山东省滨州市2024年中考数学试卷

山东省滨州市2024年中考数学试卷
一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，满分24分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1．（2024·滨州）的绝对值是（　　）
A．2 B． C． D．
2．（2024·滨州） 如图，一个三棱柱无论怎么摆放，其主视图不可能是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024·滨州） 数学中有许多精美的曲线，以下是“悬链线”“黄金螺旋线”“三叶玫瑰线”和“笛卡尔心形线”．其中不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024·滨州） 下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024·滨州） 若点在第二象限，那么a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024·滨州） 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示：
成绩/m 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80
人数 2 3 2 3 4 1
某同学分析上表后得出如下结论：
①这些运动员成绩的平均数是1.65；
②这些运动员成绩的中位数是1.70；
③这些运动员成绩的众数是1.75．
上述结论中正确的是（　　）
A．②③ B．①③ C．①② D．①②③
7．（2024·滨州） 点和点在反比例函数（为常数）的图象上，若，则的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
8．（2024·滨州） 刘徽（今山东滨州人）是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”．刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式．如图，中，，的长分别为．则可以用含的式子表示出的内切圆直径，下列表达式错误的是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，满分24分．
9．（2024·滨州）若分式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　.
10．（2024·滨州）写出一个比大且比小的整数是　 　.
11．（2024·滨州） 将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为　 　．
12．（2024·滨州） 一副三角板如图1摆放，把三角板绕公共顶点O顺时针旋转至图2，即时，的大小为　 　．
13．（2024·滨州） 如图，在中，点D，E分别在边上．添加一个条件使，则这个条件可以是　 　．（写出一种情况即可）
14．（2024·滨州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形AOCD是菱形，∠B的度数是　 　．
15．（2024·滨州） 如图，四边形AOBC四个顶点的坐标分别是，，，，在该平面内找一点P，使它到四个顶点的距离之和最小，则P点坐标为　 　．
16．（2024·滨州） 如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B均在格点上．
⑴的长为　 　；
⑵请只用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出以为边的矩形，使其面积为，并简要说明点C，D的位置是如何找到的（不用证明）：　 　．
三、解答题：本大题共8个小题，满分72分．解答时请写出必要的演推过程．
17．（2024·滨州） 计算：．
18．（2024·滨州） 解方程：
（1）；
（2）．
19．（2024·滨州） 欧拉是历史上享誉全球的最伟大的数学家之一，他不仅在高等数学各个领域作出杰出贡献，也在初等数学中留下了不凡的足迹．设a，b，c为两两不同的数，称为欧拉分式．
（1）写出对应的表达式；
（2）化简对应的表达式．
20．（2024·滨州） 某校劳动实践基地共开设五门劳动实践课程，分别是A：床铺整理，B：衣物清洗，C：手工制作、D：简单烹饪、E：绿植栽培；课程开设一段时间后，季老师采用抽样调查的方式在全校学生中开展了“我最喜欢的劳动实践课程”为主题的问卷调查．根据调查所收集的数我进行整理、绘制了如下两幅不完整的统计图．
根据图中信息，请回答下列问题：
（1）请将条形统计图补充完整，并直接写出“手工制作”对应的扇形圆心角度数；
（2）若该校共有1800名学生，请你估计全校最喜欢“绿植栽培”的学生人数；
（3）小兰同学从B，C，D三门课程中随机选择一门参加劳动实践，小亮同学从C，D，E三门课程中随机选择一门参加劳动实践，求两位同学选择相同课程的概率．
21．（2024·滨州） 【问题背景】
某校八年级数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现：
①如图，在中，若，，则有；
②某同学顺势提出一个问题：既然①正确，那么进一步推得，即知，若把①中的替换为，还能推出吗？基于此，社团成员小军、小民进行了探索研究，发现确实能推出，并分别提供了不同的证明方法．
小军 小民
证明：分别延长DB，DC至E，F两点，使得…… 证明：∵AD⊥BC，
∴△ADB 与△ADC均为直角三角形
根据勾股定理，得……
【问题解决】
（1）完成①的证明；
（2）把②中小军、小民的证明过程补充完整．
22．（2024·滨州） 春节期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量y（单位：张）与售价x（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且x是整数），部分数据如下表所示：
电影票售价x（元/张） 40 50
售出电影票数量y（张） 164 124
（1）请求出y与x之间的函数关系式；
（2）设该影院每天的利润（利润票房收入运营成本）为w（单位：元），求w与x之间的函数关系式；
（3）该影院将电影票售价x定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？
23．（2024·滨州）如图，中，点D，E，F分别在三边上，且满足．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，求证：四边形为菱形；
24．（2024·滨州） 把一块三角形余料（如图所示）加工成菱形零件，使它的一个顶点与的顶点M重合，另外三个顶点分别在三边上，请在图上作出这个菱形．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．）
25．（2024·滨州） 【教材呈现】
现行人教版九年级下册数学教材85页“拓广探索”第14题：
14．如图，在锐角中，探究，，之间的关系．（提示：分别作和边上的高．）
【得出结论】
．
（1）【基础应用】
在中，，，，利用以上结论求的长；
（2）【推广证明】
进一步研究发现，不仅在锐角三角形中成立，在任意三角形中均成立，并且还满足（R为外接圆的半径）．请利用图1证明：．
（3）【拓展应用】
如图2，四边形中，，，，．求过A，B，D三点的圆的半径．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】求有理数的绝对值的方法
2．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解： 三棱柱的表面由三角形和矩形构成，
其主视图不可能是圆.
