人教版高中数学选择性必修第一册-3.1 椭圆 习题课测试卷（含解析）

3.1椭圆 测试卷（原卷版）
1．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则C的方程是(　　)
A.＋＝1　　　　　　　 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
2．若椭圆ax2＋by2＝1与直线y＝1－x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为(　　)
A. B.
C. D.
3．(2018·课标全国Ⅱ，文)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点．若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为(　　)
A．1－ B．2－
C. D.－1
4.如图，圆柱形玻璃杯中水的液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
5．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是(　　)
A．(0，1) B.
C. D.
6．【多选题】设椭圆的方程为＋＝1，斜率为k的直线l不经过原点O，且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则下列结论正确的是(　　)
A．kAB·kOM＝－1
B．若点M坐标为(1，1)，则直线l的方程为2x＋y－3＝0
C．若直线l的方程为y＝x＋1，则点M的坐标为(，)
D．若直线l的方程为y＝x＋2，则|AB|＝
7．与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点，且过点(－3，2)的椭圆方程为________．
8．椭圆x2＋4y2＝16被直线y＝x＋1截得的弦长为________．
9．椭圆C：＋＝1的弦AB的中点为点Q(2，1)，则弦AB所在直线的方程为________，若点P为椭圆上的任意一点，F为左焦点，O为原点，则·的取值范围为________．
10．已知椭圆G：＋＝1(a>b>0)的离心率为，右焦点为(2，0)，斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3，2)．
(1)求椭圆G的方程；
(2)求△PAB的面积．
11．过点M(－2，0)的直线m与椭圆＋y2＝1交于P1，P2，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为(　　)
A．2 B．－2
C. D．－
12．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，下顶点为B，离心率为，且△BF1F2的面积为.则椭圆C的标准方程为________，若点P在椭圆C上，且以AP为直径的圆过B点，则直线AP的斜率为________．
13．已知中心为坐标原点O，焦点在y轴上的椭圆M的焦距为4，且椭圆M过点(1，)．
(1)求椭圆M的方程；
(2)若过点C(0，1)的直线l与椭圆M交于A，B两点，且＝2，求直线l的方程．
1．设a>0，则椭圆x2＋2y2＝2a的离心率是(　　)
A. B.
C. D．与a的取值有关
2．已知点P是椭圆＋＝1上一点，其左、右焦点分别为F1，F2，若△F1PF2外接圆的半径为4，则△F1PF2的面积是(　　)
A. B．4
C．4 D.或4
3．已知A，B是椭圆＋＝1(a>b>0)长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k1，k2(k1k2≠0)．若椭圆的离心率为，则|k1|＋|k2|的最小值为(　　)
A．1 B.
C. D.
4．已知直线＋＝1与椭圆＋＝1相交于A，B两点，若椭圆上存在点P使△ABP的面积等于12，则这样的点P共有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
5．若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上的最短距离为，则这个椭圆的方程为________．
6．2013年我国载人航天飞船神舟十号飞行获得圆满成功．已知神舟十号飞船变轨前的运行轨道是一个以地心为焦点的椭圆，飞船近地点、远地点离地面的距离分别为200 km，350 km.设地球半径为R km，则此时飞船轨道的离心率为________(结果用含R的式子表示)．
7．椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点F(c，0)关于直线l：y＝x的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是________．
8．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于________．
9．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点，且长轴长等于4，F1，F2是椭圆的两个焦点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)⊙O(O为坐标原点)是以F1F2为直径的圆，直线l：y＝kx＋m与⊙O相切，并与椭圆C交于不同的两点A，B，若·＝－，求k的值．
10.如图，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为(，0)，且经过点，点M是x轴上的一点，过M点的直线l与椭圆C交于A，B两点(点A在x轴的上方)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若＝2，且直线l与圆O(O为坐标原点)：x2＋y2＝相切于点N，求MN的长．
11．已知椭圆C过点A，两个焦点为(－1，0)，(1，0)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．
3.1椭圆 测试卷（解析版）
1．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则C的方程是(　　)
A.＋＝1　　　　　　　 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
答案　D
2．若椭圆ax2＋by2＝1与直线y＝1－x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
3．(2018·课标全国Ⅱ，文)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点．若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为(　　)
A．1－ B．2－
C. D.－1
答案　D
解析　在Rt△PF1F2中，∠PF2F1＝60°，不妨设椭圆焦点在x轴上，且焦距|F1F2|＝2，则|PF2|＝1，|PF1|＝，由椭圆的定义可知，|PF1|＋|PF2|＝2a，
所以2a＝1＋，2c＝2，得a＝，c＝1.
