规定，零向量与任意向量都平行，故零向量是有方向的，只是没有确定的方向，故④错误；
对于⑤，为向量模的不等式，由向量的加法的几何意义可知是正确的，故⑤正确．
综上，正确的命题只有⑤，
故选：.
3．D
【详解】
A中，对于非零向量，平行，则，所在的直线平行或重合；
B中，只能说明，的长度相等而方向不确定；
C中，向量作为矢量不能比较大小；
D中，由相等向量的定义知：方向必相同；
故选：D.
4．D
【详解】
因为点，分别是面对角线与的中点， ，，，
所以
故选:D.
5．A
【详解】
空间四边形各边及对角线长均为，
所以四边形构成的四面体是正四面体，四个面是等边三角形，
因为，，分别是，，的中点，
所以，，
，
，所以
.
故选：A.
6．B
解：因为，所以,
为的中点，则，
.
故选：B.
7．A
【详解】
因为，所以，又有公共点，所以A B D三点共线，故选项A正确；
显然不共线，所以、、三点不共线，故选项B错误；
显然不共线，所以、、三点不共线，故选项C错误；
因为，所以不共线，从而、、三点不共线，故选项D错误.
故选：A.
8．B
【详解】
由可知，与不共线，所以两条不同的直线不平行，可能相交，也可能异面，所以“”不是“直线相交”的充分条件；
由两条不同的直线相交可知，与不共线，所以，所以“”是“直线相交”的必要条件，
综上所述：“”是“直线相交”的必要不充分条件.
故选：B.
9．C
A中，若，则与不一定共线；
B中，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面；
C中，∵，∴，∴与共线，故正确；
D中，若，，则不存在，使.
故选：C
10．B
【详解】
若，且，
则，则，
即，所以，点、、、共面.
对于A选项，，A选项中的点、、、不共面；
对于B选项，，B选项中的点、、、共面；
对于C选项，，C选项中的点、、、不共面；
对于D选项，，D选项中的点、、、不共面.
故选：B.
11．C
【详解】
A选项，三个非零向量能构成空间的一个基底，则三个非零向量不共面，故A正确；
B选项，三个非零向量不共面，则此三个向量可以构成空间的一个基底，若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这三个向量共面，则已知的两个向量共线，如图，故B正确；
C选项，∵ 满足，∴，，共面，不能构成基底，故C错误，
D选项，因为 共起点，若，，，四点不共面，则必能作为空间的一个基底，故D正确，
故选C.
12．A
【详解】
平行向量就是共线向量，它们的方向相同或相反，未必在同一条直线上，故①错．
两条异面直线的方向向量可通过平移使得它们在同一平面内，故②错.
三个向量两两共面，这三个向量未必共面，如三棱锥中，两两共面，但它们不是共面向量，故③错．
根据空间向量基本定理，需不共面才成立，故④错．
故选:A．
13．D
【详解】
①：，故①正确；
②：，故②正确；
③：，故③正确；
④：，故④正确.
所以4个式子的运算结果都是，
故选：D.
14．C
【详解】
①中四点恰好围成一封闭图形，正确；
②中当 同向时，应有，故错误；
③中 所在直线可能重合，故错误；
④中需满足，才有P A B C四点共面，故错误.
故选：C
15．A
【详解】
因为m＋n＝1，所以m＝1－n，
所以＝(1－n)·＋n，
即＝n()，
即，所以与共线．
又，有公共起点A，所以P，A，B三点在同一直线上，即P∈直线AB.
故选：A
16．D
【详解】
如下图，由正方体性质知：面面，要使面面，
∴在面上，即共面，又，，
∴，可得.
故选：D
17．D
【详解】
由题意：
故选：D.
18．A
【详解】
在四面体中，，分别是，的中点，
故选：A．
19．C
【详解】
由向量的运算法则，可得.
故选：C.
20．C
【详解】
①错误.两个空间向量相等，其模相等且方向相同，但与起点和终点的位置无关.
②错误.向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小.
③正确. ，得，且，为非零向量，所以，为相反向量.
④错误. 由，知，且与同向，但A与C，B与D不一定重合.
故选：C
21．A
【详解】
.
故选：A
22．B
【详解】
因为，可得，
根据空间向量的运算法则，可得
，
又由，，，
所以.
故选：B.
23．B
【详解】
因为，
所以，所以，所以 ，
解得，所以，
故选：B.
24．D
【详解】
由空间向量的运算法则，可得，
因为，所以.
故选：D.
25．A
【详解】
解：因为M在AC上，且，N在上，且，
所以，，
在平行六面体中，，，，
所以，，
所以
，
故选：A．
26．A
因为M，A，B，C共面，则，得.
故选：A
【点睛】
本题考查空间四点共面定理，属于基础题型.
27．D
【详解】
如图，在正方体中，，
，
，
所以
,
所以，，
故选：D
28．C
【详解】
，且P，A，B，C共面，
，
只有符合，
故选：C.
29．A
【详解】
因为，如图，
依题意，有
．
故选： A
30．C
【详解】
因为空间、、、四点共面，但任意三点不共线，
则，
又点为该平面外一点，则
，
所以，
又，
由平面向量的基本定理得：，即，
故选：C．
31．A
如图，
由空间向量的线性运算可得：
，
，
故选：A
32．B
【详解】
由题，在空间四边形， ， ， ．
点在上，且， 是的中点，则 ．
所以
故选：B
【点睛】
本题主要考查空间向量加法与减法运算，需理解向量加法与减法的几何意义，属于基础题.
33．BD
【详解】
由已知得，，分析各个选项：
对于A，利用向量的四边形法则，，A错；
对于B，利用向量的四边形法则和三角形法则，得
，B对；
对于C，因为点在线段上，且，所以，
，所以，
，C错；
对于D，，D对
故选：BD
34．ACD
∵为正方体的中心，∴，，故，
同理可得，
故，∴A、C正确；
∵，，
∴与是两个相等的向量，∴B不正确；
∵，，
∴，∴D正确.
故选：ACD
35．BCD
【详解】
A．，故错误；
B．，故正确；
C．，故正确；
D．，故正确.
故选：BCD.
36．BD
【详解】
当时，可知点与点共面，
所以，
所以，
所以，
不妨令，，，且此时，
因为，，，，
由上可知：BD满足要求.
故选：BD.
37．
由空间向量共面定理可得，若向量不共线，
则与共面的充要条件是存在实数对，使.
故答案为：存在实数对，使.
38．
【详解】
若与共线，
则
因为非零向量，不共线，
所以，即，所以，
故答案为：
39．
【详解】
如图，取BC的中点F，连结DF，则DF必经过点E，则，
∴.
故答案为：.
40．
由题设，，
∴，又共面，
∴，可得.
故答案为：
41．
【详解】
由题意 =
故答案为：
42．
【详解】
设E为BC的中点，则，又为的重心，则，所以
43．
（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
44．
设，
∵，，
∴，，而
∴，.
∴,又,
∴，即E，F，B三点共线.
45．
证明：（1），∴A、B、C、D四点共面．
，∴E、F、G、H四点共面．
（2）.
（3）.
试卷第1页，总3页人教版高中数学选择性必修第一册
1.1.2空间向量的数量积运算精讲精练同步训练
【考点梳理】
考点一 空间向量的夹角
1．定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．
2．范围：0≤〈a，b〉≤π.，当〈a，b〉＝时，a⊥b.
考点二 空间向量的数量积
定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos 〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．规定：零向量与任何向量的数量积都为0.
性质 ①a⊥b a·b＝0②a·a＝a2＝|a|2
运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R. ②a·b＝b·a(交换律)．③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).
考点三 向量a的投影
1．如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2))．
2．如图(3)，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角．
【题型归纳】
题型一：空间向量的数量积的运算
1．已知空间中非零向量，，且，，，则的值为（ ）．
A． B．97 C． D．61
2．平行六面体（底面是平行四边形的棱柱）中，，，，则（ ）
A．1 B． C．2 D．4
3．在底面是正方形的四棱柱中，，， ，则（ ）
A． B． C． D．2
题型二：空间向量的数量积的应用（夹角和模）
4．如图所示，空间四边形中，，，则，的值是（ ）
A．0 B． C． D．
5．已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影的数量为（ ）
A．2 B． C． D．
6．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，且，，，，分别为，上的点，且，，（ ）
A．1 B． C．2 D．
【双基达标】
一、单选题
7．已知非零向量不平行，并且其模相等，则与之间的关系是（ ）
A．垂直 B．共线 C．不垂直 D．以上都可以
8．已知均为单位向量，它们的夹角为60°，那么（ ）
A． B．
C． D．4
9．如图，在平行六面体中，，，则（ ）
A．1 B． C．9 D．3
10．已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
11．已知四面体中，、、两两互相垂直，则下列结论中不成立的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
12．空间四边形各边及对角线长均为，，，分别是，，的中点，则（ ）
A． B． C． D．
13．已知是夹角为60°的两个单位向量，则=+与b=-2的夹角是（ ）
A．60° B．120° C．30° D．90°
14．已知四棱柱的底面是矩形，，则（ ）
A． B． C． D．
15．已知平行六面体中，，，，，．则的长为（ ）
A． B． C． D．
16．如图在长方体中，设，，则等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
【高分突破】
一：单选题
17．已知空间向量，0，，，2，，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A．，2， B．，2， C．，0， D．，0，
18．平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）所有棱长都为1，且则（ ）
A． B． C． D．
19．如图，空间四边形的每条边和对角线长都等于1，点，分别是，的中点，则（ ）
A． B． C． D．
20．设、为空间中的任意两个非零向量，有下列各式：
①；②；③；④.
其中正确的个数为（ ）
A． B． C． D．
21．已知在平行六面体中，，，，，，，则的长为（ ）．
A． B． C． D．
22．如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且与，的夹角都等于．若是的中点，则（ ）
A． B． C． D．
23．如图在平行六面体中，底面 是边长为1的正方形，侧棱且，则 （ ）
A． B． C． D．
24．在棱长为2的正四面体中，点M满足，点N满足，当、最短时，（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
25．已知是正方体，以下正确命题有（ ）
A．； B．；
C．向量与向量的夹角为； D．正方体的体积为.
26．正方体的棱长为，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
27．已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．向量与向量的夹角是60°
D．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为
28．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C．向量与的夹角是60° D．与AC所成角的余弦值为
三、填空题
29．设是单位向量，且，则的最小值为__________．
30．已知是空间两个向量，若，则=________．
31．如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于1，点，，分别是，，的中点，则___________.
32．如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，若，且，则的长为______．
四、解答题
33．如图，在正方体ABCD—A1B1C1Dl中，CD1和DC1相交于点O，连接AO．求证：AO⊥CD1．
34．如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a，点E、F，G分别是AB、AD、DC的中点.求下列向量的数量积：
；（2）；（3）；（4）.
35．如图，在平行六面体中，，，，，．求：
（1）； （2）的长； （3）的长．
36．在空间四边形中，是线段的中点，在线段上，且.
（1）试用表示向量；
（2）若，，，，，求的值及
【答案详解】
1．C
【详解】
∵
，
∴，
故选：C.
2．C
【详解】
平行六面体（底面是平行四边形的棱柱）中，，，，作图如下：
令，，，
则，，，设，即，
由，得，
即，
解得：或（舍去），即.
故选：C.
3．A
因为四棱柱中，底面是正方形，，，，
则，
所以
.
故选：A.
4．A
，
，
，，
故选：A
5．B
【详解】
由题意，，，，
则空间向量在向量方向上的投影为.
故选：B.
6．B
【详解】
∵，，
∴
，
又，，
∴
．
7．A
因为，
所以，
故选：A
8．C
【详解】
故选：C
9．D
【详解】
在平行六面体中，
有，，
由题知，，，，，
所以，，与的夹角为，
与的夹角为，与的夹角为，
所以
.
所以.
故选：D.
10．C
设与的夹角为．由，得，两边平方，得，
所以，解得，又，所以，
故选：C．
11．C
【详解】
、、两两垂直，则可得、、，
且、、、、，
A、B、D选项均正确，
故选：C．
12．A
【详解】
空间四边形各边及对角线长均为，
所以四边形构成的四面体是正四面体，四个面是等边三角形，
因为，，分别是，，的中点，
所以，，
，
，所以
.
故选：A.
13．B
由题意得=(+)·(2)==，
||=，
||=.
=.
°.
故选:B.
14．D
【详解】
.
故选：D
15．A
【详解】
记，，，则，同理，，
由空间向量加法法则得，
∴，
∴，即．
故选：A．
16．A
【详解】
由长方体的性质可知，
，
所以
.
故选：A
17．C
【详解】
解：向量，0，，，2， ，
则，， ，
所以向量在向量上的投影向量为
.
故选：C.
18．C
【详解】
如图：
由
,
,
19．B
由题意得，所以.
故选：B
20．B
对于①，，①正确；
对于②，向量不能作比值，即错误，②错误；
对于③，设、的夹角为，则，③错误；
对于④，由空间向量数量积的运算性质可得，④正确.
故选：B.
21．D
【详解】
解：在平行六面体中，因为，所以．
所以．
22．A
【详解】
记，，，
因为，，
所以，．
又因为，，
所以，．
易得，
所以，
所以．
故选：A
23．B
解：因为底面是边长为1的正方形，侧棱且，
则 ，，，，，，
则
故选：B.
24．A
因为点M满足，
所以平面
因为点N满足，
所以直线，
若、最短时，则平面，，
所以M为的中心，N为的中点，
此时，
∵平面平面，
∴，
∴.
又，
∴.
故选：A.
25．AB
【详解】
A：两两垂直，且，所以，正确；
B：由，所以，正确；
C：由正方体性质知：面，而面，即，即向量与向量的夹角为，错误；
D：由图知：，正方体的体积不为，错误；
故选：AB.
26．BC
如下图所示：
对于A选项，，A选项错误；
对于B选项，，B选项正确；
对于C选项，，C选项正确；
对于D选项，，D选项错误.
故选：BC.
27．AB
【详解】
由向量的加法得到：，∵，∴，所以A正确；
∵，AB1⊥A1C，∴，故B正确；
∵△ACD1是等边三角形，∴∠AD1C＝60°，又A1B∥D1C，∴异面直线AD1与A1B所成的夹角为60°，但是向量与向量的夹角是120°，故C不正确；
∵AB⊥AA1，∴，故＝0，因此D不正确.
故选：AB.
28．AB
【详解】
以顶点A为端点的三条棱长都相等, 它们彼此的夹角都是60°，
可设棱长为1,则
而
， 所以A正确.
=0,所以B正确.
向量,
显然 为等边三角形，则.
所以向量与的夹角是 ,向量与的夹角是,则C不正确
又，
则，
所以，所以D不正确.