故答案为：A.
【分析】根据三棱柱的结构特点判断即可.
3．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，符合题意；
C、是轴对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，据此逐项判断即可.
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，选项A错误；
B、，选项B错误；
C、，选项C错误；
D、 ，选项D正确.
故答案为：D.
【分析】由幂的乘方，底数不变，指数相乘，可判断A选项；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可判断B选项；根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断C选项；根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断D选项.
5．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解： 点在第二象限，
，
解不等式组得，
a的取值范围是.
故答案为：A.
【分析】 根据第二象限的点，横坐标为负数，纵坐标为正数，列出关于字母a的不等式组，解不等式组即可得到答案.
6．【答案】A
【知识点】加权平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：由表可知，这15名运动员成绩的平均数是，结论①错误；
第8名同学的成绩是1.70，
这些运动员成绩的中位数是1.70 ，结论②正确；
数据1.75出现了4次，出现的次数最多，
这些运动员成绩的众数是1.75，结论③正确；
上述结论中正确的是②③.
故答案为A.
【分析】平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数；众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数；结合表格中的数据，分别求出这15名运动员成绩的平均数、中位数、众数，再进行判断即可.
7．【答案】C
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；配方法的应用
【解析】【解答】解：，
反比例函数 的图象在第一、三象限，
，
即 .
故答案为：C.
【分析】先将配方得到，进而可判断反比例函数的图象在第一、三象限，再根据反比例函数的性质进行判断即可.
8．【答案】D
【知识点】因式分解的应用；勾股定理；正方形的判定与性质；三角形的内切圆与内心；切线长定理
【解析】【解答】解：如图所示，令的内切圆的切点为D，E，F，连接OC，OD，OE，OF，OA，OB，则OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，且OD=OE=OF=，
由切线长定理可得AE=AF，BD=BF，CD=CE，
AC⊥BC，
四边形CDOE是正方形，
CD=CE=OD=OE=，
AE=b-，BD=BF=a-，
AF=c-BF=c-（a-）=c-a+，
AE=AF，
b-=c-a+，
整理得 ，故A选项正确，不符合题意；
，
整理得 ，故B选项正确，不符合题意；
∵d=a+b-c，
，
是直角三角形，
，
，故C选项正确，不符合题意；
令a=3，b=4，c=5，
则=3+4-5=2，
，
，D选项错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】令的内切圆的切点为D，E，F，连接OC，OD，OE，OF，OA，OB，则OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，且OD=OE=OF=，先证四边形CDOE是正方形，再结合切线长定理可判断A选项；利用可判断B选项；利用，结合勾股定理和完全平方公式可判断C选项；选取特殊值可判断D选项.
9．【答案】x≠1
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵分式 在实数范围内有意义，
∴x 1≠0，
解得：x≠1.
故答案为：x≠1.
【分析】利用分式有意义的条件：分母不等于0，可得到关于x的不等式，然后求出不等式的解集即可.
10．【答案】2或3
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】∵ ，
∴
即比大且比小的整数为2或3，
故答案为：2或3
【分析】利用估算无理数的大小可知，即可得到比大且比小的整数.
11．【答案】
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解： 抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，
平移后抛物线的表达式为y=-（x-1）2+2，
平移后抛物线的顶点坐标为（1，2）.
故答案为：（1，2）.
【分析】根据抛物线的平移规律为“左加右减，上加下减”，得出平移后的抛物线的表达式，再结合二次函数的性质解答即可.
