河南省2024年中考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．（2024·河南）如图，数轴上点P表示的数是（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】A
【知识点】有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：由图可知，P点表示的数为-1.
故答案为：A.
【分析】根据数轴及选项判断符合题意的选项即可.
2．（2024·河南）据统计，2023年我国人工智能核心产业规模达5784亿元.数据“5784亿”用科学记数法表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 5784亿=578400000000=.
故答案为：C.
【分析】用科学记数法表示较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此可得答案.小技巧备注：“亿”后有8位，即5784亿为12位数.
3．（2024·河南）如图，乙地在甲地的北偏东50°方向上，则∠1的度数为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
【答案】B
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：由图可知，两直线平行，内错角相等，即∠1=50°.
故答案为：B.
【分析】根据方向角定义及两直线平行，内错角相等，即可得出答案.
4．（2024·河南）信阳毛尖是中国十大名茶之一.如图是信阳毛尖茶叶的包装盒，它的主视图为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：依题意，题中主视方向应为
.
故答案为：A.
【分析】主视图就是从正面看得到的正投影，能看见的轮廓线需要画成实线，据此可得答案.
5．（2024·河南）下列不等式中，与组成的不等式组无解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解得x<-1，
A、若x>2，则不等式组无解，符合题意；
B、若x<0，则不等式组的解集是x<-1，不符合题意；
C、若x<-2，则不等式组的解集是x<-2，不符合题意；
D、若x>-3，则不等式组的解集是-3故答案为：A.
【分析】利用不等式的性质解题干的不等式，结合选项根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了即可逐一判断得出答案.
6．（2024·河南）如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，点E为OC的中点，交BC于点F.若，则EF的长为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；A字型相似模型
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=2AO=2OC，
又∵ 点E为OC的中点，
∴AC=2OC=4CE，
又∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴，
∴AB=.
故答案为：B.
【分析】由目标线段与已知线段AB的位置关系，直接使用平行相似，故将问题转换为利用平行线的性质分析相似三角形的相似比即可.
7．（2024·河南）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】幂的乘方运算；有理数乘法与乘方的互化
【解析】【解答】解： .
故答案为：D.
【分析】先根据乘方运算定义化简a个a相乘，后利用幂的乘方进行计算表示即可.
8．（2024·河南）豫剧是国家级非物质文化遗产，因其雅俗共赏，深受大众喜爱.正面印有豫剧经典剧目人物的三张卡片如图所示，它们除正面外完全相同.把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用列举法求概率
【解析】【解答】解：不妨将三张卡片记为A，B，C，
其中随机抽取两次放回的可能情况有：共9种，
其中抽取卡片相同的有，
故正面朝上.
故答案为：D.
【分析】根据等可能事件概率将所有可能情况枚举，找出符合条件的事件情况数，进而根据概率公式计算即可.
9．（2024·河南）如图，是边长为的等边三角形ABC的外接圆，点D是的中点，连接BD，CD.以点D为圆心，BD的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆内接四边形的性质；扇形面积的计算；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【解答】解：连接AD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC，
∵四边形ABCD是圆O的内接四边形，
∴∠BDC=180°-∠BAC=120°，
∵D的的中点 ，
∴BD=CD，
又∵AD=AD，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD=∠CAD==30°，∠ADB=∠ADC=，
∴∠ABD=180°-∠BAD-∠BDA=90°，
在Rt△ABD中，
tan∠BAD=tan30°=，
解得BD=4.
∴.
故答案为：C.
【分析】由等边三角形性质及圆内接四边形性质可直接得出∠BDC的度数，由等弧所对的弦相等可得BD=CD，从而用SSS判断出△ABD≌△ACD，可得∠BAD=∠CAD=30°，∠ADB=∠ADC=60°，其次利用含30°特殊角三角函数值可快速求得半径BD长，最后代入扇形面积公式即可.
10．（2024·河南）把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患.数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）.下列结论中错误的是（ ）
A．当P=440W时，I=2A
B．Q随I的增大而增大
C．I每增加1A，Q的增加量相同
D．P越大，插线板电源线产生的热量Q越多
【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息；用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：A、由图1可知， 当P=440W时，I=2A ，故A正确，不符合题意；
B、由图2可知，Q随I的增大而增大，故B正确，不符合题意；
C、由图2可知，I每增加量1A，I越大Q的增加量越大，即Q的增加量不相同，故C错误，符合题意；
D、结合图1与图2，P越大I越大，I越大，Q越大，即P越大，热量Q越多，故D正确，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据图1中图象上点（440，2）可判断A，根据图2中函数的增减项可判断B，C选项；根据图1与图2Q随I的增大而增大，可判断D选项.