所以离心率e＝＝＝－1.故选D.
4.如图，圆柱形玻璃杯中水的液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　设圆柱的底面半径为1，则椭圆的短半轴长为1，长轴长为＝，即长半轴长为，所以半焦距为，故离心率为.
5．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是(　　)
A．(0，1) B.
C. D.
答案　C
解析　依题意，以F1，F2为直径且过点M的圆在椭圆内，得c6．【多选题】设椭圆的方程为＋＝1，斜率为k的直线l不经过原点O，且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则下列结论正确的是(　　)
A．kAB·kOM＝－1
B．若点M坐标为(1，1)，则直线l的方程为2x＋y－3＝0
C．若直线l的方程为y＝x＋1，则点M的坐标为(，)
D．若直线l的方程为y＝x＋2，则|AB|＝
答案　BD
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则两式相减，得＋＝0，即·＝－2，即kAB·kOM＝－2，所以A不正确；对于B，由kAB·kOM＝－2，M(1，1)，得kAB＝－2，所以直线l的方程为y－1＝－2(x－1), 即2x＋y－3＝0，所以B正确；对于C，若直线l的方程为y＝x＋1，M，则kAB·kOM＝1×4＝4≠－2，所以C不正确；对于D，由得3x2＋4x＝0，解得x＝0或x＝－，所以|AB|＝＝，所以D正确．故选BD.
7．与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点，且过点(－3，2)的椭圆方程为________．
答案　＋＝1
8．椭圆x2＋4y2＝16被直线y＝x＋1截得的弦长为________．
答案　
解析　由消去y并化简得x2＋2x－6＝0，Δ＞0.
设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝－2，x1x2＝－6.
所以弦长|MN|＝|x1－x2|
＝＝＝.
9．椭圆C：＋＝1的弦AB的中点为点Q(2，1)，则弦AB所在直线的方程为________，若点P为椭圆上的任意一点，F为左焦点，O为原点，则·的取值范围为________．
答案　x＋y－3＝0　[2，8＋4]
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则即x12－x22＋2(y12－y22)＝0，变形为＝－·.又AB的中点为点Q(2，1)，则有＝2，＝1，所以＝－1，即直线AB的斜率为－1，所以弦AB所在直线的方程为y＝－(x－2)＋1，即x＋y－3＝0.设P(x0，y0)，又F(－2，0)，所以＝(x0，y0)，＝(x0＋2，y0)，所以·＝2x0＋x02＋y02＝2x0＋x02＋4－＝(x0＋2)2＋2.又－2≤x0≤2，所以当x0＝－2时，·有最小值2；当x0＝2时，·有最大值8＋4，所以·∈[2，8＋4]．
10．已知椭圆G：＋＝1(a>b>0)的离心率为，右焦点为(2，0)，斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3，2)．
(1)求椭圆G的方程；
(2)求△PAB的面积．
解析　(1)由已知得c＝2，＝，解得a＝2.
则b2＝a2－c2＝4，所以椭圆G的方程为＋＝1.
(2)设直线l的方程为y＝x＋m，
由得4x2＋6mx＋3m2－12＝0.①
由Δ＝(6m)2－4×4×(3m2－12)＞0，得m2＜16.
设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1AB的中点为E(x0，y0)，则x1＋x2＝－，
则x0＝＝－，y0＝x0＋m＝.
因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB.
所以PE的斜率k＝＝－1，解得m＝2，满足Δ＞0.
此时方程①为4x2＋12x＝0，解得x1＝－3，x2＝0.
所以y1＝－1，y2＝2.所以|AB|＝3.
此时，点P(－3，2)到直线AB：x－y＋2＝0的距离d＝＝.
所以△PAB的面积S＝|AB|·d＝.
11．过点M(－2，0)的直线m与椭圆＋y2＝1交于P1，P2，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为(　　)
A．2 B．－2
C. D．－
答案　D
解析　设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P(x，y)，则
①－②，得＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
即＋2y(y1－y2)＝0.