12．【答案】75°
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：由题可知，∠B=45°，∠D=30°，
AB∥OD，
∠BOD=∠B=45°，
∠1=∠BOD+∠D=45°+30°=75°.
故答案为：75°.
【分析】先根据平行线的性质得出∠BOD=∠B=45°，再利用三角形外角的性质求解即可.
13．【答案】或或
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∠A=∠A，
当时，或或
.
故答案为：或或 .（答案不唯一）
【分析】根据两角分别相等的两个三角形相似，两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，添加符合题意的条件即可.
14．【答案】60°
【知识点】菱形的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B+∠D=180°，
∵四边形OACD是菱形，
∴∠AOC=∠D，
由圆周角定理得，∠B=∠AOC，
∴∠B+2∠B=180°，
解得，∠B=60°，
故答案为：60°．
【分析】根据圆内接四边形对角互补可得∠B+∠D=180°，由菱形的性质可得∠AOC=∠D，由圆周角定理得∠B=∠AOC，继而求解.
15．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；两点之间线段最短
【解析】【解答】解：连接AB，OC交于点P，
根据“两点之间线段最短”可知，此时四个顶点的距离之和最小，
设直线AB的表达式为y=k1x+b1，
点A（-1，3），点B（3，-1），、
，
解得，
直线AB的表达式为：y=-x+2，
点O（0，0），
可设直线OC的表达式为y=k2x，
把C（5，4）代入y=k2x得4=5k2，
解得，
直线OC的表达式为，
联立解得，
当最小时，P点坐标为.
故答案为：.
【分析】先根据“两点之间线段最短”确定点P为直线AB与直线OC的交点，再利用待定系数法分别求出直线AB和直线OC的函数表达式，联立两条直线的表达式，解方程组求交点坐标即可.
16．【答案】；取点E、F，得到正方形ABEF，交格线于点，交格线于点，连接，得到矩形，即为所求
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：（1）由图可知，；
故答案为：；
（2）如图所示，取点E，F，使得四边形ABEF是正方形，
，
设AF交格线于点D，BE交格线于点C，连接CD，得到矩形ABCD，
DG∥FH，
，
，
此时，矩形ABCD的面积为，
如图所示的矩形ABCD即为所求.
故答案为：取点E、F，得到正方形ABEF，AF交格线于点C，BE交格线于点D，连接DC，得到矩形ABCD.
【分析】（1）利用勾股定理计算即可；
（2）取点E、F，得到正方形ABEF，AF交格线于点C，BE交格线于点D，连接DC，得到矩形ABCD，利用平行线分线段成比例定理可得，进而根据矩形面积计算方法即可验证．
17．【答案】解：原式
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先计算负整数指数幂、二次根式，再根据有理数的混合运算法则进行计算即可.
18．【答案】（1）解：去分母得：2（2x-1）=3（x+1），
去括号得：4x-2=3x+3，
移项得：4x-3x=3+2，
合并同类项得：x=5；
（2）解： ，
x（x-4）=0，
，.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】（1）将方程去分母，去括号，移项，合并同类项即可求解；
（2）此方程缺常数项，利用因式分解法求解较为简单，首先将方程的左边利用提取公因式法分解因式，根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，从而将方程将次为两个一元一次方程，解一元一次方程即可求出原方程的解.
19．【答案】（1）解：
（2）解：由题可得
=0
【知识点】异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：（1）由题意得
【分析】（1）根据题意写出P0对应的表达式即可；
（2）先根据题意写出P1对应的表达式 ，然后根据异分母的加减运算法则将P1化简即可.
20．【答案】（1）解：调查的学生总人数为30÷30%=100人，
被调查的人中选D的学生人数为：100×25%=25人，
被调查的人中选A的学生人数为：100-10-20-25-30=15人，
将条形统计图补充完整如下图：
补充条形统计图略；“手工制作”对应的扇形圆心角度数为72°；
（2）解：1800名学生中，估计全校最喜欢“绿植栽培”的学生人数1800×30%=540人；
（3）解：画树状图如下：
由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两位同学选择相同课程的占2种，
甲乙两位同学选择相同课程的概率为：．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；概率公式；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】解：（1）“手工制作”对应的扇形圆心角度数为；
【分析】（1）先用最喜欢E的人数除以所占百分比得出调查总人数，用调查的总人数乘以最喜欢D的人数所占的百分比可得选D的学生人数，用本次调查的总人数分别减去最喜欢B、C、D、E四类的人数即可求出最喜欢A类的人数，据此可补全条形统计图；用360°×最喜欢“手工制作”人数所占的百分比即可求出“手工制作”对应的扇形圆心角度数；
（2）用全校学生人数乘以样本中最喜欢“绿植栽培”的学生人数所占百分比即可解答；
（3）根据题意画出树状图，得出所有等可能的结果数和两位同学选择相同课程的结果数，再根据概率公式计算即可.