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（2024·河南）请写出的一个同类项： .
【答案】
【知识点】同类项的概念
【解析】【解答】解：单项式2m只含有字母m，且m的指数是1，故单项式2m的同类项，可以为m.
故答案为：m.
【分析】所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，据此找出符合题意的一个代数式即可.
12．（2024·河南）2024年3月是第8个全国近视防控宣传教育月，其主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”.某校组织各班围绕这个主题开展板报宣传活动，并对各班的宣传板报进行评分，得分情况如图，则得分的众数为 分.
【答案】9
【知识点】条形统计图；众数
【解析】【解答】解：由图可知，得分为9分的班级数超过10个，其它得分的班级数均小于10个，
故得分的众数为9分
故答案为：9.
【分析】众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)，据此并结合图中信息即可得出答案.
13．（2024·河南）若关于的方程有两个相等的实数根，则c的值为 .
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 关于的方程有两个相等的实数根，
∴，解得c=.
故答案为：.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此并结合题意列出关于字母c的方程，求解即可.
14．（2024·河南）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为（-2，0），点E在边CD上.将沿BE折叠，点C落在点F处.若点F的坐标为（0，6），则点E的坐标为 .
【答案】
【知识点】正方形的性质；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：设OB=a，
∵四边形ABCD是正方形，△BEF是△BCE延BE折叠所得， A（-2，0），
∴BF=BC=AB=OB+AO=a+2，EF=CE，
又∵F （0，6） ，即OF=6，
在Rt△BOF中，有，
即，解得a=8，
又∵正方形AB的边在x轴上，
∴∠C=∠ABC=∠BOG=90°，
∴四边形OBCG是矩形，
∴CG=OB=8，OG=BC=10，
∴GF=OC-OF=10-6=4，
设EF=CE=b，则GE=8-b，
同理，则有，解得b=5，
∴GE=CG-CE=3.
∴E(3，10)
故答案为：(3，10).
【分析】由折叠问题与边存在的等量关系，先利用勾股定理解出△OBF，同理利用勾股定理解出△GEF，即得点E的坐标.
15．（2024·河南）如图，在中，，，线段CD绕点C在平面内旋转，过点B作AD的垂线，交射线AD于点E.若，则AE的最大值为 ，最小值为 .
【答案】；
【知识点】定点定长辅助圆模型
【解析】【解答】解：（1）如图所示，
由CD=1，即点D在以C为圆心半径为1的圆上运动，
在Rt△ABE中，
cos∠EAB=，（注：也可以通过勾股分析，即AE最大转化为BE最小）
为使得AE最大，即此时∠BAE最小，
∴当且仅当AE与圆C相切时，AE最大，
此时在Rt△ABE和Rt△ABC中，如下图所示，取AB中点O，连接OC，OE，
∴OC=OA=OB=OE，故ACBE四点共圆，
∴∠AEC=∠ABC=45°，
此时△CDE为等腰直角三角形，
即DE=CD=1，
又∵在Rt△ACD中，
，
∴AE=AD+DE=；
（2）如图所示，
由（1）同理可得，
当且仅当∠BAE最大时，AE最小，即当射线AE与圆C相切于点D时，
此时DE=CD=1，
AE=AD-DE=；
故答案为：；.
【分析】根据题意分析点D的运动轨迹为圆，进一步利用三角函数将AE的最值问题转化为∠BAE的最值分析，即与圆相切时最大，最后利用以A、B、C、E为顶点的共圆分析特殊角度关系更便捷解形，即求出AE的长.
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（2024·河南）（1）计算：；
（2）化简：.
【答案】（1）解：原式=10-1=9.
（2）解：原式.
【知识点】分式的混合运算；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先根据二次根式的乘法法则及零指数幂运算法则计算，再合并同类项即可；
（2）对分式括号内的部分进行通分，并利用平方差公式将除式的分母进行因式分解，同时将除法转变为乘法，进而计算分式乘法约分化简即可.
17．（2024·河南）为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动.在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中关于得分、篮板和失误三个方面的统计结果如下.
技术统计表
队员 平均每场得分 平均每场篮板 平均每场失误
甲 26.5 8 2
乙 26 10 3
根据以上信息，回答下列问题.
（1）这六场比赛中，得分更稳定的队员是 （填“甲”或“乙”）；甲队员得分的中位数为27.5分，乙队员得分的中位数为 分.
（2）请从得分方面分析：这六场比赛中，甲、乙两名队员谁的表现更好.
（3）规定“综合得分”为：平均每场得分×1+平均每场篮板×1.5+平均每场失误×（-1），且综合得分越高表现越好.请利用这种评价方法，比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好.