∴k1＝＝－.
又k2＝，
∴k1·k2＝－.
12．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，下顶点为B，离心率为，且△BF1F2的面积为.则椭圆C的标准方程为________，若点P在椭圆C上，且以AP为直径的圆过B点，则直线AP的斜率为________．
答案　＋y2＝1　
解析　由题意可知＝，S△BF1F2＝bc＝.
又a2－b2＝c2，所以b＝1，c＝，a＝2，
所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
以AP为直径的圆过B点，即AB⊥BP.
因为kAB＝－＝－，所以kBP＝2.
所以直线BP的方程为y＝2x－1.
由解得或
所以点P的坐标为，所以直线AP的斜率kAP＝＝.
13．已知中心为坐标原点O，焦点在y轴上的椭圆M的焦距为4，且椭圆M过点(1，)．
(1)求椭圆M的方程；
(2)若过点C(0，1)的直线l与椭圆M交于A，B两点，且＝2，求直线l的方程．
解析　(1)设椭圆M的方程为＋＝1(a>b>0)．
∵2c＝4，∴c＝2，∴a2－b2＝c2＝4.
又椭圆M过点(1，)，∴＋＝1.
由解得a2＝6，b2＝2.
∴椭圆M的方程为＋＝1.
(2)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0.设此时点A，B的坐标为(0，－)和(0，)，不满足＝2，∴直线l的斜率一定存在．设直线l的方程为y＝kx＋1，
由消去y并整理，得(3＋k2)x2＋2kx－5＝0.
则Δ＝4k2＋20(3＋k2)＝24k2＋60>0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝－.
又∵＝2，
∴(－x1，1－y1)＝2(x2，y2－1)，∴x1＝－2x2，
∴x1＋x2＝－x2＝－，
x1x2＝－2x22＝－，
∴＝，即＝5，
解得k2＝5，
∴k＝±.
故直线l的方程为y＝±x＋1.
1．设a>0，则椭圆x2＋2y2＝2a的离心率是(　　)
A. B.
C. D．与a的取值有关
答案　B
2．已知点P是椭圆＋＝1上一点，其左、右焦点分别为F1，F2，若△F1PF2外接圆的半径为4，则△F1PF2的面积是(　　)
A. B．4
C．4 D.或4
答案　D
解析　由正弦定理得＝2×4＝8，
∴sin∠F1PF2＝.∴cos∠F1PF2＝±，符合题意．
由余弦定理得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2＝|F1F2|2.
又|PF1|＋|PF2|＝8，
∴|PF1||PF2|＝16或.
∴S△F1PF2＝|PF1||PF2|sin∠F1PF2＝或4.
3．已知A，B是椭圆＋＝1(a>b>0)长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k1，k2(k1k2≠0)．若椭圆的离心率为，则|k1|＋|k2|的最小值为(　　)
A．1 B.
C. D.
答案　A
解析　不妨令A(－a，0)，B(a，0)．设M(x，y)，N(x，－y)(－a4．已知直线＋＝1与椭圆＋＝1相交于A，B两点，若椭圆上存在点P使△ABP的面积等于12，则这样的点P共有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
答案　B
解析　可求出|AB|＝5，设P(4cos θ，3sin θ)，θ∈[0，2π)，
则P点到AB的距离为d＝＝.
∴θ＝π或，∴这样的点P有2个．
5．若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上的最短距离为，则这个椭圆的方程为________．
答案　＋＝1或＋＝1
解析　依题意可得a＝2c，a－c＝，∴c＝.
∴a＝2，b2＝9.
故椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.
6．2013年我国载人航天飞船神舟十号飞行获得圆满成功．已知神舟十号飞船变轨前的运行轨道是一个以地心为焦点的椭圆，飞船近地点、远地点离地面的距离分别为200 km，350 km.设地球半径为R km，则此时飞船轨道的离心率为________(结果用含R的式子表示)．
答案　
解析　由题意得a－c＝200＋R，a＋c＝350＋R，
求得a＝275＋R，c＝75.
所以离心率e＝＝.