故选：AB
29．
【详解】
，且均为单位向量，
∴，
||=1，,
∴.
设与的夹角为θ，
则.
故的最小值为
故答案为：
30．
因为，
所以，
解得，
所以，
故答案为：
31．
【详解】
设，则且两两夹角为
所以
，
所以
故答案为：
32．
【详解】
因为，
所以
，
所以，所以的长为，
故答案为：.
33
∵
∴
，
∴，即AO⊥CD1.
34．
【详解】
（1）在空间四边形ABCD中，且，
∴.
（2），，，
∴.
（3），，
又，，
∴.
（4）∵，，，
∴.
∴.
35．（1）；
（2），
，
，即的长为；
（3），
，
，即的长为.
36．
【详解】
（1）；
（2）
，
．人教版高中数学选择性必修第一册
1.3空间向量及其运算的坐标表示精讲精练同步训练
【考点梳理】
考点一 空间直角坐标系
1．空间直角坐标系及相关概念
(1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底，以O为原点，分别以i，j，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz.
(2)相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分．
2．右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．
考点二 空间一点的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底 {i，j，k}下与向量 对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标．
考点三 空间向量的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)．
考点四 空间向量的坐标运算
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有
向量运算 向量表示 坐标表示
加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R
数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3
考点五 空间向量的平行、垂直及模、夹角
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有
当b≠0时，a∥b a＝λb a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；
a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0；
|a|＝＝；
cos〈a，b〉＝＝ .
知识点三 空间两点间的距离公式
设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，
则P1P2＝||＝.
【题型归纳】
题型一：空间直接坐标对称问题
1．点关于平面的对称点为（ ）
A． B． C． D．
2．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，关于轴的对称点为，则、间的距离为（ ）
A． B．6 C．4 D．
3．在空间直角坐标系中，已知点，那么下列说法正确的是（ ）
①点关于轴对称的点的坐标是；②点关于平面对称的点的坐标是；③点关于平面对称点的坐标是；④点关于原点对称点的坐标是.
A．①② B．①④ C．②④ D．③④
题型二：空间图像上的点坐标
4．如图所示，在一个长、宽、高分别为2、3、4的密封的长方体装置中放一个单位正方体礼盒，现以点D为坐标原点，、、分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则正确的是（ ）
A．的坐标为 B．的坐标为
C．的长为 D．的长为
5．在空间直角坐标系中，记点在平面内的正投影为点B，则（ ）
A． B． C． D．
6．在空间直角坐标系中,已知.若分别是三棱锥在坐标平面上的正投影图形的面积，则
A． B．
C． D．
题型三：空间中点坐标公式的应用
7．如图所示的空间直角坐标系中，正方体的棱长为，，则点的空间直角坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．已知△ABC的三个顶点A(3，3，2)，B(4，－3，7)，C(0，5，1)，则BC边上的中线长为
A．2 B．3 C． D．
9．在空间直角坐标系中，给出以下结论：①点关于轴的对称点的坐标为；②点关于平面对称的点的坐标是；③已知点与点，则的中点坐标是；④两点间的距离为.其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
题型四：空间两点间的距离公式应用
10．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，则、两点间的距离为（ ）
A． B．2 C．4 D．
11．正方体的棱长为，且，，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知点，，则，两点的距离的最小值为
A． B． C． D．
题型五：空间坐标的运算及其模的求法
13．若向量，满足条件，则x的值为（ ）
A． B．2 C．0 D．1
14．平行六面体中，，，，则对角线的长为（ ）
A． B．12 C． D．13
15．设，向量，，，且，，则（ ）
A． B．3 C． D．4
题型六：空间向量的平行的坐标表示问题
16．已知向量，则与共线的一个单位向量（ ）
A． B． C． D．
17．已知点，.点为坐标原点，若，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
18．已知，，若与共线，则实数（ ）
A．-2 B． C． D．2
题型七：空间向量的垂直的坐标表示问题
19．下列各组向量互相垂直的是（ ）
A．2，，
B．4，，0，
C．2，，
D．4，，
20．已知，，且与互相垂直，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
21．已知为坐标原点，向量，点，.若点在直线上，且，则点的坐标为（ ）.
A． B．
C． D．
题型八：空间向量的夹角余弦的坐标问题
22．若向量，且与的夹角余弦为，则λ等于（ ）
A． B． C．或 D．2
23．已知空间向量，，且，则与的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
24．已知A(1,0,0)，B(0，－1,1)，O(0,0,0)，与的夹角为120°，则λ的值为( )
A．± B． C．－ D．±
【双基达标】
一、单选题
25．已知向量，，且与互相垂直，则（ ）
A．1 B． C． D．
26．设，，向量，，，且，，则（ ）
A． B．3 C．4 D．
27．已知空间四点，，，，则（ ）
A． B． C． D．
28．一束光线自点P（1，1，1）出发，被xOy平面反射到达点Q（3，3，6）被吸收，那么光线所经过的距离是（ ）
A． B． C． D．
29．已知向量，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
30．已知空间三点，，，若向量与的夹角为60°，则实数（ ）
A．1 B．2 C． D．
31．空间有四点A、B、C、D，其中，且，则直线AB与CD（ ）
A．平行 B．重合 C．必定相交 D．必定垂直
32．如图所示，在空间直角坐标系中，，原点是的中点，点在平面内，且，，则点的坐标为（ ）．
A．
B．
C．
D．
33．若＝(a1，a2，a3)，＝(b1，b2，b3)，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
34．已知，，则向量与的夹角是（ ）
A．90° B．60°
C．45° D．30°
35．已知，，当取最小值时，的值为
A．19 B． C． D．
【高分突破】
一：单选题
36．已知向量，，且与互相垂直，则的值是
A．-1 B． C． D．
37．如图，在三棱柱中，底面，，，则与平面所成角的大小为
A． B． C． D．
38．已知空间直角坐标系中，，，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
39．正方体的棱长为，点在且，为的中点，则为( )
A． B． C． D．
40．已知空间向量，，若与垂直，则等于（ ）
A． B． C． D．
41．已知空间向量，，则的最小值为
A． B． C．2 D．4
42．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，点在底面上（包括边界）移动，且满足，则线段的长度的最大值为（ ）
A． B． C． D．3
二、多选题
43．已知向量，，， 下列等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
44．已知空间三点，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
45．已知向量，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．不存在实数，使得
D．若，则
46．如图，在正方体中，点，分别是棱和的中点，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
47．在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，则以下结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
48．已知向量，若，则实数的值为______.
49．如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，，∠BAD＝∠BAA1＝120°，∠DAA1＝60°，则线段AC1的长度是_______．
50．已知向量，，则在方向上的投影为________．
51．如图所示，正方体的棱长为是它内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，为正方体表面上的动点，当弦的长度最大时，的取值围是_______________________．
四、解答题
52．已知，，，.
（1）求实数的值；
（2）若，求实数的值.
53．直三棱柱中，，棱，是的中点．
(1)求的长；
(2)求的值．
54．如图，，原点是的中点，点的坐标为，，，点在平面上，且，．
（1）求向量的坐标．
（2）求与的夹角的余弦值．
55．已知空间三点.
（1）若点在直线上，且，求点的坐标；
（2）求以为邻边的平行四边形的面积.
56．已知，．
（1）求；
（2）求与夹角的余弦值；
（3）求确定、的值使得与轴垂直，且．
【答案详解】
1．A
【详解】
因为点关于平面的对称点为，
所以点关于平面的对称点为
故选：A
2．B
因为关于平面的对称点为，所以，
又因为关于轴的对称点为，所以，
所以，
故选：B.
3．D
【详解】
空间直角坐标系中，点.
对于①，点关于轴对称的点的坐标是，①错误；
对于②，点关于平面对称的点的坐标是，②错误；
对于③，点关于平面对称点的坐标是，③正确；
对于④，点关于原点对称点的坐标是，④正确；
综上知，正确的命题序号是③④.
故选：D.
4．D
【详解】
由所建坐标系可得：，，，
.
故选：D.
5．B
点在平面内的正投影为点，则．
故选：B.
6．C
【详解】
解：三棱锥各顶点在平面上的正投影坐标为，，，，在平面上正投影的图形为直角三角形，其面积为；
三棱锥各顶点在平面上的正投影坐标为，，，，在平面上正投影的图形为直角梯形，其面积为；
三棱锥各顶点在平面上的正投影坐标为，，，，在平面上正投影的图形为直角梯形，其面积为；
所以得，故选C．
7．D
【详解】
因为，故为中点，又，故，即
故选：D
8．B
【详解】
由题意的中点为，∴．
故选：B．
9．C
【详解】
①点关于轴的对称点的坐标为，故①错误；
②点关于平面对称的点的坐标是，故②正确；
③已知点与点，则的中点坐标是，故③正确；
④两点间的距离为，故④错误.
故选：C.
10．B
【详解】
由题意，∴．
故选：B．
11．A
【详解】
以为坐标原点，正方向为轴可建立如图所示空间直角坐标系，
，又，，，
同理可得：，，
，，，，，，
，
的轨迹为（平面），即平面；
点关于平面对称点在上且满足，；
（当且仅当三点共线时取等号），
，，，
的最小值为.
故选：A.
12．C
【详解】
因为点，
所以
有二次函数易知，当时，取得最小值为
的最小值为
故选：C.
13．B
【详解】
由，即，
则，
∴1＋2＋1－(1＋2＋x)＝－1，得x＝2.
故选：B
14．D
【详解】
因为，所以
故选：D
15．C
【详解】
解：，，得，
又，则，得，
，
，
.
故选：C.
16．B
设，由已知可得，解得.
因此，或.
故选：B.
17．A
【详解】
设点的坐标为，，
因为点，，，
由，可得，
解得:，
所以点的坐标为
故选：A.
18．B
【详解】
∵，，
∴，.
∵与共线，
∴，即.
故选：B.
19．C
【详解】
解：对于，，、不垂直；
对于，由得、是共线向量，不垂直；
对于，，；
对于，，、不垂直．
故选：．
20．D
【详解】
解：根据题意，向量 .，，则， ，，，2，，
若向量.与.互相垂直，则有，
解可得：；
故选：D.
21．A
【详解】
因为在直线上，故存在实数使得，
.若，则，所以，解得，
因此点的坐标为.
故选：A.
22．A
【详解】
解：∵向量，
∴，
解得．
故选：A．
23．B
【详解】
，
因为，解得，即.
所以.
故选：B
24．C
【详解】
因为，，
所以，，，，，
，
，
，
所以 ，
所以，
且
解得，故选C．
25．B
，
由于与互相垂直，
所以.
故选：B
26．B
【详解】
因为，所以，解得，所以，
因为，所以，解得，所以，
所以，
所以.
故选：B
27．A
【详解】
由题意得，，
所以
，
所以，
故选：A
28．D
【详解】
P关于xOy平面对称的点为P′（1，1，-1），则光线所经过的距离为
|P′Q|=.
故选:D
29．A
【详解】
由题意，，而，，
∴，则，又，
∴.
故选：A
30．B
【详解】
，，，
，
由题意有
即，
整理得，
解得
故选：B
31．D
【详解】
，由因为，所以，即，所以，
又因为，所以，
故选：D.
32．B
【详解】
过点作，垂足为，
在中，，，，
得、，
所以，
所以，
所以点的坐标为，
故选：B．
33．A
【详解】
解析：设，则=k，即，即“”可推出“”；
又若＝时，＝(0，0，0)，虽有成立，但条件显然不成立，
所以“”推不出“”，故“”是“”充分不必要条件.
故选：A．
34．A
【详解】
依题意，，，
则，，
所以，
所以，即向量与的夹角是90°．
故选：A.
35．C
【详解】
，故当时，取得最小值.
36．D
【详解】
∵向量（1，1，0），（﹣1，0，2），
∴k（k，k，0）+（﹣1，0，2）＝（k﹣1，k，2），
2（2，2，0）﹣（﹣1，0，2）＝（3，2， 2），
∵k和2互相垂直，
∴（k） （2）＝
解得k．
故选D．
37．A
【详解】
取AB的中点D，连接CD，以AD为x轴，以CD为y轴，以为z轴，建立空间直角坐标系，
可得，，故，而
，设平面的法向量为，根据
，解得，
.
故与平面所成角的大小为，故选A．
38．C
【详解】
设，
由点在直线上，可得存在实数使得，
即，可得,
所以,
则，
根据二次函数的性质，可得当时，取得最小值，此时.
故选：C.
39．A
【详解】
建立如图所示的空间直角坐标系
则N(a，a，a)，C1（0，a，a），A（a，0，0）
因为
所以
所以
所以
所以
所以选A
40．A
【详解】
解：由空间向量，，若与垂直，
则，
即，
即，
即，
即，
即，
故选：A.
41．C
【详解】
解：∵，，
∴，
则，
∴当时，取最小值为2．
故选：C．
42．D
【详解】
解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，
设P（a，b，0），则（0，0，2），E（1，2，0），（2，2，2），
＝（a 2，b 2， 2），＝（1，2， 2），
∵P⊥E，
，
∴a＋2b 2＝0，
∴点P的轨迹是一条线段，
，
由二次函数的性质可得当时，可取到最大值9，
∴线段P的长度的最大值为3．
故选：D．
43．BCD
【详解】
由题，所以
不相等，所以A选项错误；
，所以，所以B选项正确；
，所以C选项正确；
，
即，，所以D选项正确.
故选：BCD
44．AC
【详解】
，
，
，故A正确；
不存在实数，使得，故不共线，故B错误；
，故C正确；
，故D错误.
故选：AC.
45．AC
【详解】
对于A中，由，可得，解得，故A选项正确；
对于B中，由，可得，解得，故B选项错误；
对于C中，若存在实数，使得，则，显然无解，即不存在实数，使得，故C选项正确；
对于D中，若，则，解得，于是，故D选项错误.
故选：AC.
46．ACD
【详解】
以为轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，
则，，，，
，
，，，，A正确；
，，B错；
，，C正确；
，D正确．
故选：ACD．
47．CD
【详解】
如图，连接AC和BD交于O，连接SO，由题可知OA，OB，OS两两垂直，则以OA，OB，OS为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
，
底面是边长为的正方形，，
，，
则,
,
,
，故A错误；
，故B错误；
，故C正确；
，
，
即，故D正确.
故选：CD.
48．2
【详解】
由题意知，向量，所以，
又由，
解得．
49．
【详解】
，
，
，
故答案为：．
50．
依题意在方向上的投影为.
51．
【详解】
当弦的长度最大时，弦过球心，
如图，建立空间直角坐标系，不妨设是上下底面的中心，
则，，
，，，
则
，
而表示点和定点距离的平方，很显然正方体的顶点到定点距离的平方最大，最大值是 正方体面的中心到定点的距离的平方最小，最小值是，所以的最小值是，最大值是.