【答案】（1）甲；29
（2）解：因为甲的平均每场得分大于乙的平均每场得分，且甲的得分更稳定，所以甲队员表现更好.
（3）解：甲的综合得分为：26.5×1+8×1.5+2×（-1）=36.5.
乙的综合得分为：26×1+10×1.5+3×（-1）=38.
因为38>36.5，所以乙队员表现更好.
【知识点】加权平均数及其计算；分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）从折线统计图可得甲六场得分波动小，乙六场得分波动大，
∴得分更稳定的队员是甲；
乙队员得分按小到大排列为：14，20，28，30，32，32.
故此时中位数为（28+30）÷2=29（分）；
故答案为：甲；29；
【分析】（1）根据统计图数据波动程度分析稳定性；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可；
（2）根据技术统计表分析平均分和成绩稳定性从而得出赛况表现情况；
（3）按统计表数据分析代入“综合得分”计算公式计算比较得出结论.
18．（2024·河南）如图，矩形ABCD的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线AC，BD相交于点E，反比例函数的图象经过点A.
（1）求这个反比例函数的表达式.
（2）请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点，再画出反比例函数的图象.
（3）将矩形ABCD向左平移，当点E落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为 .
【答案】（1）解：∵反比例函数的图象经过点，
∴.
∴.
∴这个反比例函数的表达式为.
（2）解：如图
（3）4.5
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；矩形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；用坐标表示平移；作图-反比例函数图象
【解析】【解答】解：（3）∵点A(3，2)，点C(9，6)
∴由中点坐标公式得E(6，4)
设将矩形ABCD向左移t个单位，则平移后的点E坐标为(6-t，4)，
又∵点E在反比例函数上，
∴，
解得t=.
故答案为：4.5.
【分析】（1）根据格点得出A点坐标从而用待定系数法得出函数表示式；
（2）在表达式的基础上找出不同于A的整数点，即整数k的因数进行逐一取点并画出曲线；
（3）由矩形性质分析得出中点E的坐标，设出平移单位表示平移后的点E坐标，代入反比例函数求出平移距离即可.
19．（2024·河南）如图，在中，CD是斜边AB上的中线，交AC的延长线于点E.
（1）请用无刻度的直尺和圆规作，使，且射线CM交BE于点F（保留作图痕迹，不写作法）.
（2）证明（1）中得到的四边形CDBF是菱形
【答案】（1）解：如图.
（2）证明：由（1），得.
∴.
∵，
∴四边形CDBF是平行四边形.
∵CD是斜边AB上的中线，
∴.
∴平行四边形ABCD是菱形.
【知识点】菱形的判定；尺规作图-作一个角等于已知角；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据题意利用尺规作出等角即可；
（2）在已知斜边中线CD的基础上分析，即一组邻边CD=BC，结合平行四边形分析得证菱形.
20．（2024·河南）如图1，塑像AB在底座BC上，点D是人眼所在的位置.当点B高于人的水平视线DE时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大.数学家研究发现：当经过A，B两点的圆与水平视线DE相切时（如图2），在切点P处感觉看到的塑像最大，此时为最大视角.
（1）请仅就图2的情形证明.
（2）经测量，最大视角为30°，在点P处看塑像顶部点A的仰角为60°，点P到塑像的水平距离PH为6m.求塑像AB的高（结果精确到0.1m.参考数据：）.
【答案】（1）证明：如图，设AD交圆于点M，连接BM.
则.
∵，∴.
（2）解：在中，，.
∵，
∴.
∵，
∴.
在中，，
∴.
∴.
答：塑像AB的高约为6.9m.
【知识点】三角形的外角性质；圆周角定理；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）利用同弧所对的圆周角相等得∠AMB=∠APB，再由三角形外角性质可得∠AMB＞∠ADB，从而即可得出结论；
（2）利用特殊角三角函数值逐一推导并求得对应线段长即可得出目标塑像AB的高.
21．（2024·河南）为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐.这两种食品每包质量均为50g，营养成分表如下.
（1）若要从这两种食品中摄入4600kJ热量和70g蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包
（2）运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多.若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于90g，且热量最低，应如何选用这两种食品
【答案】（1）解：设选用A种食品x包，B种食品y包，
根据题意，得
解方程组，得
答：选用A种食品4包，B种食品2包.
（2）解：设选用A种食品包，则选用B种食品包，
根据题意，得.
∴.
设总热量为wkJ，则.
∵-200<0，
∴w随a的增大而减小.
∴当时，w最小.
∴.
答：选用A种食品3包，B种食品4包.