21．【答案】（1）证明：，
∠ADB=∠ADC=90°，
， AD=AD，
，
∠B=∠C.
（2）证明：小军：如图所示，分别延长至E，F两点，使得BE=AB，CF=AC，
，
，
即DE=DF，
，
∠ADE=∠ADF=90°，
又AD=AD，
，
∠DAE=∠DAF，∠E=∠F，
BE=AB，CF=AC，
∠BAE=∠E，∠CAF=∠F，
∠BAE=∠CAF，
∠1=∠2，
∠ADE=∠ADF=90°，
∠ABC=∠ACB.
小民 ：∵．
∴与均为直角三角形、根据勾股定理，
得AD2=AB2-BD2，AD2=AC2-CD2，
∴AB2-BD2=AC2-CD2，
∴AB2+CD2=AC2+BD2，
，
∴AB-CD=AC-BD，
∴(AB-CD)2=(AC-BD)2，
∴，
∴，
则，
又∵∠ADB=∠ADC=90°，
∴，
∴∠B=∠C.
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）由，得出∠ADB=∠ADC=90°，再利用SAS求证即可；
（2）小军：分别延长至E，F两点，使得BE=AB，CF=AC，由，可得DE=DF，再证，则∠DAE=∠DAF，∠E=∠F，根据等腰三角形的性质得出∠BAE=∠CAF，则∠1=∠2，据此即可证明结论；小民：根据勾股定理得AB2-BD2=AC2-CD2，则AB2+CD2=AC2+BD2，由得AB-CD=AC-BD，进而可得，则，再证，即可得到结论.
22．【答案】（1）解：设y与x的关系式为y=kx+b（k≠0），
依题有，
解得：，
y与x的关系式为.
（2）解：由题有，
w与x之间的函数关系式为.
（3）解：由（2）有，
x是整数，
定价40元/张或41元/张时，每天获利最大，最大利润是4560元.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设y与x的关系式为y=kx+b（k≠0），根据表格中的数据利用待定系数法求函数的表达式即可；
（2）根据利润票房收入运营成本，写出w与x之间的函数关系式即可；
（3）将（2）中的函数表达式配方为顶点式，再根二次函数的性质和x是整数求解即可.
23．【答案】（1）证明： ，
DF∥AE，DE∥AF，
四边形为平行四边形 .
（2）证明： ，
，
，
DF=DE，
四边形是平行四边形，
四边形为菱形 .
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形求证即可；
（2）先证则结合可证得DF=DE，再根据菱形的判定定理求证即可.
24．【答案】解：如图所示，作∠NMH的角平分线MP交NH于点P，作MP的垂直平分线交MN于点D，交MH于点E，连接PD，PE，则四边形MDPE即为所求.
【知识点】菱形的判定；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】作∠NMH的角平分线MP交NH于点P，作MP的垂直平分线交MN于点D，交MH于点E，连接PD，PE，则四边形MDPE即为所求.
25．【答案】（1）解：，，
∠A=180°-∠B-∠C=60°，
，
，
解得：.
（2）解：如图所示，连接AO并延长交于点F，连接CF，作AD⊥BC交于点D，作CE⊥AB交AB于点D，
同理可证
；
AF是的直径，
∠ACF=90°，AF=2R，
∠B=∠F，
，
.
（3）解：如图所示，连接BD，过点A作AE⊥CD于点E，
BC=3，CD=4，∠C=90°，
BD=5，
，
AB∥CD，
∠ABD=∠BDC，
，AE⊥CD，
四边形ABCE是矩形，
AE=BC=3，CE=AB=2，
DE=CD-CE=2，
即，
过A，B，D三点的圆的半径.
【知识点】矩形的判定与性质；圆的综合题；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出∠A=60°，再利用求AB的长即可；
（2）连接AO并延长交于点F，连接CF，作AD⊥BC交于点D，作CE⊥AB交AB于点D，由可得同理即可证明结论；根据圆周角定理得到∠B=∠F，再利用∠F的的正弦证明即可；
（3）连接BD，过点A作AE⊥CD于点E，先利用勾股定理求得AB=5，则再证∠ABD=∠BDC，得出由四边形ABCE是矩形，得出DE=2，进而可利用勾股定理求出AD的长，最后根据计算即可得到过A，B，D三点的圆的半径.