故答案为：
52．（1）2；（2）.
【详解】
（1）.
∵ ，
∴ 设，
∴ ，
∴ 即
∴ 的值为2.
（2），
.
∵ ，
∴ ，
∴ .
53．（1）；（2）
以为原点，以为轴，轴，轴的正方向，
建立空间直角坐标系．
(1)依题意，得.
(2)依题意，得．
∴，
∴.
54．（1）；（2）.
（1）过作于，
则，，
所以的坐标为，
又因为，所以．
（2）依题设有点坐标为，所以，，
则与的夹角的余弦值为．
55．（1）；（2）.
解：（1），点在直线上，
设，
，
，
，
，，.
（2），
，
，，
，
所以以为邻边得平行四边形的面积为.
56．（1）；（2）；（3），．
【详解】
（1）因为，，
所以.
（2）∵，，
∴，
∴与夹角的余弦值为，
（3）取轴上的单位向量，，
依题意，
即，
故，
解得，．
试卷第1页，总3页人教版高中数学选择性必修第一册1.2空间向量基本定理精讲精练同步训练
【考点梳理】
考点一 空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．
考点二 空间向量的正交分解
1．单位正交基底
如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示．
2．向量的正交分解
由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．
考点三 证明平行、共线、共面问题
(1) 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
(2) 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
考点三 求夹角、证明垂直问题
(1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝.
(2)若a，b是非零向量，则a⊥b a·b＝0.
知识点三 求距离(长度)问题
＝( ＝ )．
【题型归纳】
题型一：空间向量基底概念与判断
1．下列能使向量，，成为空间的一个基底的关系式是（ ）
A． B．
C． D．
2．空间四个点O，A，B，C，为空间的一个基底，则下列说法正确的是（ ）
A．O，A，B，C四点不共线 B．O，A，B，C四点共面，但不共线
C．O，A，B，C四点中任意三点不共线 D．O，A，B，C四点不共面
3．若为空间的一组基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（ ）
A． B．
C． D．
题型二：空间向量基本定理的应用
4．空间四边形中，.点在上，且，为的中点，则等于（ ）
A．- B．- C．- D．-
5．设是正三棱锥，是的重心，是上的一点，且，若，则（ ）．
A． B． C． D．
6．如图，在四面体中，点是棱上的点，且，点是棱的中点.若，其中为实数，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【双基达标】
一、单选题
7．已知是空间的一个基底，若，则（ ）
A．是空间的一组基底
B．是空间的一组基底
C．是空间的一组基底
D．与中的任何一个都不能构成空间的一组基底
8．点是矩形所在平面外一点，且平面，，分别是，上的点，且，则满足的实数的值分别为（ ）
A． B．
C． D．
9．在下列两个命题中，真命题是（ ）
①若三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，共面；
②若，是两个不共线向量，而＝λ＋μ (λ，μ且λμ≠0)，则{，，}构成空间的一个基底．
A．仅① B．仅② C．①② D．都不是
10．如图，在长方体中，P是线段上一点，且，若，则（ ）
A． B． C． D．1
11．如图，在三棱锥中，点，分别是，的中点，点为线段上一点，且，若记，，，则（ ）
A． B．
C． D．
12．下列结论错误的是（ ）.
A．三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面
B．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
C．若 是两个不共线的向量，且(且)，则构成空间的一个基底
D．若 不能构成空间的一个基底，则 四点共面
13．如图，已知空间四边形，其对角线为分别是的中点，点在线段上，且使，用向量表示向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
14．设：，，是三个非零向量；：为空间的一个基底，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
15．已知空间向量，满足||=||=1，且，的夹角为，O为空间直角坐标系的原点，点A，B满足=2+，=3-，则△OAB的面积为（ ）
A． B． C． D．
16．已知在四棱柱中，四边形为平行四边形，若，则（ ）
A． B． C． D．
【高分突破】
一：单选题
17．在空间四边形中，，，，且，则（ ）
A． B． C． D．
18．在三棱锥中，，N为中点，则（ ）
A． B． C． D．
19．在平行六面体中，与的交点为，设，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A． B． C． D．
20．如图，在四面体中，，分别在棱，上且满足，，点是线段的中点，用向量，，作为空间的一组基底表示向量应为（ ）
A． B．
C． D．
21．已知，，，，则向量与之间的夹角为（ ）.
A． B． C． D．以上都不对
22．给出下列命题：
①已知，则；
②、、、为空间四点，若、、不构成空间的一个基底，那么、、、共面；
③已知，则、与任何向量都不构成空间的一个基底；
④若、共线，则、所在直线或者平行或者重合．
正确的结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
23．已知O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量=，向量，则不能与构成空间的一个基底的是（ ）
A． B． C． D．或
24．在棱长为1的正方体中，，，分别在棱，，上，且满足，，，是平面，平面与平面的一个公共点，设，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
25．在以下命题中，不正确的命题有（ ）
A．是、共线的充要条件
B．若，则存在唯一的实数，使
C．对空间任意一点和不共线的三点、、，若，则、、、四点共面
D．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底
26．关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
C．已知向量组是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底
D．若，则是钝角
27．已知空间四边形，其对角线为、，、分别是对边、的中点，点在线段上，且，现用基组表示向量，有，则（ ）
A． B． C． D．
28．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，为与的交点.若，，.则下列正确的是（ ）
A． B．
C．的长为 D．
29．下列命题中，正确的命题有（ ）
A．是共线的充要条件
B．若则存在唯一的实数，使得
C．对空间中任意一点和不共线的三点若，则四点共面
D．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底
30．给出下列命题，其中正确的有（ ）
A．空间任意三个向量都可以作为一组基底
B．已知向量，则、与任何向量都不能构成空间的一组基底
C．，，，是空间四点，若，，不能构成空间的一组基底，则，，，共面
D．已知是空间向量的一组基底，若，则也是空间一组基底
三、填空题
31．已知在正方体ABCD一中，点E为底面的中心，，，，，则=______，=_______，=_______．
32．设且是空间的一组基底，给出下列向量组：
①；② ③ ④
其中可以作为空间的基底的向量组是___________(填序号)．
33．如图，已知空间四边形，其对角线为、，是边的中点，是的重心，则用基向量，，表示向量的表达式为___________.
34．如图，点M为OA的中点，为空间的一个基底，，则有序实数组（x，y，z）=________.
35．已知为不共面的三个向量，，，若，则α，β，λ的值分别为________．
36．下列关于空间向量的命题中，正确的有______．
①若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则；
②若非零向量，，满足，，则有；
③若，，是空间的一组基底，且，则，，，四点共面；
④若向量，，，是空间一组基底，则，，也是空间的一组基底．
四、解答题
37．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设，，，E，F分别是AD1，BD的中点．
（1）用向量表示，；
（2）若，求实数的值．
38．如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.求证：A，E，C1，F四点共面.
39．如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，，E为A1D1的中点，F为BC1与B1C的交点.
（1）用基底表示向量
（2）化简，并在图中标出化简结果.
40．如图，已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，G为△PDC的重心，i， j， k，试用基底{i，j，k}表示向量，.
【答案详解】
1．C
【详解】
对于A：由，可得M，A，B，C四点共面，即共面，
所以选项A无法构成基底，选项C可以构成基底；
对于B：因为，由平面向量基本定理，可得共面，无法构成基底，故B错误；
同理选项D中，共面，故D错误.
故选：C
2．D
【详解】
由空间基底的定义，三个向量不共面，
但选项A，B，C三种情形都有可能使共面，
只有D才能使这三个向量不共面.
故选：D.
【点睛】
本题考查基底的概念，属于基础题.
3．C
【详解】
A：因为，所以向量是共面向量，因此这三个向量不能构成基底；
B：因为，所以向量是共面向量，因此这三个向量不能构成基底；
C：因为为空间的一组基底，所以这三个向量不共面.
若不构成一组基底，则有，所以向量是共面向量，这与这三个向量不共面矛盾，故假设不正确，因此能构成一组基底，
D：因为，所以向量是共面向量，因此
不能构成一组基底.
故选：C
4．B
【详解】
解：因为，所以,
为的中点，则，
.
故选：B.
5．C
【详解】
如下图所示，连接并延长交于点，则点为的中点，
为的重心，可得，
而，
，
所以，，
所以，，因此，.
故选：C.
6．C
【详解】
因为，所以，故.
故选：C.
7．C
假设，即，得，
这与是空间的一个基底矛盾，故是空间的一组基底，
故选：C.
8．D
取的中点，连接，
则
，
又因为，
由空间向量基本定理可得：
故选：D.
9．A
【详解】
解：根据空间向量基底的定义，三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，共面正确，故①为真命题；
根据平面向量基本定理，若，是两个不共线向量，且＝λ＋μ (λ，μ且λμ≠0)，则与、所确定的平面共面，即，，共面，所以{，，}不能构成空间的一个基底，故②为假命题.
故选：A.
10．B
【详解】
长方体中，依题意，，
，
而，又不共面，于是得，，，
所以.
故选：B
11．A
【详解】
解:
,
故选:A
12．C
【详解】
A选项，三个非零向量能构成空间的一个基底，则三个非零向量不共面，故A正确；
B选项，三个非零向量不共面，则此三个向量可以构成空间的一个基底，若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这三个向量共面，则已知的两个向量共线，如图，故B正确；
C选项，∵ 满足，∴，，共面，不能构成基底，故C错误，
D选项，因为 共起点，若，，，四点不共面，则必能作为空间的一个基底，故D正确，
故选C.
13．A
【详解】
.
因为分别为的中点，
所以
所以.
故选：A.
14．B
当非零向量，，共面时，不能是空间的一个基底，
由得不出，
若为空间的一个基底，则，，一定不共面，
所以，，一定是非零向量，
所以由可以得出，
因此是的必要不充分条件，
故选：B.
15．B
【详解】
||===，
||=，
则cos∠AOB===，
从而有sin∠AOB=，
∴△OAB的面积S=×××=，
故选：B．
16．C
【详解】
据题意，得，，
所以，
即.
又因为为空间不共面的三个向量，
所以，
所以，所以.
故选：C.
17．D
故选：D
18．B
【详解】
连接，所以，
因为，所以，
所以.
故选：B.
19．D
【详解】
故选：D
20．B
【详解】
连接，如图，
则由向量加法的平行四边形法则可得
.
故选：B.
21．C
因为，
所以，
两边平方得：，
即，
所以，
因为，
所以.
故选：C
22．C
对于①，若，则，故，故①正确；
对于②，若、、不构成空间的一个基底，则、、这个向量在同一平面内，故、、、共面，故②正确；
对于③，当时，若与、不共面，则、、可构成空间的一个基底，故③不正确；
对于④，根据向量共线的定义可得其成立，故④正确，
故选：C.
23．C
【详解】
因为=，=，
故()，所以与向量共面，
故，，不能构成空间的一个基底.
故选：.
24．C
【详解】
如图，为与交点，为中点，为与的交点.过作平行交于.
如图,则为中点，所以.
所以，
因此，
因为，所以,.
故选：C
25．ABC
【详解】
对于A选项，充分性：若，则、方向相反，且，充分性成立；
必要性：若、共线且方向相同，则，即必要性不成立，
所以，是、共线的充分不必要条件，A选项错误；
对于B选项，若，，则，但不存在实数，使得，B选项错误；
对于C选项，对空间任意一点和不共线的三点、、，
若、、、四点共面，可设，其中、，
则，可得，
由于，，此时，、、、四点不共面，C选项错误；
对于D选项，假设、、共面，
可设，
由于为空间的一个基底，可得，该方程组无解，
假设不成立，所以，构成空间的另一个基底，D选项正确.
故选：ABC.
26．ABC
【详解】
对于A中，根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，
则这三个向量一定共面，所以是正确的;
对于B中，若对空间中任意一点，有，因为，
根据空间向量的基本定理,可得P,A,B,C四点一定共面，所以是正确的;
对于C中，由是空间中的一组基底，则向量不共面，
可得向量不共面，所以也是空间的一组基底，所以是正确的;
对于D中，若，又由，所以，所以不正确.
故选：ABC
27．ABC
【详解】
如下图所示，
为的中点，则，
为的中点，则，，
，则，
，
，，则.
故选：ABC.
28．BD
【详解】
由空间向量的加法法则得，B正确，
，A错误；
由已知，
，C错；
，D正确．
故选：BD．
29．CD
【详解】
对于当时，共线成立，但当同向共线时
所以是共线的充分不必要条件，故不正确
对于B，当时，，不存在唯一的实数使得，故不正确
对于C，由于，而，根据共面向量定理知四点共面，故正确
对于D，若为空间的一个基底，则不共面，
由基底的定义可知，不共面，
则构成空间的另一个基底，故正确.
故选：CD
30．BCD
【详解】
选项A中，根据空间基底的概念，可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底，所以A不正确；
选项B中，根据空间基底的概念，可得B正确；
选项C中，由不能构成空间的一个基底，可得共面，又由过相同点B，可得四点共面，所以C正确；
选项D中：由是空间的一个基底，则基向量与向量一定不共面，所以可以构成空间另一个基底，所以D正确．
故选：BCD.
31．2 1
如图所示，
所以，
故答案为：①2，②1，③
32．②③④
【详解】
如图，平行六面体中，设，
则，，因四点共面，则向量共面，
而四点不共面，则向量不共面，又四点不共面，则不共面，
四点不共面，则也不共面，
所以可以作为空间的基底的向量组是②③④.
故答案为：②③④
33．
如图所示，连AG延长交BC于，
故答案为：.
34．
所以有序实数组，
故答案为：.
35．
∵
且不共面
∴，∴
故答案为：
36．①③④
【详解】
对于①：若向量， 与空间任意向量都不能构成基底，只能两个向量为共线向量，即，故①正确；
对于②：若非零向量，，满足，，则与不一定共线，故②错误；
对于③：若，，是空间的一组基底，且，
则，即，
可得到，四点共面，故③正确；
对于④：若向量，，，是空间一组基底，则空间任意一个向量 ，
存在唯一实数组，使得，
由的唯一性，则，，也是唯一的
则，，也是空间的一组基底，故④正确．
故答案为：①③④
37．（1），；（2）
（1）如图，连接AC，EF，D1F，BD1，
（2）
38．
证明:因为
＝
＝＋
＝，
所以，，共面，
所以A，E，C1，F四点共面.
39．
（1），
，
；
（2）
如图，连接DA1，则即为所求.
40．ijk；ijk.
【详解】
延长PG交CD于点N，则N为CD的中点，因为G为△PDC的重心，所以
ijk.
i＋j＋k.