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-方案问题；二元一次方程组的实际应用-图表信息问题
【解析】【分析】（1）根据食品营养成分表及“ 两种食品中摄入4600kJ热量和70g蛋白质 ”列出方程组，解方程组即可；
（2）根据题意设A种为a包，则B为(7-a)包，根据每份午餐中的蛋白质含量不低于90g列出不等式，得出a的取值范围；进一步表示其总热量，利用一次函数分析总热量与a的关系得出结论.
22．（2024·河南）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度满足关系式，其中是物体运动的时间，是物体被发射时的速度.社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球.
（1）小球被发射后 s时离地面的高度最大（用含的式子表示）.
（2）若小球离地面的最大高度为20m，求小球被发射时的速度.
（3）按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同.小明说：“这两次间隔的时间为3s.”已知实验楼高15m，请判断他的说法是否正确，并说明理由.
【答案】（1）
（2）解：根据题意，得
当时，.
∴.
∴.
（3）解：小明的说法不正确.理由如下：
由（2），得.
当时，.
解方程，得，.
∴小明的说法不正确.
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：（1）依题意，对称轴所在直线；
∵-5＜0，∴小球被发射后s时离地面的高度最大 ；
故答案为：；
【分析】（1）根据二次函数的性质，利用含参数v0表示二次函数对称轴即可；
（2）在（1）的基础上分析，即该二次函数经过顶点，代入函数解出v0即可；
（3）在（2）的基础上，求出当发射小球高度为15米时对应物体的运动时间判断即可.
23．（2024·河南）综合与实践
在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究
定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形.
（1）操作判断
用分别含有30°和45°角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有 （填序号）.
（2）性质探究
根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质.下面研究与对角线相关的性质.
如图2，四边形ABCD是邻等对补四边形，，AC是它的一条对角线.
①写出图中相等的角，并说明理由；
②若，，，求AC的长（用含m，n，的式子表示）.
（3）拓展应用
如图3，在中，，，，分别在边BC，AC上取点M，N，使四边形ABMN是邻等对补四边形.当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出BN的长.
【答案】（1）②④
（2）解：①，理由如下：
延长CB至点E，使.连接AE.
∵四边形ABCD是邻等对补四边形，
∴
∵，
∴.
∵AB=AD，
∴.
∴，.
∴.
∴.
②过点A作，垂足为点F.
∵，
∴.
∵，
∴.
在中，，
∴.
（3）解：或.
【知识点】四边形的综合；解直角三角形—边角关系；旋转全等模型
【解析】【解答】解：（1）对于①，四边形的四个内角按逆时针分别为：135°，45°，135°，45°，其对角相等，不符合题意，错误；
对于②，四边形的四个内角按逆时针分别为：90°，60°，90°，120°，其对角互补，且邻边相等，符合题意，正确；
对于③，四边形的四个内角按逆时针分别为：90°，135°，60°，75°，其对角不互补，不符合题意，错误；
对于④，四边形的四个内角按逆时针分别为：90°，75°，90°，105°，其对角互补，且邻边相等，符合题意，正确；
∴符合 邻等对补四边形的有 ：②④
（3）①如图，若AB=AN，连接AM，
由（2）可知，∠ANM=180°-∠ABC=90°，
又∵AM=AM，
∴△ABM≌△ANM（HL），
∴BM=MN，
该类情况不符合题意，舍去；
②若BM=MN，
与上述情况同理，不符合题意，舍去；
③若BM=AB=3，连接BN，过点B作BD⊥AC，
由（2）同理可知，此时NB平分∠ANM，
即∠ANM=45°，
∴DN=BD，
在Rt△ABC中，AC，
又∵，
∴，
∴BN=；
④若AN=MN，连接BN，
由（2）同理可知，此时BN平分∠ABM，
设AN=MN=t，则CN=5-t，
在Rt△ABC和Rt△CMN中，
，即，解得t=，
同理，解得CM=，
∴BM=BC-CM=，
由（2）同理可证，.
综上所述，BN的长为或.
【分析】（1）根据“邻等对补四边形”的定义结合两特殊直角三角形的边角关系逐一分析即可；
（2）①利用“邻等对补四边形”的特点考虑旋转进行全等证明，利用全等的性质进行角度分析即可；
②利用全等性质分析等腰并构造三线合一的直角三角形解形即可；
（3）结合四边形内角和分析∠ANM=90°，逐一考虑邻边两两组合的四种结果分类讨论，根据分类情况及图形直观可以快速利用全等排除两种情况，进一步分析另外两种情况，其中利用（2）中结论，即角平分得特殊角45°，从而逐一分析并利用解形的知识点(等积/解直角三角形)进行快速求解，其中，延用②的结果更为便捷.