1 / 1山东省滨州市2024年中考数学试卷
一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，满分24分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1．（2024·滨州）的绝对值是（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【知识点】求有理数的绝对值的方法
2．（2024·滨州） 如图，一个三棱柱无论怎么摆放，其主视图不可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解： 三棱柱的表面由三角形和矩形构成，
其主视图不可能是圆.
故答案为：A.
【分析】根据三棱柱的结构特点判断即可.
3．（2024·滨州） 数学中有许多精美的曲线，以下是“悬链线”“黄金螺旋线”“三叶玫瑰线”和“笛卡尔心形线”．其中不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，符合题意；
C、是轴对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，据此逐项判断即可.
4．（2024·滨州） 下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，选项A错误；
B、，选项B错误；
C、，选项C错误；
D、 ，选项D正确.
故答案为：D.
【分析】由幂的乘方，底数不变，指数相乘，可判断A选项；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可判断B选项；根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断C选项；根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断D选项.
5．（2024·滨州） 若点在第二象限，那么a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解： 点在第二象限，
，
解不等式组得，
a的取值范围是.
故答案为：A.
【分析】 根据第二象限的点，横坐标为负数，纵坐标为正数，列出关于字母a的不等式组，解不等式组即可得到答案.
6．（2024·滨州） 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示：
成绩/m 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80
人数 2 3 2 3 4 1
某同学分析上表后得出如下结论：
①这些运动员成绩的平均数是1.65；
②这些运动员成绩的中位数是1.70；
③这些运动员成绩的众数是1.75．
上述结论中正确的是（　　）
A．②③ B．①③ C．①② D．①②③
【答案】A
【知识点】加权平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：由表可知，这15名运动员成绩的平均数是，结论①错误；
第8名同学的成绩是1.70，
这些运动员成绩的中位数是1.70 ，结论②正确；
数据1.75出现了4次，出现的次数最多，
这些运动员成绩的众数是1.75，结论③正确；
上述结论中正确的是②③.
故答案为A.
【分析】平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数；众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数；结合表格中的数据，分别求出这15名运动员成绩的平均数、中位数、众数，再进行判断即可.
7．（2024·滨州） 点和点在反比例函数（为常数）的图象上，若，则的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；配方法的应用
【解析】【解答】解：，
反比例函数 的图象在第一、三象限，
，
即 .
故答案为：C.
【分析】先将配方得到，进而可判断反比例函数的图象在第一、三象限，再根据反比例函数的性质进行判断即可.
8．（2024·滨州） 刘徽（今山东滨州人）是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”．刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式．如图，中，，的长分别为．则可以用含的式子表示出的内切圆直径，下列表达式错误的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解的应用；勾股定理；正方形的判定与性质；三角形的内切圆与内心；切线长定理
【解析】【解答】解：如图所示，令的内切圆的切点为D，E，F，连接OC，OD，OE，OF，OA，OB，则OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，且OD=OE=OF=，
由切线长定理可得AE=AF，BD=BF，CD=CE，
AC⊥BC，
四边形CDOE是正方形，
CD=CE=OD=OE=，
AE=b-，BD=BF=a-，
AF=c-BF=c-（a-）=c-a+，
AE=AF，
b-=c-a+，
整理得 ，故A选项正确，不符合题意；
，
整理得 ，故B选项正确，不符合题意；
∵d=a+b-c，
，
是直角三角形，
，
，故C选项正确，不符合题意；
令a=3，b=4，c=5，
则=3+4-5=2，
，
，D选项错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】令的内切圆的切点为D，E，F，连接OC，OD，OE，OF，OA，OB，则OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，且OD=OE=OF=，先证四边形CDOE是正方形，再结合切线长定理可判断A选项；利用可判断B选项；利用，结合勾股定理和完全平方公式可判断C选项；选取特殊值可判断D选项.
二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，满分24分．
9．（2024·滨州）若分式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　.
【答案】x≠1
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵分式 在实数范围内有意义，
∴x 1≠0，
解得：x≠1.
故答案为：x≠1.
【分析】利用分式有意义的条件：分母不等于0，可得到关于x的不等式，然后求出不等式的解集即可.
10．（2024·滨州）写出一个比大且比小的整数是　 　.
【答案】2或3
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】∵ ，
∴
即比大且比小的整数为2或3，
故答案为：2或3
【分析】利用估算无理数的大小可知，即可得到比大且比小的整数.