试卷第1页，总3页1.1～1.3 习题课(原卷版）
1．【多选题】下列命题中，是真命题的是( )
A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
C．只有零向量的模等于0
D．共线的单位向量都相等
2．若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1－e2－e3，c＝e1＋e2，d＝e1＋2e2＋3e3({e1，e2，e3}为空间的一个基底)且d＝xa＋yb＋zc，则x，y，z的值分别为( )
A.，－，－1 B.，，1
C．－，，1 D.，－，1
3．设x，y∈R，向量a＝(x，1，1)，b＝(1，y，1)，c＝(2，－4，2)，且a⊥b，b∥c，则|a＋b|＝( )
A．2 B.
C．3 D．4
4．在四面体ABCD中，AB，BC，BD两两垂直，且AB＝BC＝1，点E是AC的中点，异面直线AD与BE所成角为θ，且cos θ＝，则该四面体的体积为( )
A. B.
C. D.
5．【多选题】已知向量＝(1，1，1)，＝(1，2，－1)，＝(3，y，1)，下列结论正确的是( )
A．若A，B，C，D四点共面，则 λ，μ∈R，使得＝λ＋μ，λ＝2
B．若A，B，C，D四点共面，则 λ，μ∈R，使得＝λ＋μ，μ＝2
C．若A，B，C，D四点共面，则y＝4
D．当AD⊥AC时，y＝1
6.【多选题】如图，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都为a，点M，N，E，F分别是AB，CD，BC，AD的中点，则( )
A．MN⊥AB
B．MN⊥CD
C．向量与所成角的余弦值为
D．四边形MENF为正方形
7．从点P(1，2，3)出发，沿着向量v＝(－4，－1，8)的方向取点Q，使|PQ|＝18，则Q点的坐标为( )
A．(－1，－2，3) B．(9，4，－13)
C．(－7，0，19) D．(1，－2，－3)
8.【多选题】如图，在三棱锥P－ABC中，△ABC为等边三角形，△PAC为等腰直角三角形，PA＝PC＝4，平面PAC⊥平面ABC，D为AB的中点，则( )
A．AP⊥BC
B．异面直线AC与PD所成角的余弦值为
C．异面直线PC与AB所成角的余弦值为
D．三棱锥P－ABC的体积为
9．在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝1，OB＝2，OC＝3，G为△ABC的重心，则·(＋＋)＝________．
10．已知e1，e2是空间单位向量，e1·e2＝，若空间向量b满足b·e1＝2，b·e2＝，且对于任意x，y∈R，有|b－(xe1＋ye2)|≥|b－(x0e1＋y0e2)|＝1，x0，y0∈R，则|b|＝________．
11.如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，M，E，F分别为PQ，AB，BC的中点，则异面直线EM与AF所成角的余弦值是________．
12.如图，已知棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，过点B作BM⊥AC1于点M，则点M的坐标为________．
13.如图，已知ABCD－A1B1C1D1是四棱柱，底面ABCD是正方形，AA1＝3，AB＝2，且∠C1CB＝∠C1CD＝60°，设＝a，＝b，＝c.
(1)试用a，b，c表示；
(2)已知O为对角线A1C的中点，求CO的长．
14．已知空间三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)．
(1)若点D在直线AC上，且⊥，求点D的坐标；
(2)求以BA，BC为邻边的平行四边形的面积．
15．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，以D为原点，，，所在直线为x，y，z轴建立直角坐标系Dxyz，点M在线段AB1上，点N在线段BC1上，且MN⊥AB1，MN⊥BC1.求：
(1)〈，〉；
(2)的坐标．
1．【多选题】已知向量a＝(1，1，0)，则与a共线的单位向量e等于( )
A. B．(0，1，0)
C. D．(1，1，1)
2．在四面体OABC中，空间的一点M满足＝＋＋λ，若M，A，B，C四点共面，则λ等于( )
A. B.
C. D.
3．在正四面体ABCD中，E是BC的中点，那么( )
A.·<·
B.·＝·
C.·>·
D.·与·不能比较大小
4．已知a＝(1，－2，3)，b＝(－1，1，－4)，c＝(1，－3，m)，则“m＝1”是“{a，b，c}构成空间的一个基底”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知P(3cos α，3sin α，1)和Q(2cos β，2sin β，1)，则||的取值范围是( )
A．[0，5] B．[1，25]
C．[1，5] D．(1，5)
6．在四面体O－ABC中，G是底面△ABC的重心，且＝x＋y＋z，则log3|xyz|等于________．
7．已知空间三点A(2，1，0)，B(2，2，1)，C(0，1，2)．
(1)求·的值；
(2)若(＋k)⊥(＋)，求k的值．
8.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点．
(1)求AC与PB所成角的余弦值；
(2)在侧面PAB内找一点N，使NE⊥平面PAC，求N点的坐标．
1.1～1.3 习题课(解析版）
1．【多选题】下列命题中，是真命题的是( )
A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
C．只有零向量的模等于0
D．共线的单位向量都相等
答案 ABC
解析 对于A，向量是有向线段，不能比较大小，故A为真命题；对于B，两向量相等说明它们的方向相同，模长相等，若起点相同，则终点也相同，故B为真命题；对于C，零向量为模长为0的向量，故C为真命题；对于D，共线的单位向量是相等向量或相反向量，故D为假命题．
2．若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1－e2－e3，c＝e1＋e2，d＝e1＋2e2＋3e3({e1，e2，e3}为空间的一个基底)且d＝xa＋yb＋zc，则x，y，z的值分别为( )
A.，－，－1 B.，，1
C．－，，1 D.，－，1
答案 A
解析 d＝xa＋yb＋zc＝(x＋y＋z)e1＋(x－y＋z)e2＋(x－y)e3.又因为d＝e1＋2e2＋3e3，所以解得
3．设x，y∈R，向量a＝(x，1，1)，b＝(1，y，1)，c＝(2，－4，2)，且a⊥b，b∥c，则|a＋b|＝( )
A．2 B.
C．3 D．4
答案 C
解析 因为b∥c，所以2y＝－4×1，所以y＝－2，所以b＝(1，－2，1)．因为a⊥b，所以a·b＝x＋1×(－2)＋1＝0，所以x＝1，所以a＝(1，1，1)，a＋b＝(2，－1，2)．所以|a＋b|＝＝3.
4．在四面体ABCD中，AB，BC，BD两两垂直，且AB＝BC＝1，点E是AC的中点，异面直线AD与BE所成角为θ，且cos θ＝，则该四面体的体积为( )
A. B.
C. D.
答案 A
5．【多选题】已知向量＝(1，1，1)，＝(1，2，－1)，＝(3，y，1)，下列结论正确的是( )
A．若A，B，C，D四点共面，则 λ，μ∈R，使得＝λ＋μ，λ＝2
B．若A，B，C，D四点共面，则 λ，μ∈R，使得＝λ＋μ，μ＝2
C．若A，B，C，D四点共面，则y＝4
D．当AD⊥AC时，y＝1
答案 AC
解析 由A，B，C，D四点共面，得 λ，μ∈R，使得＝λ＋μ，所以λ(1，1，1)＋μ(1，2，－1)＝(3，y，1)，所以解得故A、C正确，B不正确．由AD⊥AC，得⊥，所以·＝0.所以3＋2y－1＝0，解得y＝－1，D不正确．
6.【多选题】如图，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都为a，点M，N，E，F分别是AB，CD，BC，AD的中点，则( )
A．MN⊥AB
B．MN⊥CD
C．向量与所成角的余弦值为
D．四边形MENF为正方形
答案 ABD
解析 设＝p，＝q，＝r.由题意可知，|p|＝|q|＝|r|＝a，且p，q，r三个向量两两夹角均为60°.＝－＝(＋)－＝(q＋r－p)，所以·＝(q＋r－p)·p＝(q·p＋r·p－p2)＝(a2cos 60°＋a2cos 60°－a2)＝0.所以⊥，即MN⊥AB.同理可证MN⊥CD，A、B正确．设向量与的夹角为θ，因为＝(＋)＝(q＋r)，＝－＝q－p，所以·＝(q＋r)·＝(q2－q·p＋r·q－r·p)＝(a2－a2cos 60°＋a2cos 60°－a2cos 60°)＝＝.又因为||＝||＝a，所以·＝||||cos θ＝a×a×cos θ＝.所以cos θ＝.从而向量与所成角的余弦值为－，C错误．因为＝，＝，所以＝.所以四边形MENF为平行四边形．因为＝＝(－)，所以·＝(－)·＝0.所以⊥，||＝||＝a.所以四边形MENF为正方形．D正确．
7．从点P(1，2，3)出发，沿着向量v＝(－4，－1，8)的方向取点Q，使|PQ|＝18，则Q点的坐标为( )
A．(－1，－2，3) B．(9，4，－13)
C．(－7，0，19) D．(1，－2，－3)
答案 C
8.【多选题】如图，在三棱锥P－ABC中，△ABC为等边三角形，△PAC为等腰直角三角形，PA＝PC＝4，平面PAC⊥平面ABC，D为AB的中点，则( )
A．AP⊥BC
B．异面直线AC与PD所成角的余弦值为
C．异面直线PC与AB所成角的余弦值为
D．三棱锥P－ABC的体积为
答案 BCD
解析 取AC的中点O，连接OP，OB.因为PA＝PC，所以AC⊥OP，因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，所以OP⊥平面ABC，又因为AB＝BC，所以AC⊥OB.以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．因为△PAC是等腰直角三角形，PA＝PC＝4，△ABC为等边三角形，所以A(0，－2，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)，D(，－，0)，所以＝(0，2，2)，＝(－2，2，0)，·＝8≠0，A不正确；因为＝(0，4，0)，＝(，－，－2)，所以cos〈，〉＝＝＝－，则异面直线AC与PD所成角的余弦值为，B正确；因为＝(0，2，－2)，＝(2，2，0)，所以cos〈，〉＝＝＝，所以异面直线PC与AB所成角的余弦值为，C正确；三棱锥P－ABC的体积VP－ABC＝S△ABC·PO＝××(4)2×2＝，D正确．
9．在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝1，OB＝2，OC＝3，G为△ABC的重心，则·(＋＋)＝________．
答案
10．已知e1，e2是空间单位向量，e1·e2＝，若空间向量b满足b·e1＝2，b·e2＝，且对于任意x，y∈R，有|b－(xe1＋ye2)|≥|b－(x0e1＋y0e2)|＝1，x0，y0∈R，则|b|＝________．
答案 2
解析 问题等价于|b－(xe1＋ye2)|当且仅当x＝x0，y＝y0时取到最小值1，平方即|b|2＋x2＋y2－2b·e1x－2b·e2y＋2e1·e2xy＝|b|2＋x2＋y2－4x－5y＋xy.已知上式在x＝x0，y＝y0时取到最小值1，x2＋y2＋(y－4)x－5y＋|b|2＝＋(y－2)2－7＋|b|2，所以解得
11.如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，M，E，F分别为PQ，AB，BC的中点，则异面直线EM与AF所成角的余弦值是________．
答案
12.如图，已知棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，过点B作BM⊥AC1于点M，则点M的坐标为________．
答案
解析 由题意，知A(a，0，0)，B(a，a，0)，C1(0，a，a)，设M(x，y，z)，
则＝(－a，a，a)，＝(x－a，y，z)，＝(x－a，y－a，z)．
因为⊥，所以·＝0.
所以－a(x－a)＋a(y－a)＋az＝0，
即x－y－z＝0.①
因为∥，
所以设＝λ，则x－a＝－λa，y＝λa，z＝λa(λ∈R)，
即x＝a－λa，y＝λa，z＝λa.②
由①②，得x＝，y＝，z＝.
所以点M的坐标为.
13.如图，已知ABCD－A1B1C1D1是四棱柱，底面ABCD是正方形，AA1＝3，AB＝2，且∠C1CB＝∠C1CD＝60°，设＝a，＝b，＝c.
(1)试用a，b，c表示；
(2)已知O为对角线A1C的中点，求CO的长．
解析 (1)＝＋＋＝－＋－
＝－－－＝－c－b－a＝－a－b－c.
(2)由题意知|a|＝2，|b|＝2，|c|＝3，
a·b＝0，a·c＝2×3×＝3，b·c＝2×3×＝3，
∵＝＝(a＋b＋c)，
∴||＝
＝
＝
＝＝.
14．已知空间三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)．
(1)若点D在直线AC上，且⊥，求点D的坐标；
(2)求以BA，BC为邻边的平行四边形的面积．
解析 (1)由题意知，＝(1，－3，2)，点D在直线AC上，
设＝λ＝λ(1，－3，2)＝(λ，－3λ，2λ)，
∴D(λ，2－3λ，2λ＋3)，
＝(λ，2－3λ，3＋2λ)－(－2，1，6)
＝(λ＋2，1－3λ，2λ－3)，
∵⊥，
∴·＝(1，－3，2)·(λ＋2，1－3λ，2λ－3)
＝λ＋2－3＋9λ＋4λ－6＝14λ－7＝0，
∴λ＝，∴D.
(2)∵＝(2，1，－3)，＝(3，－2，－1)，
∴||＝＝，
||＝＝，
∴·＝2×3＋1×(－2)＋(－3)×(－1)＝7，
∴cos B＝cos〈，〉＝＝＝，∴sin B＝，
∴S＝××＝7，
∴以BA，BC为邻边的平行四边形的面积为7.
15．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，以D为原点，，，所在直线为x，y，z轴建立直角坐标系Dxyz，点M在线段AB1上，点N在线段BC1上，且MN⊥AB1，MN⊥BC1.求：
(1)〈，〉；
(2)的坐标．
解析 (1)由题意可知D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，B1(1，1，1)，C1(0，1，1)，
所以＝(0，1，1)，＝(－1，0，1)，
·＝0×(－1)＋1×0＋1×1＝1，
||＝＝，
||＝＝，
所以cos〈，〉＝＝＝.
所以〈，〉＝.
(2)设点M(1，x，x)，N(y，1，1－y)，
则＝(y－1，1－x，1－x－y)．
因为·＝0，·＝0，
即
化简得解得
所以的坐标为.
1．【多选题】已知向量a＝(1，1，0)，则与a共线的单位向量e等于( )
A. B．(0，1，0)
C. D．(1，1，1)
答案 AC
2．在四面体OABC中，空间的一点M满足＝＋＋λ，若M，A，B，C四点共面，则λ等于( )
A. B.
C. D.
答案 A
3．在正四面体ABCD中，E是BC的中点，那么( )
A.·<·
B.·＝·
C.·>·
D.·与·不能比较大小
答案 C
解析 因为·＝(＋)·(－)＝(||2－||2)＝0，·＝(＋)·＝·(－)＋·＝||·||·cos 120°－||·||·cos 120°＋||·||cos 120°<0.所以·>·.