1 / 1河南省2024年中考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．（2024·河南）如图，数轴上点P表示的数是（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
2．（2024·河南）据统计，2023年我国人工智能核心产业规模达5784亿元.数据“5784亿”用科学记数法表示为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·河南）如图，乙地在甲地的北偏东50°方向上，则∠1的度数为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
4．（2024·河南）信阳毛尖是中国十大名茶之一.如图是信阳毛尖茶叶的包装盒，它的主视图为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·河南）下列不等式中，与组成的不等式组无解的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·河南）如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，点E为OC的中点，交BC于点F.若，则EF的长为（ ）
A． B．1 C． D．2
7．（2024·河南）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·河南）豫剧是国家级非物质文化遗产，因其雅俗共赏，深受大众喜爱.正面印有豫剧经典剧目人物的三张卡片如图所示，它们除正面外完全相同.把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·河南）如图，是边长为的等边三角形ABC的外接圆，点D是的中点，连接BD，CD.以点D为圆心，BD的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·河南）把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患.数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）.下列结论中错误的是（ ）
A．当P=440W时，I=2A
B．Q随I的增大而增大
C．I每增加1A，Q的增加量相同
D．P越大，插线板电源线产生的热量Q越多
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（2024·河南）请写出的一个同类项： .
12．（2024·河南）2024年3月是第8个全国近视防控宣传教育月，其主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”.某校组织各班围绕这个主题开展板报宣传活动，并对各班的宣传板报进行评分，得分情况如图，则得分的众数为 分.
13．（2024·河南）若关于的方程有两个相等的实数根，则c的值为 .
14．（2024·河南）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为（-2，0），点E在边CD上.将沿BE折叠，点C落在点F处.若点F的坐标为（0，6），则点E的坐标为 .
15．（2024·河南）如图，在中，，，线段CD绕点C在平面内旋转，过点B作AD的垂线，交射线AD于点E.若，则AE的最大值为 ，最小值为 .
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（2024·河南）（1）计算：；
（2）化简：.
17．（2024·河南）为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动.在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中关于得分、篮板和失误三个方面的统计结果如下.
技术统计表
队员 平均每场得分 平均每场篮板 平均每场失误
甲 26.5 8 2
乙 26 10 3
根据以上信息，回答下列问题.
（1）这六场比赛中，得分更稳定的队员是 （填“甲”或“乙”）；甲队员得分的中位数为27.5分，乙队员得分的中位数为 分.
（2）请从得分方面分析：这六场比赛中，甲、乙两名队员谁的表现更好.
（3）规定“综合得分”为：平均每场得分×1+平均每场篮板×1.5+平均每场失误×（-1），且综合得分越高表现越好.请利用这种评价方法，比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好.
18．（2024·河南）如图，矩形ABCD的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线AC，BD相交于点E，反比例函数的图象经过点A.
（1）求这个反比例函数的表达式.
（2）请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点，再画出反比例函数的图象.
（3）将矩形ABCD向左平移，当点E落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为 .
19．（2024·河南）如图，在中，CD是斜边AB上的中线，交AC的延长线于点E.
（1）请用无刻度的直尺和圆规作，使，且射线CM交BE于点F（保留作图痕迹，不写作法）.
（2）证明（1）中得到的四边形CDBF是菱形
20．（2024·河南）如图1，塑像AB在底座BC上，点D是人眼所在的位置.当点B高于人的水平视线DE时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大.数学家研究发现：当经过A，B两点的圆与水平视线DE相切时（如图2），在切点P处感觉看到的塑像最大，此时为最大视角.
（1）请仅就图2的情形证明.
（2）经测量，最大视角为30°，在点P处看塑像顶部点A的仰角为60°，点P到塑像的水平距离PH为6m.求塑像AB的高（结果精确到0.1m.参考数据：）.
21．（2024·河南）为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐.这两种食品每包质量均为50g，营养成分表如下.
（1）若要从这两种食品中摄入4600kJ热量和70g蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包
（2）运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多.若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于90g，且热量最低，应如何选用这两种食品
22．（2024·河南）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度满足关系式，其中是物体运动的时间，是物体被发射时的速度.社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球.
（1）小球被发射后 s时离地面的高度最大（用含的式子表示）.
（2）若小球离地面的最大高度为20m，求小球被发射时的速度.
（3）按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同.小明说：“这两次间隔的时间为3s.”已知实验楼高15m，请判断他的说法是否正确，并说明理由.
23．（2024·河南）综合与实践
在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究
定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形.
（1）操作判断
用分别含有30°和45°角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有 （填序号）.
（2）性质探究
根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质.下面研究与对角线相关的性质.
如图2，四边形ABCD是邻等对补四边形，，AC是它的一条对角线.