11．（2024·滨州） 将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标为　 　．
【答案】
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解： 抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，
平移后抛物线的表达式为y=-（x-1）2+2，
平移后抛物线的顶点坐标为（1，2）.
故答案为：（1，2）.
【分析】根据抛物线的平移规律为“左加右减，上加下减”，得出平移后的抛物线的表达式，再结合二次函数的性质解答即可.
12．（2024·滨州） 一副三角板如图1摆放，把三角板绕公共顶点O顺时针旋转至图2，即时，的大小为　 　．
【答案】75°
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：由题可知，∠B=45°，∠D=30°，
AB∥OD，
∠BOD=∠B=45°，
∠1=∠BOD+∠D=45°+30°=75°.
故答案为：75°.
【分析】先根据平行线的性质得出∠BOD=∠B=45°，再利用三角形外角的性质求解即可.
13．（2024·滨州） 如图，在中，点D，E分别在边上．添加一个条件使，则这个条件可以是　 　．（写出一种情况即可）
【答案】或或
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∠A=∠A，
当时，或或
.
故答案为：或或 .（答案不唯一）
【分析】根据两角分别相等的两个三角形相似，两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，添加符合题意的条件即可.
14．（2024·滨州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形AOCD是菱形，∠B的度数是　 　．
【答案】60°
【知识点】菱形的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B+∠D=180°，
∵四边形OACD是菱形，
∴∠AOC=∠D，
由圆周角定理得，∠B=∠AOC，
∴∠B+2∠B=180°，
解得，∠B=60°，
故答案为：60°．
【分析】根据圆内接四边形对角互补可得∠B+∠D=180°，由菱形的性质可得∠AOC=∠D，由圆周角定理得∠B=∠AOC，继而求解.
15．（2024·滨州） 如图，四边形AOBC四个顶点的坐标分别是，，，，在该平面内找一点P，使它到四个顶点的距离之和最小，则P点坐标为　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；两点之间线段最短
【解析】【解答】解：连接AB，OC交于点P，
根据“两点之间线段最短”可知，此时四个顶点的距离之和最小，
设直线AB的表达式为y=k1x+b1，
点A（-1，3），点B（3，-1），、
，
解得，
直线AB的表达式为：y=-x+2，
点O（0，0），
可设直线OC的表达式为y=k2x，
把C（5，4）代入y=k2x得4=5k2，
解得，
直线OC的表达式为，
联立解得，
当最小时，P点坐标为.
故答案为：.
【分析】先根据“两点之间线段最短”确定点P为直线AB与直线OC的交点，再利用待定系数法分别求出直线AB和直线OC的函数表达式，联立两条直线的表达式，解方程组求交点坐标即可.
16．（2024·滨州） 如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B均在格点上．
⑴的长为　 　；
⑵请只用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出以为边的矩形，使其面积为，并简要说明点C，D的位置是如何找到的（不用证明）：　 　．
【答案】；取点E、F，得到正方形ABEF，交格线于点，交格线于点，连接，得到矩形，即为所求
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：（1）由图可知，；
故答案为：；
（2）如图所示，取点E，F，使得四边形ABEF是正方形，
，
设AF交格线于点D，BE交格线于点C，连接CD，得到矩形ABCD，
DG∥FH，
，
，
此时，矩形ABCD的面积为，
如图所示的矩形ABCD即为所求.
故答案为：取点E、F，得到正方形ABEF，AF交格线于点C，BE交格线于点D，连接DC，得到矩形ABCD.
【分析】（1）利用勾股定理计算即可；
（2）取点E、F，得到正方形ABEF，AF交格线于点C，BE交格线于点D，连接DC，得到矩形ABCD，利用平行线分线段成比例定理可得，进而根据矩形面积计算方法即可验证．
三、解答题：本大题共8个小题，满分72分．解答时请写出必要的演推过程．
17．（2024·滨州） 计算：．
【答案】解：原式
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先计算负整数指数幂、二次根式，再根据有理数的混合运算法则进行计算即可.
18．（2024·滨州） 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：去分母得：2（2x-1）=3（x+1），
去括号得：4x-2=3x+3，
移项得：4x-3x=3+2，
合并同类项得：x=5；
（2）解： ，
x（x-4）=0，
，.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】（1）将方程去分母，去括号，移项，合并同类项即可求解；
（2）此方程缺常数项，利用因式分解法求解较为简单，首先将方程的左边利用提取公因式法分解因式，根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，从而将方程将次为两个一元一次方程，解一元一次方程即可求出原方程的解.