4．已知a＝(1，－2，3)，b＝(－1，1，－4)，c＝(1，－3，m)，则“m＝1”是“{a，b，c}构成空间的一个基底”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 当m＝1时，c＝(1，－3，1)，易得a，b，c不共面，即{a，b，c}能构成空间的一个基底，即“m＝1”是“{a，b，c}构成空间的一个基底”的充分条件；当{a，b，c}能构成空间的一个基底时，则a，b，c不共面，设a，b，c共面，即c＝xa＋yb，解得即即当{a，b，c}能构成空间的一个基底时，m≠2，即当{a，b，c}能构成空间的一个基底时，不能推出m＝1，即“m＝1”是“{a，b，c}构成空间的一个基底”的不必要条件．综上所述，“m＝1”是“{a，b，c}构成空间的一个基底”的充分不必要条件．
5．已知P(3cos α，3sin α，1)和Q(2cos β，2sin β，1)，则||的取值范围是( )
A．[0，5] B．[1，25]
C．[1，5] D．(1，5)
答案 C
6．在四面体O－ABC中，G是底面△ABC的重心，且＝x＋y＋z，则log3|xyz|等于________．
答案 －3
7．已知空间三点A(2，1，0)，B(2，2，1)，C(0，1，2)．
(1)求·的值；
(2)若(＋k)⊥(＋)，求k的值．
解析 (1)因为A(2，1，0)，B(2，2，1)，
所以＝(0，1，1)．
又C(0，1，2)，所以＝(－2，0，2)，
所以·＝0×(－2)＋1×0＋1×2＝2.
(2)由(1)可知＝(0，1，1)，＝(－2，0，2)，
所以＋k＝(－2k，1，2k＋1)，＋＝(－2，1，3)．
因为(＋k)⊥(＋)，
所以4k＋1＋3(2k＋1)＝0，
解得k＝－.
8.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点．
(1)求AC与PB所成角的余弦值；
(2)在侧面PAB内找一点N，使NE⊥平面PAC，求N点的坐标．
解析 (1)由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，B(，0，0)，C(，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，2)，E，
从而＝(，1，0)，＝(，0，－2)．
设AC与PB的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝.
∴AC与PB所成角的余弦值为.
(2)由于N点在侧面PAB内，
故可设N点坐标为(x，0，z)，
则＝，
由NE⊥平面PAC可得，
即
化简得∴
即N点的坐标为时，NE⊥平面PAC.人教版高中数学选择性必修第一册
1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题精讲精练同步训练
【考点梳理】
考点一：空间向量中的距离问题
1.点P到直线 l 的距离
已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为＝a，则点P到直线l的距离为
2.点P到平面α的距离
设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为．
考点二：空间向量中的夹角问题
角的分类 向量求法 范围
两条异面直线所成的角 设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝
直线与平面所成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝
两个平面的夹角 设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝
【题型归纳】
题型一：点到平面的距离的向量求法
1．如下图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，侧棱AA1＝2，CA＝2，D是CC1的中点，试问在A1B上是否存在一点E，使得点A1到平面AED的距离为？
2．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，M为BB1的中点，N为BC的中点．
（1）求点M到直线AC1的距离；
（2）求点N到平面MA1C1的距离．
题型二：平行平面的距离的向量求法
3．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，点M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，
（1）证明：平面AMN∥平面EFBD；
（2）求平面AMN与平面EFBD间的距离．
4．在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC为正三角形，且侧棱AA1⊥底面ABC，且底面边长与侧棱长都等于2，O，O1分别为AC，A1C1的中点，求平面AB1O1与平面BC1O间的距离.
题型三：异面直线夹角的向量求法
5．如图，在直三棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）中，，，棱，为的中点.
（1）求的长；
（2）求与所成角的余弦值.
6．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为DD1，BD的中点，点G在CD上，且CG＝CD.
（1）求证：EF⊥B1C；
（2）求EF与C1G所成角的余弦值.
题型四：线面角的向量求法
7．如图，在多面体中，平面，点到平面的距离为，是正三角形，，．
（1）证明：．
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
8．如图，在四棱锥中，平面平面，底面四边形为直角梯形，，，，，为线段的中点，过的平面与线段，分别交于点，.
（1）求证：；
（2）若为棱上靠近点的三等分点，求直线与平面所成角的正弦值.
题型五：面面角的向量
9．如图1，在平面四边形ABCD中，BC⊥AC，CD⊥AD，∠DAC=∠CAB=，AB=4，点E为AB的中点，M为线段AC上的一点，且ME⊥AB.沿着AC将△ACD折起来，使得平面ACD⊥平面ABC，如图2.
（1）求证∶BC⊥AD；
（2）求二面角A-DM-E的余弦值.
10．如图，在四棱柱中，平面，，，，，若与交于点，点在上，且．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成角的余弦值．
【双基达标】
11．在正四棱柱中，AB=2，过、、B三点的平面截去正四棱柱的一个角后，得到如图所示的几何体，且这个几何体的体积为，点P，Q分别是和AC的中点.
（1）求异面直线与所成角的大小；
（2）求直线C1D与平面所成角的大小.（用反三角函数表示）
12．如图，在矩形中，，E为边上的点，，以为折痕把折起，使点C到达点P的位置，且使二面角为直二面角，三棱锥的体积为.
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
13．直角梯形绕直角边旋转一周的旋转的上底面面积为，下底面面积为，侧面积为，且二面角为，，分别在线段，上．
（Ⅰ）若，分别为，中点，求与所成角的余弦值；
（Ⅱ）若为上的动点、为的中点，求与平面所成最大角的正切值，并求此时二面角的余弦值．
14．如图，在三棱锥中，平面平面，是等边三角形，已知，.
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
15．已知四棱锥，底面为平行四边形，，，，，．
（Ⅰ）若平面平面，证明：；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
16．如图，正方形的中心为，四边形为矩形，平面平面，点为的中点，.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值；
（3）求点到直线的距离；
（4）设为线段上的点，且，求直线和平面所成角的正弦值.
【高分突破】
17．如图，四边形ABCD是矩形，，E是AD的中点，BE与AC交于点F，GF⊥平面ABCD；
（1）求证：AF⊥平面BEG；
（2）若，求直线EG与平面ABG所成的角的正弦值.
18．如图，四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD和侧面BCC1B1都是矩形，E是CD的中点，D1E⊥CD，AB＝2BC＝2．
（1）求证：平面CC1D1D⊥底面ABCD；
（2）若平面BCC1B1与平面BED1所成的锐二面角的大小为，求线段ED1的长度．
19．如图，在中，．O为的外心，平面，且．
（1）求证： 平面；
（2）设平面平面；若点M在线段上运动，且，当直线l与平面所成角取最大值时，求的值
20．如图，在三棱台中，，、分别为、中点.
（1）求证：平面；
（2）若，且平面，令二面角的平面角为，求.
21．在四棱锥中，底面为梯形，，，侧棱底面，E为侧棱上一点，．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）若，求直线与平面所成角的正弦值．
22．如图，正三棱柱的所有棱长都为2，为的中点．
（1）求与所成角的余弦值．
（2）求证：平面．
（3）求平面与平面的夹角的正弦值．
23．如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；
24．如图，在三棱锥中，平面平面，，，．
（1）证明：．
（2）若为的中点，为上一点，，求直线与平面所成角的正弦值．
25．如图，已知为圆锥底面的直径，点在圆锥底面的圆周上，，，平分，是上一点，且平面平面.
（1）求证：；
（2）求二面角的平面角的余弦值.
26．如图，在三棱柱中，平面，，.
（1）求证：平面；
（2）求异面直线与所成角的大小；
（3）点在线段上，且，试问在线段上是否存在一点，满足平面，若存在，求的值，若不存在，请说明理由？
【答案详解】
1．
解：如图以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线为x轴，y轴和z轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，
则A(2，0，0)，A1(2，0，2)，D(0，0，1)，B(0，2，0)，设＝λ，λ∈[0，1)，则E(2λ，2(1－λ)，2λ)．
又＝(－2，0，1)，＝(2(λ－1)，2(1－λ)，2λ)，
设为平面AED的法向量，则
取x＝1，则y＝，z＝2，即，
由于d＝＝，
∴＝，又λ∈(0，1)，解得λ＝，
所以，存在点E且当点E为A1B的中点时，A1到平面AED的距离为.
2．
由题意，分别以为x、y、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，A1(0，0，2)，M(2，0，1)，C1(0，2，2)，
（1）直线AC1的一个单位方向向量为，，
故点M到直线AC1的距离.
（2）设平面MA1C1的法向量为，
则,即
不妨取x＝1，得z＝2，故为平面MA1C1的一个法向量，
因为N(1，1，0)，所以,
故N到平面MA1C1的距离
.
3．
（1）证明：如图所示，建立空间直角坐标系，
则A(4，0，0)，M(2，0，4)，D(0，0，0)，B(4，4，0)，
E(0，2，4)，F(2，4，4)，N(4，2，4)．
从而＝(2，2，0)，＝(2，2，0)，＝(－2，0，4)，＝(－2，0，4)，
所以，，所以EF∥MN，AM∥BF．
又平面EFBD，平面EFBD，所以MN∥平面EFBD，
平面EFBD，平面EFBD，所以AM∥平面EFBD，
因为MN∩AM＝M，
所以平面AMN∥平面EFBD；
（2）解：因为平面AMN∥平面EFBD，
所以点B到平面AMN的距离即为平面AMN与平面EFBD间的距离．
设是平面AMN的法向量，
则有即，可取，
由于＝(0，4，0)，
所以点B到平面AMN的距离为，
所以平面AMN与平面EFBD间的距离为．
4．.
如图，连接OO1，则，且
所以四边形为平行四边形，所以AO1OC1，
平面BC1O，平面BC1O，所以平面BC1O，
又OBO1B1，
平面BC1O，平面BC1O，所以平面BC1O，
又AO1O1B1＝O1，所以平面AB1O1平面BC1O.
∴平面AB1O1与平面BC1O间的距离即为点O1到平面BC1O的距离.
根据题意，OO1⊥底面ABC，，两两垂直.
则以O为原点，分别以OB，OC，OO1所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系.
∵O(0,0,0)，，C1(0,1,2)，O1(0,0,2)，
设为平面BC1O的法向量，则
即取可得
点O1到平面BC1O的距离记为d，
则d＝＝＝.
∴平面AB1O1与平面BC1O间的距离为.
5．
如图，以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.
（1）依题意得、，因此，，
因此，线段的长为；
（2）依题意得、、、，
，，
所以，，
故与所成角的余弦值为.
6．
以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz.
则E（），，
（1）∵，，
∵，
（2）由（1）知，
∴，
，
，
设EF与C1G所成角为，则
故EF与C1G所成角的余弦值为
7．
（1）证明：如图，取的中点，连接，．
，
，且，
就是点到平面的距离，即平面
平面，
，
又，四边形是平行四边形，
是正三角形，
，
．
（2）解：由（1）得平面，
以为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
设平面的法向量为，，
，，
则由得，令，得．
设直线与平面所成角为，
则，
故直线与平面所成角的正弦值．
8．
（1）∵，，为的中点，∴且，
∴四边形为平行四边形，
∴，∵平面，平面，∴平面，
∵平面，平面平面，∴.
（2）∵，∴，
∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面，分别以，，所在的直线为，，轴，
建立直角坐标系，如图所示，
则，，，，，
∴，，，
设平面的法向量为，则，，
即，令，则，
∴直线与平面所成角的正弦值.
9．
（1）∵平面ACD⊥平面ABC.平面ACD∩平面ABC=AC，BC⊥AC，
∴BC⊥平面ACD，∵AD平面ACD，∴BC⊥AD.
（2）根据题意，以C为原点，CA，CB所在直线分别为x，y轴建立如图的空间直角坐标系，
∵BC⊥AC，CD⊥AD，∠DAC=∠CAB=，AB=4，
∴BC=2，AC=，CD=，CM=AC-AM=.
∴，
∴，，
设平面MDE的法向量为，则，即，令，得y=3，z=-1，∴，
由（1）知，平面MAD的一个法向量为=（0，2，0），
∴.
∴二面角A-DM-E的余弦值为.
10
（1）由可得，，
又，即，
，又平面，平面，
平面.
（2）如图，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系．
则，，，，，
则，，，
设平面的法向量为，由，可得
，取，可得，
设平面的法向量为，由，
可得，取，可得，
由图可知两平面所成的角为锐角，余弦值为
.
11．
（1）设正四棱柱的高为，
因为几何体的体积为，所以，
解得，即，
所以正四棱柱为正方体.
所以连接与，则交点为，连接与，则交点为，
在正方体中，，所以为异面直线与所成的角或所成角的补角.
因为,所以面,
又因为面,所以，
在中，，所以，
因为，所以，
即异面直线与所成角为.
（2）以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，,
设面的法向量为，
则 ，即 ，取，所以，
设直线C1D与平面所成角为，
则，
所以，即直线C1D与平面所成角为.
12．
（1）由，设的中点为O，连接，则，
又二面角为直二面角，故平面，设，则，
又，得三棱锥的体积，
即，得，
于是由，所以，所以，
又平面平面，得平面，则，
又，且，所以平面，
又平面，
故平面平面.
（2）以的中点O为坐标原点，以的方向为z轴正方向，过点O分别作和的平行线，分别为x轴和y轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，
设为平面的法向量，则有，
即，可取，
设为平面的法向量，则有，即，可取，
所以，由图形知二面角为钝角，其余弦值为.
13．
（Ⅰ）设圆台上、下底面半径分别为，．
∵，∴；∵，∴．
∵，∴．
过点作于点，则，
，∴圆台的高为．
∵二面角是直二面角，
∴建立空间直角坐标系如图所示，
点，，，，，
∴，
∴与所成角的余弦值为．
（Ⅱ）取的中点，连接，，，
∴，则．
∵平面，∴平面，
∴为直线与平面所成角，，
当时，最小，最大．
在中，，，，，
，即与平面所成最大角的正切值为．
又点，，，，
设点，平面的法向量，，，即，∴，
则，，，即，
解得，．
即令得．
易知平面的一个法向量为，
设二面角的平面角为，
则．
由图易得二面角为锐二面角，
∴二面角的余弦值为．
14．
（1）在中，因为，，，
所以，故.