①写出图中相等的角，并说明理由；
②若，，，求AC的长（用含m，n，的式子表示）.
（3）拓展应用
如图3，在中，，，，分别在边BC，AC上取点M，N，使四边形ABMN是邻等对补四边形.当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出BN的长.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：由图可知，P点表示的数为-1.
故答案为：A.
【分析】根据数轴及选项判断符合题意的选项即可.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 5784亿=578400000000=.
故答案为：C.
【分析】用科学记数法表示较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此可得答案.小技巧备注：“亿”后有8位，即5784亿为12位数.
3．【答案】B
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：由图可知，两直线平行，内错角相等，即∠1=50°.
故答案为：B.
【分析】根据方向角定义及两直线平行，内错角相等，即可得出答案.
4．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：依题意，题中主视方向应为
.
故答案为：A.
【分析】主视图就是从正面看得到的正投影，能看见的轮廓线需要画成实线，据此可得答案.
5．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解得x<-1，
A、若x>2，则不等式组无解，符合题意；
B、若x<0，则不等式组的解集是x<-1，不符合题意；
C、若x<-2，则不等式组的解集是x<-2，不符合题意；
D、若x>-3，则不等式组的解集是-3故答案为：A.
【分析】利用不等式的性质解题干的不等式，结合选项根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了即可逐一判断得出答案.
6．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；A字型相似模型
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=2AO=2OC，
又∵ 点E为OC的中点，
∴AC=2OC=4CE，
又∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴，
∴AB=.
故答案为：B.
【分析】由目标线段与已知线段AB的位置关系，直接使用平行相似，故将问题转换为利用平行线的性质分析相似三角形的相似比即可.
7．【答案】D
【知识点】幂的乘方运算；有理数乘法与乘方的互化
【解析】【解答】解： .
故答案为：D.
【分析】先根据乘方运算定义化简a个a相乘，后利用幂的乘方进行计算表示即可.
8．【答案】D
【知识点】用列举法求概率
【解析】【解答】解：不妨将三张卡片记为A，B，C，
其中随机抽取两次放回的可能情况有：共9种，
其中抽取卡片相同的有，
故正面朝上.
故答案为：D.
【分析】根据等可能事件概率将所有可能情况枚举，找出符合条件的事件情况数，进而根据概率公式计算即可.
9．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆内接四边形的性质；扇形面积的计算；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【解答】解：连接AD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC，
∵四边形ABCD是圆O的内接四边形，
∴∠BDC=180°-∠BAC=120°，
∵D的的中点 ，
∴BD=CD，
又∵AD=AD，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD=∠CAD==30°，∠ADB=∠ADC=，
∴∠ABD=180°-∠BAD-∠BDA=90°，
在Rt△ABD中，
tan∠BAD=tan30°=，
解得BD=4.
∴.
故答案为：C.
【分析】由等边三角形性质及圆内接四边形性质可直接得出∠BDC的度数，由等弧所对的弦相等可得BD=CD，从而用SSS判断出△ABD≌△ACD，可得∠BAD=∠CAD=30°，∠ADB=∠ADC=60°，其次利用含30°特殊角三角函数值可快速求得半径BD长，最后代入扇形面积公式即可.
10．【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息；用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：A、由图1可知， 当P=440W时，I=2A ，故A正确，不符合题意；
B、由图2可知，Q随I的增大而增大，故B正确，不符合题意；
C、由图2可知，I每增加量1A，I越大Q的增加量越大，即Q的增加量不相同，故C错误，符合题意；
D、结合图1与图2，P越大I越大，I越大，Q越大，即P越大，热量Q越多，故D正确，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据图1中图象上点（440，2）可判断A，根据图2中函数的增减项可判断B，C选项；根据图1与图2Q随I的增大而增大，可判断D选项.
11．【答案】
【知识点】同类项的概念
【解析】【解答】解：单项式2m只含有字母m，且m的指数是1，故单项式2m的同类项，可以为m.
故答案为：m.
【分析】所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，据此找出符合题意的一个代数式即可.
12．【答案】9
【知识点】条形统计图；众数
【解析】【解答】解：由图可知，得分为9分的班级数超过10个，其它得分的班级数均小于10个，
故得分的众数为9分
故答案为：9.
【分析】众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)，据此并结合图中信息即可得出答案.
13．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 关于的方程有两个相等的实数根，
∴，解得c=.
故答案为：.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此并结合题意列出关于字母c的方程，求解即可.