19．（2024·滨州） 欧拉是历史上享誉全球的最伟大的数学家之一，他不仅在高等数学各个领域作出杰出贡献，也在初等数学中留下了不凡的足迹．设a，b，c为两两不同的数，称为欧拉分式．
（1）写出对应的表达式；
（2）化简对应的表达式．
【答案】（1）解：
（2）解：由题可得
=0
【知识点】异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：（1）由题意得
【分析】（1）根据题意写出P0对应的表达式即可；
（2）先根据题意写出P1对应的表达式 ，然后根据异分母的加减运算法则将P1化简即可.
20．（2024·滨州） 某校劳动实践基地共开设五门劳动实践课程，分别是A：床铺整理，B：衣物清洗，C：手工制作、D：简单烹饪、E：绿植栽培；课程开设一段时间后，季老师采用抽样调查的方式在全校学生中开展了“我最喜欢的劳动实践课程”为主题的问卷调查．根据调查所收集的数我进行整理、绘制了如下两幅不完整的统计图．
根据图中信息，请回答下列问题：
（1）请将条形统计图补充完整，并直接写出“手工制作”对应的扇形圆心角度数；
（2）若该校共有1800名学生，请你估计全校最喜欢“绿植栽培”的学生人数；
（3）小兰同学从B，C，D三门课程中随机选择一门参加劳动实践，小亮同学从C，D，E三门课程中随机选择一门参加劳动实践，求两位同学选择相同课程的概率．
【答案】（1）解：调查的学生总人数为30÷30%=100人，
被调查的人中选D的学生人数为：100×25%=25人，
被调查的人中选A的学生人数为：100-10-20-25-30=15人，
将条形统计图补充完整如下图：
补充条形统计图略；“手工制作”对应的扇形圆心角度数为72°；
（2）解：1800名学生中，估计全校最喜欢“绿植栽培”的学生人数1800×30%=540人；
（3）解：画树状图如下：
由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两位同学选择相同课程的占2种，
甲乙两位同学选择相同课程的概率为：．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；概率公式；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】解：（1）“手工制作”对应的扇形圆心角度数为；
【分析】（1）先用最喜欢E的人数除以所占百分比得出调查总人数，用调查的总人数乘以最喜欢D的人数所占的百分比可得选D的学生人数，用本次调查的总人数分别减去最喜欢B、C、D、E四类的人数即可求出最喜欢A类的人数，据此可补全条形统计图；用360°×最喜欢“手工制作”人数所占的百分比即可求出“手工制作”对应的扇形圆心角度数；
（2）用全校学生人数乘以样本中最喜欢“绿植栽培”的学生人数所占百分比即可解答；
（3）根据题意画出树状图，得出所有等可能的结果数和两位同学选择相同课程的结果数，再根据概率公式计算即可.
21．（2024·滨州） 【问题背景】
某校八年级数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现：
①如图，在中，若，，则有；
②某同学顺势提出一个问题：既然①正确，那么进一步推得，即知，若把①中的替换为，还能推出吗？基于此，社团成员小军、小民进行了探索研究，发现确实能推出，并分别提供了不同的证明方法．
小军 小民
证明：分别延长DB，DC至E，F两点，使得…… 证明：∵AD⊥BC，
∴△ADB 与△ADC均为直角三角形
根据勾股定理，得……
【问题解决】
（1）完成①的证明；
（2）把②中小军、小民的证明过程补充完整．
【答案】（1）证明：，
∠ADB=∠ADC=90°，
， AD=AD，
，
∠B=∠C.
（2）证明：小军：如图所示，分别延长至E，F两点，使得BE=AB，CF=AC，
，
，
即DE=DF，
，
∠ADE=∠ADF=90°，
又AD=AD，
，
∠DAE=∠DAF，∠E=∠F，
BE=AB，CF=AC，
∠BAE=∠E，∠CAF=∠F，
∠BAE=∠CAF，
∠1=∠2，
∠ADE=∠ADF=90°，
∠ABC=∠ACB.
小民 ：∵．
∴与均为直角三角形、根据勾股定理，
得AD2=AB2-BD2，AD2=AC2-CD2，
∴AB2-BD2=AC2-CD2，
∴AB2+CD2=AC2+BD2，
，
∴AB-CD=AC-BD，
∴(AB-CD)2=(AC-BD)2，
∴，
∴，
则，
又∵∠ADB=∠ADC=90°，
∴，
∴∠B=∠C.