又平面平面，平面平面，面，
所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
（2）以所在直线为轴，所在直线为y轴，过点垂直于底面的直线为轴，建立空间直角坐标系，则
，，，，，，
设平面的法向量，
由可得，令，则，，
所以，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
15．
（Ⅰ）证明：因为底面为平行四边形，所以．
又平面，平面，
所以平面．
又因为平面平面，
根据线面平行的性质定理，，
所以．
（Ⅱ）由题意得，，，
所以，，．
又，所以平面．
因为，所以平面．
又，所以，，两两垂直．
以为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则点，，，，，
所以，，．
设平面的法向量为，
则
令，则，，则一个法向量．
设平面的法向量为，
则
令，则，，则一个法向量，
则．
由图易得二面角为锐二面角，
所以二面角的余弦值为．
16．
（1）证明：取的中点，连接，，
因为四边形为矩形，
则且，
因为，分别是，的中点，
则且，
又是正方形的中心，
则，
所以且，
则四边形是平行四边形，
故，
又平面，平面，
故平面；
（2）解：以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，所以，，
设平面的法向量为，
则，即，不妨令，则，
因为平面，
则平面的一个法向量为，
所以，
则二面角的正弦值为；
（3）解：因为，，，
则，，
所以，
所以点到直线的距离为；
（4）解：因为，
则，
设，
则，
解得，
故，
所以，
故直线和平面所成角的正弦值为.
17．
（1）因为且，
所以，所以，
又因为，所以，所以，
所以，所以，
又因为平面，平面，所以，
又，所以平面；
（2）据题意，建立空间直角坐标系如下图所示：
因为，所以，所以，
所以，所以，
所以，所以，
设平面的一个法向量为，，
由可得，取，所以，
设直线与平面所成角大小为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
18．
（1）证明：因为底面ABCD和侧面BCC1B1都是矩形，
所以AD⊥CD，AD⊥DD1，
又CD∩DD1＝D，CD，DD1 平面CDD1C1，
所以AD⊥平面CDD1C1，又D1E 平面CDD1C1，
所以AD⊥D1E，又CD⊥D1E，且CD∩AD＝D，CD，AD 平面ABCD，
故D1E⊥平面ABCD，又D1E 平面CC1D1D，
则平面CC1D1D⊥平面ABCD；
（2）解：取AB得中点F，连结EF，则四边形EFBC为正方形，
所以EF⊥CD，故以E为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
设D1E＝a，则E（0，0，0），F（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），C1（0，2，a），
所以，
设平面BCC1B1的法向量为，
则有，即，
令z＝1，则，
因为FC⊥BE，又FC⊥D1E，BE∩D1E＝E，BE，D1E 平面BED1，
所以FC⊥平面BED1，
故为平面BD1E的一个法向量，
所以，
因为平面BCC1B1与平面BED1所成的锐二面角的大小为，
，解得a＝1，
所以D1E＝1．
19．
（1）如图，连接，交于点D，O为的外心，
，所以，
所以
故和都为等边三角形，
即四边形为菱形，所以
又平面，平面，所以平面．
（2）由（1）同理可知因为平面，平面，
平面平面，所以．
如图所示：以点D为原点，和垂直平面的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
则．
设所以
设平面的法向量为．
，
得，
令得．
所以直线l与平面所成角的正弦值为：
，
即当即点M是线段的中点时，直线l与平面所成角取最大值．
20．
（1）连接，设，连接，
由三棱台知，，，，，且.
为的中点，故且，故四边形为平行四边形，
因为，则为的中点，
又因为为的中点，故，
因为平面，平面，故平面；
（2）因为平面，平面，故，
因为，，平面，
因为，故平面，
，为的中点，故，
以点为坐标原点，以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，
设是平面的一个法向量，
则，令，则，，则，
，，
设是平面的一个法向量，
则，令，则，，，
所以，所以，.
21．
解：（Ⅰ）证明：连结相交于点O，连结．
在梯形中，∵，可得，
∴，又已知，则在中，，
∴．
又底面，∴底面，
则平面平面；
（Ⅱ）由题知，底面，，四边形为等腰梯形，以点A为坐标原点，为y轴，为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，
设，则，
，，设平面的法向量为，
由可得，取，则，又．
∴，
即直线与平面所成角的正弦值为．
22
（1）在正三棱柱中，为正三角形，取中点为，连接，则,
又面，,则面,建立如图空间直角坐标系，
由,.可得，,
所以与所成角的余弦值.
（2）由（1）知，，，
及,
且，平面．
（3）由（2）平面的法向量为，
,,,设平面的一个法向量为，则，令，，
平面与平面的夹角的正弦值为
23．
解：过作于点，则，以为原点，、、所在的直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，0，，，1，，，0，，，，，，1，，，0，，
为的中点，，，．
（1），，，，，，，0，．
设平面的法向量为，，，则，
令，则，，，1，，
，即，
又平面，平面．
（2）由（1）知，，0，，，，，
设平面的法向量为，，，则，
令，则，，，，，
，．
故平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
24．
设，则.
（1）证明：∵，，∴，.
在中，，即，
∴.
∵平面平面，平面平面，
∴平面，
又平面，∴.
（2）以为原点，，所在直线分别为轴、轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
∴，，.
设平面的法向量为，则
令，得，，∴.
∵，
∴直线与平面所成角的正弦值为.
25．
（1）因为，且平分，所以,又因为平面平面，且平面平面，所以平面，又因为平面，所以；
（2）
取的中点,连接，则两两垂直，所以以为坐标原点，以为轴，以为轴，以为轴建立如图空间直角坐标系，
则,
由（1）知平面，所以是平面的一个法向量，
设平面的法向量为，,,则，取，则，
因此,
由图可知二面角的平面角为钝角，所以二面角的平面角的余弦值为.
26．
（1）证明：在三棱柱中，平面，，．
，，，
，平面，
平面，，
，平面．
（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，0，，，0，，，2，，，0，，
，0，，，，，
设异面直线与所成角为，
则，又，．
异面直线与所成角的大小为．
（3）解：，，，，，，
，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，
点在线段上，且，点在线段上，
设，，，，，，，则，，，
即，
解得，
平面，，
解得．
的值为．人教版高中数学选择性必修第一册
1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系精讲精练同步训练
【考点梳理】
考点一：空间中点、直线和平面的向量表示
1.空间中点的位置向量
如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量．
2.空间中直线的向量表示式
直线l的方向向量为a ，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使
＝＋ta，①
把＝a代入①式得
＝＋t，②
①式和②式都称为空间直线的向量表示式．
3.空间中平面的向量表示式
平面ABC的向量表示式：空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝＋x＋y.我们称为空间平面ABC的向量表示式．
考点二 空间中平面的法向量
平面的法向量
如图，若直线 l⊥α ，取直线 l 的方向向量a ，我们称a为平面α的法向量；过点A且以 a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 {P|a·＝0}．
考点三： 空间中直线、平面的平行
1.线线平行的向量表示
设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则
l1∥l2 u1∥u2 λ∈R，使得u1＝λu2.
2.线面平行的向量表示
设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l α，则
l∥α u⊥n u·n＝0.
面面平行的向量表示
设n1 ，n2 分别是平面α，β的法向量，则
α∥β n1∥n2 λ∈R，使得n1＝λn2 .
考点四：空间中直线、平面的垂直
1.线线垂直的向量表示
设 u1，u2 分别是直线 l1 , l2 的方向向量，则
l1⊥l2 u1⊥u2 u1·u2＝0.
2. 线面垂直的向量表示
设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量， l α，则l⊥α u∥n λ∈R，使得u＝λn.
知识点三 面面垂直的向量表示
设n1，n2 分别是平面α，β的法向量，则
α⊥β n1⊥n2 n1·n2＝0.
【题型归纳】
题型一：平面的法向量的求法
1．若直线l的方向向量为（1,0,2），平面的法向量为，则（ ）
A． B． C．或 D．l与斜交
2．如图，在正方体ABCD 中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为B的中点，F为的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是
A．(1，－2，4) B．(－4,1，－2)
C．(2，－2，1) D．(1，2，－2)
3．如图，在单位正方体中，以为原点，，，为坐标向量建立空间直角坐标系，则平面的法向量是（ ）
A．，1， B．，1， C．，， D．，1，
题型二：空间中点、直线和平面的向量表示
4．已知平面内两向量，，若为平面的法向量且，则，的值分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
5．已知在正方体中，，为空间任意两点，如果，那么点必（ ）
A．在平面内 B．在平面内
C．在平面内 D．在平面内
6．已知光线沿向量（，，）照射，遇到直线后反射，其中是直线的一个方向向量，是直线的一个法向量，则反射光线的方向向量一定可以表示为
A． B．
C． D．
题型三：空间中直线、平面的平行
7．已知＝(2，4，5)，＝(3，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量．若l1∥l2，则（ ）
A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝
C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝
8．设平面的一个法向量为＝(1，2，－2)，平面的一个法向量为＝(－2，－4，k)，若，则k＝（ ）
A．-5 B．-4 C．－2 D．4
9．如图，在正方体AC1中，PQ与直线A1D和AC都垂直，则直线PQ与BD1的关系是（ ）
A．异面直线
B．平行直线
C．垂直不相交
D．垂直且相交
题型四：空间中直线、平面的垂直
10．已知平面α的法向量为=（1，2，-2），平面β的法向量为=（-2，-4，k），若α⊥β，则k等于（ ）
A．4 B．-4 C．5 D．-5
11．已知两不重合直线l1和l2的方向向量分别为a＝(3λ＋1，0，2λ)，b＝(1，λ－1，λ)，若l1⊥l2，则λ的值为（ ）
A．1或－ B．1或
C．－1或 D．－1或－
12．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，，，则PA与底面ABCD的关系是（ ）
A．相交 B．垂直
C．不垂直 D．成60°角
【双基达标】
一、单选题
13．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（ ）．
A． B． C． D．与相交
14．已知向量是平面α的两个不相等的非零向量，非零向量是直线的一个方向向量，则且是l⊥α的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
15．若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则能使l∥α的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
16．直线的方向向量，平面α的法向量为，若直线平面，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
17．已知正方体，是棱的中点，则在棱上存在点，使得（ ）
A． B．
C．平面 D．平面
18．平面的一个法向量是,,，平面的一个法向量是,6,，则平面与平面的关系是（ ）
A．平行 B．重合 C．平行或重合 D．垂直
19．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是（ ）
A．相交 B．平行
C．垂直 D．MN在平面BB1C1C内
20．下列命题中，正确命题的个数为（ ）
①若分别是平面α，β的法向量，则 α∥β；
②若分别是平面α，β的法向量，则α⊥β ；
③若是平面α的法向量，是直线l的方向向量，若l与平面α平行，则；
④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面不垂直．
A．1 B．2 C．3 D．4
21．如图，在正方体中，点，，分别是线段，，的中点，则直线与，的位置关系是（ ）
A．与，均垂直
B．与垂直，与不垂直
C．与不垂直，与垂直
D．与，均不垂直
22．如图所示，正方体中，分别在上，且，则（ ）
A．至多与之一垂直 B．
C．与相交 D．与异面
【高分突破】
一：单选题
23．已知向量 ， ，分别是直线 、 的方向向量，若 ，则
A． ， B． ， C． ， D． ，
24．已知A,B,C三点不共线,对于平面ABC外的任一点O,下列条件中能确定点M与点A,B,C一定共面的是
A． B．
C． D．
25．已知向量，平面的一个法向量，若，则
A．， B．， C． D．
26．已知为直线l的方向向量，，分别为平面，的法向量不重合那么下列说法中：
；；；正确的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
27．在如图所示的坐标系中,为正方体,给出下列结论:
①直线 的一个方向向量为(0,0,1);
②直线的一个方向向量为(0,1,1);
③平面的一个法向量为(0,1,0);
④平面的一个法向量为(1,1,1).
其中正确的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
28．设空间四点O、A、B、P满足=m+n，其中m+n=1，则
A．点P一定在直线AB上
B．点P一定不在直线AB上
C．点P不一定在直线AB上
D．以上都不对
29．在三棱锥中，、、两两垂直，，，如图，建立空间直角坐标系，则下列向量中是平面的法向量的是（ ）
A． B．
C． D．
30．如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE.则M点的坐标为（ ）
A．(1，1，1) B． C． D．
二、多选题
31．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C．向量与的夹角是60° D．与AC所成角的余弦值为
32．如图，正方体的棱长为1，是的中点，则（ ）
A．直线平面 B．
C．三棱锥的体积为 D．异面直线与所成的角为
33．（多选）下列命题是真命题的有（ ）.
A．直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直
B．直线的方向向量为，平面的法向量为，则
C．平面，的法向量分别为，，则
D．平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则
34．已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（ ）
A．与是共线向量 B．与同向的单位向量是
C．和夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是
35．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果，，，下列结论正确的有（ ）
A． B．
C．是平面ABCD的一个法向量 D．
36．已知矩形，，，将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折，翻折过程中（ ）
A．存在某个位置，使得
B．存在某个位置，使得
C．存在某个位置，使得
D．存在某个位置，使得，、均不等于零
三、填空题
37．已知平面α经过点O（0，0，0），且＝（1，2，－3）是α的一个法向量，M（x，y，z）是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是________________.
38．已知α，β为两个不重合的平面，设平面与向量＝(－1，2，－4)垂直，平面β与向量＝(－2，4，－8)垂直，则平面与β的位置关系是________．
39．若＝是平面α的一个法向量，且＝(－1，2，1)，＝均与平面α平行，则向量＝________.
40．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，，P为C1D1的中点，M为BC的中点，则AM与PM的位置关系是________.
41．在△ABC中，A(1，－2，－1)，B(0，－3，1)，C(2，－2，1)．若向量与平面ABC垂直，且，则的坐标为________________．
42．在如图所示的坐标系中，ABCD－A1B1C1D1表示棱长为1的正方体，给出下列结论：
①直线DD1的一个方向向量为(0，0，1)；②直线BC1的一个方向向量为(0，1，1)；③平面ABB1A1的一个法向量为(0，1，0)；④平面B1CD的一个法向量为(1，1，1)．
其中正确的是________．(填序号)
四、解答题
43．如图，已知P是平面四边形ABCD所在平面外一点，连接PA PB PD.点E F G H分别为PAB PBC PCD PDA的重心.，求证：
（1）E F G H四点共面；
（2）平面EFGH平面ABCD.
44．如图,在等腰梯形中,,,,平面,,且,,Q分别是线段,AB的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）求证：PQ平面．
45．如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB＝120°，且OA＝OB＝OC＝1，设P为AC的中点，Q在AB上且AB＝3AQ，证明：PQ⊥OA．
46．如图，在底面是矩形的四棱锥中，底面，、分别是、的中点，，.求证：
（1）平面；
（2）平面平面.
47．如图所示，平面CDEF平面ABCD，且四边形ABCD为平行四边形，∠DAB＝45°，四边形CDEF为直角梯形，EF∥DC，EDCD，AB＝3EF＝3，ED＝a，AD．
（1）求证：ADBF；
（2）若线段CF上存在一点M，满足AE∥平面BDM，求的值；
【答案详解】
1．C
∵ ，，
∴ ，即或.
故选：C.