14．【答案】
【知识点】正方形的性质；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：设OB=a，
∵四边形ABCD是正方形，△BEF是△BCE延BE折叠所得， A（-2，0），
∴BF=BC=AB=OB+AO=a+2，EF=CE，
又∵F （0，6） ，即OF=6，
在Rt△BOF中，有，
即，解得a=8，
又∵正方形AB的边在x轴上，
∴∠C=∠ABC=∠BOG=90°，
∴四边形OBCG是矩形，
∴CG=OB=8，OG=BC=10，
∴GF=OC-OF=10-6=4，
设EF=CE=b，则GE=8-b，
同理，则有，解得b=5，
∴GE=CG-CE=3.
∴E(3，10)
故答案为：(3，10).
【分析】由折叠问题与边存在的等量关系，先利用勾股定理解出△OBF，同理利用勾股定理解出△GEF，即得点E的坐标.
15．【答案】；
【知识点】定点定长辅助圆模型
【解析】【解答】解：（1）如图所示，
由CD=1，即点D在以C为圆心半径为1的圆上运动，
在Rt△ABE中，
cos∠EAB=，（注：也可以通过勾股分析，即AE最大转化为BE最小）
为使得AE最大，即此时∠BAE最小，
∴当且仅当AE与圆C相切时，AE最大，
此时在Rt△ABE和Rt△ABC中，如下图所示，取AB中点O，连接OC，OE，
∴OC=OA=OB=OE，故ACBE四点共圆，
∴∠AEC=∠ABC=45°，
此时△CDE为等腰直角三角形，
即DE=CD=1，
又∵在Rt△ACD中，
，
∴AE=AD+DE=；
（2）如图所示，
由（1）同理可得，
当且仅当∠BAE最大时，AE最小，即当射线AE与圆C相切于点D时，
此时DE=CD=1，
AE=AD-DE=；
故答案为：；.
【分析】根据题意分析点D的运动轨迹为圆，进一步利用三角函数将AE的最值问题转化为∠BAE的最值分析，即与圆相切时最大，最后利用以A、B、C、E为顶点的共圆分析特殊角度关系更便捷解形，即求出AE的长.
16．【答案】（1）解：原式=10-1=9.
（2）解：原式.
【知识点】分式的混合运算；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先根据二次根式的乘法法则及零指数幂运算法则计算，再合并同类项即可；
（2）对分式括号内的部分进行通分，并利用平方差公式将除式的分母进行因式分解，同时将除法转变为乘法，进而计算分式乘法约分化简即可.
17．【答案】（1）甲；29
（2）解：因为甲的平均每场得分大于乙的平均每场得分，且甲的得分更稳定，所以甲队员表现更好.
（3）解：甲的综合得分为：26.5×1+8×1.5+2×（-1）=36.5.
乙的综合得分为：26×1+10×1.5+3×（-1）=38.
因为38>36.5，所以乙队员表现更好.
【知识点】加权平均数及其计算；分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）从折线统计图可得甲六场得分波动小，乙六场得分波动大，
∴得分更稳定的队员是甲；
乙队员得分按小到大排列为：14，20，28，30，32，32.
故此时中位数为（28+30）÷2=29（分）；
故答案为：甲；29；
【分析】（1）根据统计图数据波动程度分析稳定性；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可；
（2）根据技术统计表分析平均分和成绩稳定性从而得出赛况表现情况；
（3）按统计表数据分析代入“综合得分”计算公式计算比较得出结论.
18．【答案】（1）解：∵反比例函数的图象经过点，
∴.
∴.
∴这个反比例函数的表达式为.
（2）解：如图
（3）4.5
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；矩形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；用坐标表示平移；作图-反比例函数图象
【解析】【解答】解：（3）∵点A(3，2)，点C(9，6)
∴由中点坐标公式得E(6，4)
设将矩形ABCD向左移t个单位，则平移后的点E坐标为(6-t，4)，
又∵点E在反比例函数上，
∴，
解得t=.
故答案为：4.5.
【分析】（1）根据格点得出A点坐标从而用待定系数法得出函数表示式；
（2）在表达式的基础上找出不同于A的整数点，即整数k的因数进行逐一取点并画出曲线；
（3）由矩形性质分析得出中点E的坐标，设出平移单位表示平移后的点E坐标，代入反比例函数求出平移距离即可.
19．【答案】（1）解：如图.
（2）证明：由（1），得.
∴.
∵，
∴四边形CDBF是平行四边形.
∵CD是斜边AB上的中线，
∴.
∴平行四边形ABCD是菱形.
【知识点】菱形的判定；尺规作图-作一个角等于已知角；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据题意利用尺规作出等角即可；
（2）在已知斜边中线CD的基础上分析，即一组邻边CD=BC，结合平行四边形分析得证菱形.
20．【答案】（1）证明：如图，设AD交圆于点M，连接BM.
则.