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）由，得出∠ADB=∠ADC=90°，再利用SAS求证即可；
（2）小军：分别延长至E，F两点，使得BE=AB，CF=AC，由，可得DE=DF，再证，则∠DAE=∠DAF，∠E=∠F，根据等腰三角形的性质得出∠BAE=∠CAF，则∠1=∠2，据此即可证明结论；小民：根据勾股定理得AB2-BD2=AC2-CD2，则AB2+CD2=AC2+BD2，由得AB-CD=AC-BD，进而可得，则，再证，即可得到结论.
22．（2024·滨州） 春节期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量y（单位：张）与售价x（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且x是整数），部分数据如下表所示：
电影票售价x（元/张） 40 50
售出电影票数量y（张） 164 124
（1）请求出y与x之间的函数关系式；
（2）设该影院每天的利润（利润票房收入运营成本）为w（单位：元），求w与x之间的函数关系式；
（3）该影院将电影票售价x定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？
【答案】（1）解：设y与x的关系式为y=kx+b（k≠0），
依题有，
解得：，
y与x的关系式为.
（2）解：由题有，
w与x之间的函数关系式为.
（3）解：由（2）有，
x是整数，
定价40元/张或41元/张时，每天获利最大，最大利润是4560元.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设y与x的关系式为y=kx+b（k≠0），根据表格中的数据利用待定系数法求函数的表达式即可；
（2）根据利润票房收入运营成本，写出w与x之间的函数关系式即可；
（3）将（2）中的函数表达式配方为顶点式，再根二次函数的性质和x是整数求解即可.
23．（2024·滨州）如图，中，点D，E，F分别在三边上，且满足．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，求证：四边形为菱形；
【答案】（1）证明： ，
DF∥AE，DE∥AF，
四边形为平行四边形 .
（2）证明： ，
，
，
DF=DE，
四边形是平行四边形，
四边形为菱形 .
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形求证即可；
（2）先证则结合可证得DF=DE，再根据菱形的判定定理求证即可.
24．（2024·滨州） 把一块三角形余料（如图所示）加工成菱形零件，使它的一个顶点与的顶点M重合，另外三个顶点分别在三边上，请在图上作出这个菱形．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．）
【答案】解：如图所示，作∠NMH的角平分线MP交NH于点P，作MP的垂直平分线交MN于点D，交MH于点E，连接PD，PE，则四边形MDPE即为所求.
【知识点】菱形的判定；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】作∠NMH的角平分线MP交NH于点P，作MP的垂直平分线交MN于点D，交MH于点E，连接PD，PE，则四边形MDPE即为所求.
25．（2024·滨州） 【教材呈现】
现行人教版九年级下册数学教材85页“拓广探索”第14题：
14．如图，在锐角中，探究，，之间的关系．（提示：分别作和边上的高．）
【得出结论】
．
（1）【基础应用】
在中，，，，利用以上结论求的长；
（2）【推广证明】
进一步研究发现，不仅在锐角三角形中成立，在任意三角形中均成立，并且还满足（R为外接圆的半径）．请利用图1证明：．
（3）【拓展应用】
如图2，四边形中，，，，．求过A，B，D三点的圆的半径．
【答案】（1）解：，，
∠A=180°-∠B-∠C=60°，
，
，
解得：.
（2）解：如图所示，连接AO并延长交于点F，连接CF，作AD⊥BC交于点D，作CE⊥AB交AB于点D，
同理可证
；
AF是的直径，
∠ACF=90°，AF=2R，
∠B=∠F，
，
.
（3）解：如图所示，连接BD，过点A作AE⊥CD于点E，
BC=3，CD=4，∠C=90°，
BD=5，
，
AB∥CD，
∠ABD=∠BDC，
，AE⊥CD，
四边形ABCE是矩形，
AE=BC=3，CE=AB=2，
DE=CD-CE=2，
即，
过A，B，D三点的圆的半径.
【知识点】矩形的判定与性质；圆的综合题；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出∠A=60°，再利用求AB的长即可；
（2）连接AO并延长交于点F，连接CF，作AD⊥BC交于点D，作CE⊥AB交AB于点D，由可得同理即可证明结论；根据圆周角定理得到∠B=∠F，再利用∠F的的正弦证明即可；
（3）连接BD，过点A作AE⊥CD于点E，先利用勾股定理求得AB=5，则再证∠ABD=∠BDC，得出由四边形ABCE是矩形，得出DE=2，进而可利用勾股定理求出AD的长，最后根据计算即可得到过A，B，D三点的圆的半径.
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