2．B
设正方体棱长为2，则A（2，0，0），E（2，2，1），F（1，0，2），
∴=（0，2，1），=（﹣1，0，2）
设向量=（x，y，z）是平面AEF的一个法向量
则，取y=1，得x=﹣4，z=﹣2
∴=（﹣4，1，﹣2）是平面AEF的一个法向量
因此可得：只有B选项的向量是平面AEF的法向量
故选B．
3．A
在单位正方体中，
以为原点，，，为坐标向量建立空间直角坐标系，
，0，，，1，，，1，，
，1，，，0，，
设平面的法向量是，，，
则，取，得，1，，
平面的法向量是，1，.
故选：.
4．A
因为，，
所以
，
因为为平面的法向量，
所以，即，
解得：，所以，的值分别为，，
故选：A.
5．C
因为
，所以，，，四点共面
6．B
不妨设入射光线与反射光线的方向向量模相等，即如图中，则向量时，向量.故选B.
7．D
由l1∥l2得，，解得x＝6，y＝.
8．D
因为，所以，则 ，解之得，
故选：D
9．B
设正方体的棱长为1，取D点为坐标原点建系后如图所示：
则，，， ，，
＝(1，0，1)，＝(－1，1，0)，
设＝(a，b，c)，
则
取＝(1，1，－1)，
∵＝(0，0，1)－(1，1，0)＝(－1，－1，1)＝－，
∴∥，
∴PQ∥BD1.
故选：B
10．D
解：由平面α的法向量为，平面β的法向量为，
∵α⊥β，∴，
∴.
∴.
故选：D.
11．D
【详解】
由题意知，a⊥b，
∴3λ＋1＋2λ2＝0，
∴λ＝－1或－.
12．B
解：因为，所以；
因为，所以，
又，
所以平面ABCD．
故选：B．
13．B
，
由已知可得，则，因此，.
故选：B.
14．B
【详解】
当不共线时，由且，可推出l⊥α；当为共线向量时，由且，不能够推出，所以且是l⊥α的不充分条件；
若，则一定有且，所以且是l⊥α的必要条件.
故选：.
15．D
【详解】
由题意得，若使l∥α，那么就要使，即.
对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：D.
16．D
因为直线的方向向量，平面α的法向量为，
直线平面，
所以，即，解得：
故选：D.
17．B
建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则，，，设（，
则，，
因为，所以不可能平行，即不可能平行，
又，，因此可以垂直，即与可能垂直．
，，
设平面的一个法向量为，
则，取，则，
与不可能平行，因此与平面不可能垂直，
，因此与不可能垂直，因此与平面不可能平行，
故选：B．
18．C
平面的一个法向量是,,，平面的一个法向量是,6,，
，
平面与平面的关系是平行或重合．
故选：C．
19．B
以点C1为坐标原点，分别以C1B1，C1D1，C1C所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由于A1M＝AN＝，则
又C1D1⊥平面BB1C1C，所以＝(0，a，0)为平面BB1C1C的一个法向量．
因为，所以，又平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C.
故选：B
20．C
①中平面α，β可能平行，也可能重合，结合平面法向量的概念，可知②③④正确
故选：C
21．A
如图，以D为原点，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则，，，，，
则，，
，即
，即
所以直线与，均垂直，
故选：A
22．B
如图，以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.
设正方体的棱长为3，则，，，，，，，.
，，，
，，，，∴A错误，B正确；
，，，
，即，∴C，D错误.
故选：B.
23．D
【详解】
∵∥，
∴ ∥ ，
∴，
∴．选D．
24．D
设，若点与点共面,,则，只有选项D满足，.故选D.
25．A
因为，所以，由，得，.
故选A
【点睛】
本题考查了空间法向量的定义，空间向量共线的坐标表示，属于基础题．
26．B
∵平面，不重合；
平面，的法向量平行垂直等价于平面，平行垂直；
正确；
直线l的方向向量平行垂直于平面的法向量等价于直线l垂直平行于平面；
都错误．
故选B．
27．C
DD1∥AA1,=(0,0,1)，故①正确；
BC1∥AD1,=(0,1,1), 故②正确；
直线AD⊥平面ABB1A1,=(0,1,0). 故③正确；
点C1的坐标为(1,1,1),与平面B1CD不垂直,故④错.
28．A
由可得：，结合题意可知：
，
即：，，
据此可知：APB三点共线，点P一定在直线AB上.
29．A
，，设平面的一个法向量为，
由则，解得，．
又，因此，平面的一个法向量为.
故选：A.
30．C
设交于点，连结，因为正方形与矩形所在的平面互相垂直，，点在上，且平面，所以，又，所以是平行四边形，所以是的中点，因为，所以，故选C．
31．AB
以顶点A为端点的三条棱长都相等, 它们彼此的夹角都是60°，
可设棱长为1,则
而
， 所以A正确.
=0,所以B正确.
向量,
显然 为等边三角形，则.
所以向量与的夹角是 ,向量与的夹角是,则C不正确
又，
则，
所以，所以D不正确.
故选：AB
32．ABD
解：如图建立空间直角坐标系，，，，，，，，，，
，，，
所以，即，所以，故B正确；
，，，
设异面直线与所成的角为，则，又，所以，故D正确；
设平面的法向量为，则，即，取，
则，即，又直线平面，所以直线平面，故A正确；
，故C错误；
故选：ABD
33．AD
∵，，
∴，则，
∴直线与垂直，故A正确；
，，则，
则，∴或，故B错误；
∵，，∴与不共线，
∴不成立，故C错误；
∵点，，，
∴，.
∵向量是平面的法向量，∴，
即，解得，故D正确.
故选：AD
34．BD
对于A，，，可知，与不共线，A错误；
对于B，，，，即与同向的单位向量是，B正确；
对于C，，，
即和夹角的余弦值为，C错误；
对于D，设平面的法向量，
则，令，解得：，，，
即平面的一个法向量为，D正确.
故选：BD.
35．ABC
因为，所以，A正确；
因为，所以，B正确；
由,，可得是平面ABCD的一个法向量，C正确；
BD在平面ABCD内，可得，D错误．
故选：ABC．
36．AD
在矩形中，分别过点、作、，垂足分别为点、.
由已知条件，，.
对于A选项，若存在某个位置，使得，
，，平面，平面，则，
在中，斜边，存在，故A正确；
对于B选项，若存在某个位置，使得，
，，平面，平面，则，
在中，斜边，矛盾，故B错误；
对于C选项，若存在某个位置，使得，
，，平面，平面，，
，在平面内，过点能作两条直线与垂直，矛盾，故C错误；
对于D选项，取平面平面，
，平面平面，平面，平面，
以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
，，则，
，，则，
，，则，D选项正确.
故选：AD.
37．x＋2y－3z＝0
解：由题意得⊥，，
则，
所以x，y，z满足的关系式是x＋2y－3z＝0.
故答案为：x＋2y－3z＝0.
38．平行
，，，
所以，又分别是平面的法向量，
所以.
故答案为：平行
39．
解析 由题意，知
即解得
所以.
故答案为：
40．PM⊥AM
【详解】
解：以点为原点，、、为轴、轴、轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系
可得，．
，，
由此可得，
即，可得．
故答案为：
41．(－2，4，1)或(2，－4，－1)
【详解】
据题意，得＝(－1，－1，2)，＝(1，0，2)．
设(x，y，z)，∵与平面ABC垂直，
即 可得
，，
解得或．
当时，，；当时，，．
∴的坐标为(－2，4，1)或(2，－4，－1)．
故答案为：(－2，4，1)或(2，－4，－1)
①②③
解析 ＝＝(0，0，1)，故①正确；＝＝(0，1，1)，故②正确；直线AD⊥平面ABB1A1，＝(0，1，0)，故③正确；向量的坐标为(1，1，1)，与平面B1CD不垂直，∴④错．
43．
（1）∵E F G H分别是所在三角形的重心.
∴M、N、Q、R为所在边的中点，顺次连接M、N、Q、R所得四边形为平行四边形，
且有，，，.
∵四边形MNQR为平行四边形，
则
.
∴由共面向量定理得E F G H四点共面；
（2）由（1）知，∴MQEG，
由平面ABCD，平面ABCD，从而EG平面ABCD，
又，∴MNEF，
由平面ABCD，平面ABCD，从而EF平面ABCD，
又∵EG∩EF=E，平面EFGH,
∴平面EFGH平面ABCD.
44．
（1）平面，平面，则，在中，由余弦定理：，在中，由正弦定理：
，解得，又，则，于是，即，又，故平面，又平面，则平面平面.
（2）由第一问知，是平面的法向量，于是只要证明即可，即证，由向量的运算：，，两式相加得：，于是，
即，显然点平面，点平面，则直线平面，于是PQ平面.
45．
,
.
∴PQ⊥OA．
46．
以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则、、、、，所以、，
，，，，，，.
（1）因为，所以，即.
又平面，平面，所以平面;
（2）因为，所以，同理可得，
即，.
又，所以平面.
平面，所以平面平面.
47．
（1）∵面CDEF面ABCD，EDCD，面，面面，
∴ED面ABCD，面，即，
过作于，过作交于，
∵CDEF为直角梯形，AB＝3EF＝3，
∴，即，则，且，
∴，得，即，
∴，而，即面，又面，
∴，故.
（2）以D为原点，过点D垂直于DC的直线为x轴，DC所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如下图示：
∴，若，则，
设，则，
设平面BDM的法向量为，则，取x1＝2，则，
若AE∥平面BDM，则，解得，
∴线段CF上存在一点M，满足AE∥平面BDM，此时．
试卷第1页，总3页1．4 空间向量的应用 习题课（原卷版）
1．【多选题】已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，若＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1)，则下列结论正确的是( )
A．AP⊥AB B．AP⊥AD
C.是平面ABCD的法向量 D.∥
2．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，CA＝CC1＝2CB，以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则直线BC1与AB1夹角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
3．若平面α的法向量为n，直线l的方向向量为a，直线l与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是( )
A．cos θ＝ B．cos θ＝
C．sin θ＝ D．sin θ＝
4.【多选题】如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝AA1＝2，∠ACB＝90°，D，E，F分别为AC，AA1，AB的中点，则下列结论正确的是( )
A．AC1与EF相交
B．B1C1∥平面DEF
C．EF与AC1所成的角为90°
D．点B1到平面DEF的距离为
5．正四棱锥S－ABCD中，SA＝AB＝2，则直线AC与平面SBC所成角的正弦值为( )
A. B.
C. D.
6．【多选题】在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝2，AD＝3，AA′＝1，以D为原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是( )
A.＝(－3，－2，1)
B．异面直线A′D与BD′所成角的余弦值为
C．平面A′C′D的一个法向量为(－2，－3，6)
D．二面角C′－A′D－D′的余弦值为
7.如图所示，M，N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E，现将△ADE沿DE折起，使二面角A－DE－B为45°，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M，N的连线与AE所成的角的大小为( )
A．45° B．90°
C．135° D．150°
8.如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB＝3，AA1＝4，P是侧面BCC1B1内的动点，且AP⊥BD1，记AP与平面BCC1B1所成的角为θ，则tan θ的最大值为( )
A. B.
C．2 D.
9．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为u＝(1，3，z)，向量v＝(3，－2，1)与平面α平行，则z＝________．
10．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AD＝2AB＝4，且PD与底面ABCD所成的角为45°，则点B到直线PD的距离为________．
11．如图，平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2AD＝2，M为CD边的中点，沿BM将△CBM折起使得平面BMC⊥平面ABMD.则四棱锥C－ADMB的体积为________；折起后直线AB与平面ADC所成的角的正弦值为________．
12.如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD和侧面BCC1B1都是矩形，E是CD的中点，D1E⊥CD，AB＝2BC＝2.若平面BCC1B1与平面BED1所成的锐二面角的大小为，则线段D1E的长度为________．
13.如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．
(1)求证：平面AEC⊥平面PDB；
(2)当PD＝AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．
14.如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.
(1)证明：平面AEC⊥平面AFC；
(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值．
15.如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB＝1，AC＝AA1＝2，AD＝CD＝，且点M和N分别为B1C和D1D的中点．
(1)求证：MN∥平面ABCD；
(2)求平面ACD1与平面ACB1的夹角的余弦值；
(3)设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD的夹角的正弦值为，求线段A1E的长．
1．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在α内，则P(－2，1，4)到α的距离为( )
A．10 B．3
C. D.
2.【多选题】如图，在正四棱锥P－ABCD中，AB＝1，PB＝2，E是PC的中点．设棱锥P－ABCD与棱锥E－BCD的体积分别为V1，V2，PB，PC与平面BDE所成的角分别为α，β，则( )
A．PA∥平面BDE B．PC⊥平面BDE
C．V1∶V2＝4∶1 D．sin α∶sin β＝1∶2
3．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是线段DD1的中点，F是线段BB1的中点，则直线FC1到平面AB1E的距离为________．
4.如图，三角形PAB是半圆锥PO的一个轴截面，PO＝1，AB＝2，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，且与半圆锥PO的底面共面．
(1)若H为半圆锥PO的底面半圆周上的一点，且BH∥OC，证明：AH⊥PC；
(2)在半圆锥PO的底面半圆周上确定点G的位置，使母线PG与平面PCD所成角的正弦值为.
1．4 空间向量的应用 习题课（解析版）
1．【多选题】已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，若＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1)，则下列结论正确的是( )
A．AP⊥AB B．AP⊥AD
C.是平面ABCD的法向量 D.∥
答案 ABC
解析 因为·＝0，·＝0，所以AB⊥AP，AD⊥AP，A、B正确；又与不平行，所以是平面ABCD的法向量，C正确；由于＝－＝(2，3，4)，＝(－1，2，－1)，所以与不平行，D错误．
2．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，CA＝CC1＝2CB，以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则直线BC1与AB1夹角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 设CB＝1，则A(2，0，0)，B1(0，2，1)，C1(0，2，0)，B(0，0，1)，＝(0，2，－1)，＝(－2，2，1)，则cos〈，〉＝＝＝.
3．若平面α的法向量为n，直线l的方向向量为a，直线l与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是( )
A．cos θ＝ B．cos θ＝
C．sin θ＝ D．sin θ＝
答案 D
解析 由于直线l与平面α的夹角为θ，其中0≤θ≤，所以sin θ≥0，所以sin θ＝|cos〈n，a〉|＝.