∵，∴.
（2）解：在中，，.
∵，
∴.
∵，
∴.
在中，，
∴.
∴.
答：塑像AB的高约为6.9m.
【知识点】三角形的外角性质；圆周角定理；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）利用同弧所对的圆周角相等得∠AMB=∠APB，再由三角形外角性质可得∠AMB＞∠ADB，从而即可得出结论；
（2）利用特殊角三角函数值逐一推导并求得对应线段长即可得出目标塑像AB的高.
21．【答案】（1）解：设选用A种食品x包，B种食品y包，
根据题意，得
解方程组，得
答：选用A种食品4包，B种食品2包.
（2）解：设选用A种食品包，则选用B种食品包，
根据题意，得.
∴.
设总热量为wkJ，则.
∵-200<0，
∴w随a的增大而减小.
∴当时，w最小.
∴.
答：选用A种食品3包，B种食品4包.
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-方案问题；二元一次方程组的实际应用-图表信息问题
【解析】【分析】（1）根据食品营养成分表及“ 两种食品中摄入4600kJ热量和70g蛋白质 ”列出方程组，解方程组即可；
（2）根据题意设A种为a包，则B为(7-a)包，根据每份午餐中的蛋白质含量不低于90g列出不等式，得出a的取值范围；进一步表示其总热量，利用一次函数分析总热量与a的关系得出结论.
22．【答案】（1）
（2）解：根据题意，得
当时，.
∴.
∴.
（3）解：小明的说法不正确.理由如下：
由（2），得.
当时，.
解方程，得，.
∴小明的说法不正确.
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：（1）依题意，对称轴所在直线；
∵-5＜0，∴小球被发射后s时离地面的高度最大 ；
故答案为：；
【分析】（1）根据二次函数的性质，利用含参数v0表示二次函数对称轴即可；
（2）在（1）的基础上分析，即该二次函数经过顶点，代入函数解出v0即可；
（3）在（2）的基础上，求出当发射小球高度为15米时对应物体的运动时间判断即可.
23．【答案】（1）②④
（2）解：①，理由如下：
延长CB至点E，使.连接AE.
∵四边形ABCD是邻等对补四边形，
∴
∵，
∴.
∵AB=AD，
∴.
∴，.
∴.
∴.
②过点A作，垂足为点F.
∵，
∴.
∵，
∴.
在中，，
∴.
（3）解：或.
【知识点】四边形的综合；解直角三角形—边角关系；旋转全等模型
【解析】【解答】解：（1）对于①，四边形的四个内角按逆时针分别为：135°，45°，135°，45°，其对角相等，不符合题意，错误；
对于②，四边形的四个内角按逆时针分别为：90°，60°，90°，120°，其对角互补，且邻边相等，符合题意，正确；
对于③，四边形的四个内角按逆时针分别为：90°，135°，60°，75°，其对角不互补，不符合题意，错误；
对于④，四边形的四个内角按逆时针分别为：90°，75°，90°，105°，其对角互补，且邻边相等，符合题意，正确；
∴符合 邻等对补四边形的有 ：②④
（3）①如图，若AB=AN，连接AM，
由（2）可知，∠ANM=180°-∠ABC=90°，
又∵AM=AM，
∴△ABM≌△ANM（HL），
∴BM=MN，
该类情况不符合题意，舍去；
②若BM=MN，
与上述情况同理，不符合题意，舍去；
③若BM=AB=3，连接BN，过点B作BD⊥AC，
由（2）同理可知，此时NB平分∠ANM，
即∠ANM=45°，
∴DN=BD，
在Rt△ABC中，AC，
又∵，
∴，
∴BN=；
④若AN=MN，连接BN，
由（2）同理可知，此时BN平分∠ABM，
设AN=MN=t，则CN=5-t，
在Rt△ABC和Rt△CMN中，
，即，解得t=，
同理，解得CM=，
∴BM=BC-CM=，
由（2）同理可证，.
综上所述，BN的长为或.
【分析】（1）根据“邻等对补四边形”的定义结合两特殊直角三角形的边角关系逐一分析即可；
（2）①利用“邻等对补四边形”的特点考虑旋转进行全等证明，利用全等的性质进行角度分析即可；
②利用全等性质分析等腰并构造三线合一的直角三角形解形即可；
（3）结合四边形内角和分析∠ANM=90°，逐一考虑邻边两两组合的四种结果分类讨论，根据分类情况及图形直观可以快速利用全等排除两种情况，进一步分析另外两种情况，其中利用（2）中结论，即角平分得特殊角45°，从而逐一分析并利用解形的知识点(等积/解直角三角形)进行快速求解，其中，延用②的结果更为便捷.
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