7．椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点F(c，0)关于直线l：y＝x的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是________．
答案　
解析　设椭圆的左焦点为F1，O为坐标原点，连接OQ，QF1，QF，由F关于直线l：y＝x的对称点Q在椭圆上，得|OQ|＝|OF|.又|OF1|＝|OF|，所以F1Q⊥QF.所以F1Q∥l.不妨设|QF1|＝ck(k＞0)，则|QF|＝bk，|F1F|＝ak，因此2c＝ak.又2a＝ck＋bk，由以上二式可得＝k＝，即＝，即a2＝c2＋bc，所以b＝c，e＝.
8．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于________．
答案　
解析　利用直线与直线、直线与椭圆的位置关系求交点坐标，再利用两直线垂直时斜率的关系列式以确定离心率．
直线AB：x＝c，代入＋＝1，得y＝±.
不妨令A，B.
∴kBF1＝＝＝－.
∴直线BF1：y－0＝－(x＋c)．
令x＝0，则y＝－.
∴D，∴kAD＝＝.
∵AD⊥BF1，∴－·＝－1.
∴3b4＝4a2c2，∴b2＝2ac，即(a2－c2)＝2ac.
∴e2＋2e－＝0.
∴e＝＝.
∵e>0，∴e＝＝.
9．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点，且长轴长等于4，F1，F2是椭圆的两个焦点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)⊙O(O为坐标原点)是以F1F2为直径的圆，直线l：y＝kx＋m与⊙O相切，并与椭圆C交于不同的两点A，B，若·＝－，求k的值．
解析　(1)∵2a＝4，∴a＝2.
∴椭圆C的方程为＋＝1.
∵椭圆C过点，∴＋＝1.
∴b2＝3，∴椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设O到l的距离为d，⊙O的半径为r，则d＝r＝1.
即＝1，∴m2＝1＋k2.①
由得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.
则Δ＝(8km)2－4(3＋4k2)(4m2－12)＝192k2－48m2＋144＝144k2＋96＞0.
设A，B坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴x1＋x2＝，x1·x2＝.
∴y1·y2＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝.
∴x1x2＋y1y2＝.②
将①代入②，得x1x2＋y1y2＝.
∵·＝x1x2＋y1y2＝－，
∴＝－，∴k＝±.
10.如图，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为(，0)，且经过点，点M是x轴上的一点，过M点的直线l与椭圆C交于A，B两点(点A在x轴的上方)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若＝2，且直线l与圆O(O为坐标原点)：x2＋y2＝相切于点N，求MN的长．
解析　(1)由题意知，
解得a2＝4，b2＝1，
∴椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)设M(m，0)，直线l：x＝ty＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
∵直线l与圆O：x2＋y2＝相切，∴原点O到直线l的距离d＝＝，即t2＝m2－1.
由＝2，得y1＝－2y2.
由得(t2＋4)y2＋2tmy＋m2－4＝0，
则Δ＝16(t2－m2＋4)＝12m2＋48＞0.
∴y1＋y2＝－，y1y2＝.
∵y1y2＝－2y22，y1＋y2＝－2y2＋y2＝－y2，
∴y1y2＝－2[－(y1＋y2)]2＝－2(y1＋y2)2，
即＝－2，
化简得(m2－4)(t2＋4)＝－8t2m2.
联立消去t2，得
21m4－16m2－16＝0，即(3m2－4)(7m2＋4)＝0，
解得m2＝，此时t2＝，
∴M，
连接ON，在Rt△OMN中，|MN|＝＝，
∴MN的长为.
11．已知椭圆C过点A，两个焦点为(－1，0)，(1，0)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．
解析　(1)由题意，得c＝1，
可设椭圆方程为＋＝1(b＞0)．
因为点A在椭圆上，所以＋＝1，
解得b2＝3或b2＝－(舍去)．
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设直线AE的方程为y＝k(x－1)＋，
代入＋＝1得(3＋4k2)x2＋4k(3－2k)x＋4－12＝0.
由Δ＝36(2k＋1)2＞0，得k≠－.
设E(xE，yE)，F(xF，yF)．
因为点A在椭圆上，
所以xE＝，
yE＝kxE＋－k.
又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，
在上式中以－k代替k，可得k≠，
且xF＝，
yF＝－kxF＋＋k.
所以直线EF的斜率kEF＝＝＝.
即直线EF的斜率为定值，其值为.