4.【多选题】如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝AA1＝2，∠ACB＝90°，D，E，F分别为AC，AA1，AB的中点，则下列结论正确的是( )
A．AC1与EF相交
B．B1C1∥平面DEF
C．EF与AC1所成的角为90°
D．点B1到平面DEF的距离为
答案 BCD
解析 对于A，由图知AC1 平面ACC1A1，EF∩平面ACC1A1＝E，且E AC1，由异面直线的定义可知AC1与EF异面，故A错误；对于B，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，B1C1∥BC，因为D，F分别是AC，AB的中点，所以FD∥BC，所以B1C1∥FD.又因为B1C1 平面DEF，DF 平面DEF，所以B1C1∥平面DEF，故B正确；对于C，由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，
则C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，A1(2，0，2)，B1(0，2，2)，C1(0，0，2)，D(1，0，0)，E(2，0，1)，F(1，1，0)．所以＝(－1，1，－1)，＝(－2，0，2)．因为·＝2＋0－2＝0，所以⊥，所以EF⊥AC1，即EF与AC1所成的角为90°，故C正确；设向量n＝(x，y，z)是平面DEF的一个法向量．因为＝(1，0，1)，＝(0，1，0)，所以由即得取x＝1，则z＝－1，所以n＝(1，0，－1)．设点B1到平面DEF的距离为d.又因为＝(－1，2，2)，所以d＝＝＝，所以点B1到平面DEF的距离为，故D正确．
5．正四棱锥S－ABCD中，SA＝AB＝2，则直线AC与平面SBC所成角的正弦值为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.由图知SO＝＝＝，由题得A(1，－1，0)，C(－1，1，0)，B(1，1，0)，S(0，0，)．所以＝(2，－2，0)，＝(－1，－1，)，＝(1，－1，)．设平面SBC的一个法向量n＝(x，y，z)，则所以令z＝，得x＝0，y＝2，所以n＝(0，2，)．设直线AC与平面SBC所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝.
6．【多选题】在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝2，AD＝3，AA′＝1，以D为原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是( )
A.＝(－3，－2，1)
B．异面直线A′D与BD′所成角的余弦值为
C．平面A′C′D的一个法向量为(－2，－3，6)
D．二面角C′－A′D－D′的余弦值为
答案 ACD
解析 由题意可得A(3，0，0)，B(3，2，0)，C(0，2，0)，D′(0，0，1)，A′(3，0，1)，C′(0，2，1)，B′(3，2，1)．则＝(－3，－2，1)，A正确．因为＝(3，0，1)，＝(－3，－2，1)，所以cos〈，〉＝＝＝，所以异面直线A′D与BD′所成角的余弦值为，则B不正确．设平面A′C′D的一个法向量为n＝(x，y，z)，由＝(3，0，1)，＝(0，2，1)，则所以取z＝6，得n＝(－2，－3，6)，则C正确．由上可得平面A′C′D的一个法向量为n＝(－2，－3，6)，又平面A′DD′的一个法向量为m＝(0，1，0)，则cos〈n，m〉＝＝＝－，易知二面角C′－A′D－D′为锐角，所以二面角C′－A′D－D′的余弦值为，D正确．
7.如图所示，M，N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E，现将△ADE沿DE折起，使二面角A－DE－B为45°，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M，N的连线与AE所成的角的大小为( )
A．45° B．90°
C．135° D．150°
答案 B
8.如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB＝3，AA1＝4，P是侧面BCC1B1内的动点，且AP⊥BD1，记AP与平面BCC1B1所成的角为θ，则tan θ的最大值为( )
A. B.
C．2 D.
答案 B
解析 以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则A(3，0，0)，B(3，3，0)，D1(0，0，4)．
设P(x，3，z)(0≤x≤3，0≤z≤4)，则＝(x－3，3，z)，＝(－3，－3，4)，因为AP⊥BD1，所以·＝0，所以－3(x－3)－3×3＋4z＝0，所以z＝x，连接BP，则|BP|＝＝＝≥，所以tan θ＝≤，所以tan θ的最大值为.
9．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为u＝(1，3，z)，向量v＝(3，－2，1)与平面α平行，则z＝________．
答案 3
解析 因为l⊥α，v∥α，所以u⊥v，所以(1，3，z)·(3，－2，1)＝0，即3－6＋z＝0，z＝3.
10．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AD＝2AB＝4，且PD与底面ABCD所成的角为45°，则点B到直线PD的距离为________．
答案 2
解析 ∵PA⊥平面ABCD，
∴∠PDA即为PD与平面ABCD所成的角，
∴∠PDA＝45°，
∴PA＝AD＝4，AB＝2.
以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示．
∴A(0，0，0)，B(2，0，0)，P(0，0，4)，D(0，4，0)．
方法一：设存在点E，使＝λ，且BE⊥DP，
设E(x，y，z)，∵＝(0，－4，4)，
∴(x，y－4，z)＝λ(0，－4，4)，
∴x＝0，y＝4－4λ，z＝4λ，
∴E(0，4－4λ，4λ)，＝(－2，4－4λ，4λ)．
∵BE⊥DP，
∴·＝－4(4－4λ)＋4×4λ＝0，
解得λ＝.
∴＝(－2，2，2)，
∴||＝＝2，
故点B到直线PD的距离为2.
方法二：＝(－2，0，4)，＝(0，－4，4)，
∴·＝16，
∴在上的投影向量的长度为＝＝2.
所以点B到直线PD的距离为d＝＝＝2.
11．如图，平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2AD＝2，M为CD边的中点，沿BM将△CBM折起使得平面BMC⊥平面ABMD.则四棱锥C－ADMB的体积为________；折起后直线AB与平面ADC所成的角的正弦值为________．
答案
解析 由题易知AM⊥MB，且△CMB是正三角形，取MB的中点O，连接CO，如图，则CO⊥MB，又平面BMC∩平面ABMD＝MB，则CO⊥平面ABMD，且CO＝，易求得S梯形ABMD＝×(1＋2)×＝，所以VC－ADMB＝××＝.作Mz∥CO，如图建系，则A(，0，0)，B(0，1，0)，C，＝(－，1，0)，
由＝，得D，＝，＝.设平面ACD的法向量n＝(x，y，z)，则不妨取n＝(1，－，3)．设折起后直线AB与平面ADC所成的角为θ，则sin θ＝＝.
12.如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD和侧面BCC1B1都是矩形，E是CD的中点，D1E⊥CD，AB＝2BC＝2.若平面BCC1B1与平面BED1所成的锐二面角的大小为，则线段D1E的长度为________．
答案 1
解析 因为底面ABCD和侧面BCC1B1是矩形，所以BC⊥CD，BC⊥CC1，又因为CD∩CC1＝C，所以BC⊥平面DCC1D1，因为D1E 平面DCC1D1，所以BC⊥D1E.
又因为D1E⊥CD，BC∩CD＝C，所以D1E⊥平面ABCD.设AB的中点为G，连接EG，以E为原点，EG，EC，ED1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设D1E＝a，则E(0，0，0)，B(1，1，0)，D1(0，0，a)，C(0，1，0)，B1(1，2，a)，设平面BED1的法向量为n＝(x，y，z)，因为＝(1，1，0)，＝(0，0，a)，由得令x＝1，得n＝(1，－1，0)．设平面BCC1B1的法向量为m＝(x1，y1，z1)，因为＝(1，0，0)，＝(1，1，a)，由得令z1＝－1，得m＝(0，a，－1)．
由平面BCC1B1与平面BED1所成的锐二面角的大小为，得|cos〈m，n〉|＝＝＝cos ，解得a＝1.所以D1E的长度为1.
13.如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．
(1)求证：平面AEC⊥平面PDB；
(2)当PD＝AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．
解析 方法一：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD.
∵PD⊥底面ABCD，AC 底面ABCD，∴PD⊥AC.
又∵PD∩BD＝D，且BD 平面PDB，PD 平面PDB，
∴AC⊥平面PDB.
又∵AC 平面AEC，
∴平面AEC⊥平面PDB.
(2)设AC∩BD＝O，连接OE，如图．
由(1)知AC⊥平面PDB于O，
∴∠AEO为AE与平面PDB所成的角．
∵O，E分别为DB，PB的中点，
∴OE∥PD，OE＝PD.
在Rt△AOE中，OE＝PD＝AB＝AO，
∴∠AEO＝45°，即AE与平面PDB所成的角为45°.
方法二：如图，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz.
设AB＝a，PD＝h，则A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，D(0，0，0)，P(0，0，h)．
(1)证明：∵＝(－a，a，0)，＝(0，0，h)，＝(a，a，0)，
∴·＝0，·＝0，∴AC⊥DP，AC⊥BD.
又∵PD∩BD＝D，且BD 平面PDB，PD 平面PDB，
∴AC⊥平面PDB.
又∵AC 平面AEC，
∴平面AEC⊥平面PDB.
(2)当PD＝AB且E为PB的中点时，P(0，0，a)，E.
设AC∩BD＝O，则O，连接OE.
由(1)知AC⊥平面PDB于O.
∴∠AEO为AE与平面PDB所成的角．
∵＝，＝，
∴cos∠AEO＝＝.
∴∠AEO＝45°，即AE与平面PDB所成的角为45°.
14.如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.
(1)证明：平面AEC⊥平面AFC；
(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值．
解析 (1)证明：连接BD，设BD∩AC＝G，连接EG，FG，EF，如图．在菱形ABCD中，不妨设GB＝1，由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝，由BE⊥平面ABCD，AB＝BC可知AE＝EC，又∵AE⊥EC，∴EG＝，EG⊥AC.
在Rt△EBG中，可得BE＝，∴DF＝.
在Rt△FDG中，可得FG＝.
在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝，DF＝可得EF＝.
∴EG2＋FG2＝EF2，∴EG⊥FG，
∵AC∩FG＝G，∴EG⊥平面AFC.
∵EG 平面AEC，∴平面AEC⊥平面AFC.
(2)如图，以G为坐标原点，分别以，的方向为x轴、y轴正方向，过点G且垂直于平面ABCD的直线为z轴，||为单位长度，建立空间直角坐标系Gxyz，
由(1)可得A(0，－，0)，E(1，0，)，F，C(0，，0)，
∴＝(1，，)，＝.
故cos〈，〉＝＝－.
∴直线AE与CF所成的角的余弦值为.
15.如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB＝1，AC＝AA1＝2，AD＝CD＝，且点M和N分别为B1C和D1D的中点．
(1)求证：MN∥平面ABCD；
(2)求平面ACD1与平面ACB1的夹角的余弦值；
(3)设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD的夹角的正弦值为，求线段A1E的长．
解析 (1)证明：如图，以A为原点建立空间直角坐标系．
依题意可得A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(2，0，0)，D(1，－2，0)，A1(0，0，2)，B1(0，1，2)，C1(2，0，2)，D1(1，－2，2)．
又因为M，N分别为B1C和D1D的中点，故M，N(1，－2，1)．
可得n＝(0，0，1)为平面ABCD的法向量，＝，
由此可得·n＝0.
又因为直线MN 平面ABCD，所以MN∥平面ABCD.
(2)＝(1，－2，2)，＝(2，0，0)．
设n1＝(x，y，z)为平面ACD1的法向量，则即
不妨设z＝1，可得n1＝(0，1，1)．
设n2＝(x′，y′，z′)为平面ACB1的法向量，则
又＝(0，1，2)，得
不妨设z′＝1，可得n2＝(0，－2，1)．
因此有cos〈n1，n2〉＝＝－.
所以平面ACD1与平面ACB1的夹角的余弦值为.
(3)连接NE，依题意，可设＝λ，其中λ∈[0，1]，
则E(0，λ，2)，从而＝(－1，λ＋2，1)．
又n＝(0，0，1)为平面ABCD的法向量，
由已知，得|cos〈，n〉|＝＝＝，
整理得λ2＋4λ－3＝0，
又因为λ∈[0，1]，解得λ＝－2.
所以线段A1E的长为－2.
1．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在α内，则P(－2，1，4)到α的距离为( )
A．10 B．3
C. D.
答案 D
2.【多选题】如图，在正四棱锥P－ABCD中，AB＝1，PB＝2，E是PC的中点．设棱锥P－ABCD与棱锥E－BCD的体积分别为V1，V2，PB，PC与平面BDE所成的角分别为α，β，则( )
A．PA∥平面BDE B．PC⊥平面BDE
C．V1∶V2＝4∶1 D．sin α∶sin β＝1∶2
答案 ACD
解析 连接AC，设AC∩BD＝G，连接EG，因为E，G分别为PC，AC的中点，所以PA∥EG，又PA 平面BDE，EG 平面BDE，所以PA∥平面BDE，故A正确；
PD＝2，CD＝1，E为PC的中点，所以PC与DE不垂直，故B不正确；
E为PC中点，所以四棱锥P－ABCD的高为三棱锥E－BDC高的2倍，又四边形ABCD的面积是三角形BDC面积的2倍，所以四棱锥P－ABCD的体积是三棱锥E－BDC的体积的4倍，故C正确；
连接PG，建立如图所示的空间直角坐标系，B(，0，0)，C，D(－，0，0)，E，P(0，0，)，＝，＝，＝(－，0，0)，＝(－，，)，设平面BDE的法向量为n＝(x，y，z)，由得令y＝1，可得x＝0，z＝－，n＝，sin α＝＝＝，sin β＝＝＝，故D正确．
3．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是线段DD1的中点，F是线段BB1的中点，则直线FC1到平面AB1E的距离为________．
答案
解析 建立如图所示的空间直角坐标系．
则A(1，0，0)，E，F，C1(0，1，1)，B1(1，1，1)，所以＝，＝，所以＝，而AE 平面AB1E，FC1 平面AB1E，故FC1∥平面AB1E，所以直线FC1到平面AB1E的距离即为点F到平面AB1E的距离．连接EF，则＝(1，1，0)，＝(0，1，1)，设平面AB1E的法向量为n＝(x，y，z)，则即取z＝2，则n＝(1，－2，2)，故点F到平面AB1E的距离为＝.
4.如图，三角形PAB是半圆锥PO的一个轴截面，PO＝1，AB＝2，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，且与半圆锥PO的底面共面．
(1)若H为半圆锥PO的底面半圆周上的一点，且BH∥OC，证明：AH⊥PC；
(2)在半圆锥PO的底面半圆周上确定点G的位置，使母线PG与平面PCD所成角的正弦值为.
解析 (1)证明：∵H为半圆锥PO的底面半圆周上的一点，
∴AH⊥BH.
又BH∥OC，∴AH⊥OC.
∵PO⊥平面ABCD，AH 平面ABCD，
∴PO⊥AH.
∵PO∩OC＝O，PO，OC 平面PCO，
∴AH⊥平面PCO.
∵PC 平面PCO，
∴AH⊥PC.
(2)以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则P(0，0，1)，D(1，－2，0)，C(－1，－2，0)，故＝(1，－2，－1)，＝(－1，－2，－1)．
设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)，
则由
得
得x＝0，取y＝1，则z＝－2，
∴平面PCD的一个法向量为n＝(0，1，－2)．
∵G为半圆锥PO的底面半圆周上的一点，可设G(cos θ，sin θ，0)(0≤θ≤π)，则＝(cos θ，sin θ，－1)，
依题意，得＝＝，
解得sin θ＝，∴cos θ＝±，
∴点G的坐标为或.
