人教版高中数学选择性必修第一册-2.4～2.5 圆 习题课（含解析）

2.4～2.5　圆 习题课（原卷版）
1．已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y为实数，且x＋y＝1}，则A∩B中的元素个数为(　　)
A．4　　　　　　　　　　　 B．2
C．3 D．1
2．已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为(　　)
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝3 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
3．圆x2＋y2－4x＋6y－12＝0过(－1，0)的最大弦长为m，最小弦长为n，则m－n等于(　　)
A．10－2 B．5－
C．10－3 D．5－
4．已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是(　　)
A．(x－5)2＋(y＋7)2＝25
B．(x－5)2＋(y＋7)2＝17或(x－5)2＋(y＋7)2＝15
C．(x－5)2＋(y＋7)2＝9
D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9
5．已知点O(0，0)，A(0，2)，点M是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，则△OAM面积的最小值为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
6．若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上的点到直线4x－3y－2＝0的最短距离为1，则圆的半径r为(　　)
A．4 B．5
C．6 D．9
7．【多选题】已知点A(－1，0)，B(1，0)，若圆(x－2a＋1)2＋(y－2a－2)2＝1上存在点M满足·＝3，则实数a的值可以为(　　)
A．－2 B．－1
C．2 D．0
8．设曲线x＝上的点到直线x－y－2＝0的距离的最大值为a，最小值为b，则a－b的值为(　　)
A. B.
C.＋1 D．2
9．由方程x2＋y2＋x＋(m－1)y＋m2＝0所确定的圆中，面积最大的圆为________；最大面积是________．
10．一条光线从点(－2，3)射出，经x轴反射后与圆x2＋y2－6x－4y＋12＝0相切，则反射光线所在直线的斜率为________．
11．过直线x＋y－2＝0上点P作圆O：x2＋y2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是________．
12.如图是一公路隧道截面图，下方ABCD是矩形，且AB＝4 m，BC＝8 m，隧道顶APD是一圆弧，拱高OP＝2 m，隧道有两车道EF和FG，每车道宽3.5 m，车道两边留有0.5 m的人行道BE和GC，为了行驶安全，车顶与隧道顶端至少有0.6 m的间隙，则此隧道允许通行车辆的限高是________m．(精确到0.01 m，≈7.141)
13．已知圆C过点(1，1)，圆心在x轴正半轴上，且与直线y＝x－4相切．
(1)求圆C的标准方程；
(2)已知过点P(1，3)的直线l交圆C于A，B两点，且|AB|＝2，求直线l的方程．
14．已知圆O：x2＋y2＝1与x轴的正半轴交于点P，直线l：kx－y－k＋3＝0与圆O交于不同的两点A，B.
(1)求实数k的取值范围；
(2)设直线PA，PB的斜率分别是k1，k2，试问k1＋k2是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．
15．已知圆O：x2＋y2＝4和点M(1，a)．
(1)若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求实数a的值，并求出切线方程；
(2)若a＝，过点M的两条弦AC，BD互相垂直，求|AC|＋|BD|的最大值．
2.4～2.5　圆 习题课（解析版）
1．已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y为实数，且x＋y＝1}，则A∩B中的元素个数为(　　)
A．4　　　　　　　　　　　 B．2
C．3 D．1
答案　B
2．已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为(　　)
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝3 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
答案　B
解析　方法一：设圆心坐标为(a，－a)，由圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切可得＝，解得a＝1，所以半径r＝，故该圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
方法二：圆心在x＋y＝0上，可排除C、D，再结合图象，或者验证A、B中圆心到两直线的距离是否等于半径，可知B正确．
3．圆x2＋y2－4x＋6y－12＝0过(－1，0)的最大弦长为m，最小弦长为n，则m－n等于(　　)
A．10－2 B．5－
C．10－3 D．5－
答案　A
解析　将原方程整理成标准形式得(x－2)2＋(y＋3)2＝25，最大弦应为直径，故m＝10，最小弦长为弦心距最大时对应的弦，此时弦应与点(－1，0)，(2，－3)的连线垂直．
∴n＝2＝2.
4．已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是(　　)
A．(x－5)2＋(y＋7)2＝25
B．(x－5)2＋(y＋7)2＝17或(x－5)2＋(y＋7)2＝15
C．(x－5)2＋(y＋7)2＝9
D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9
答案　D
解析　因为半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，所以动圆圆心到(5，－7)的距离为4＋1或4－1，所以动圆圆心的轨迹方程为(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9.
5．已知点O(0，0)，A(0，2)，点M是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，则△OAM面积的最小值为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案　A
6．若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上的点到直线4x－3y－2＝0的最短距离为1，则圆的半径r为(　　)
A．4 B．5
C．6 D．9
答案　A
解析　由圆的方程可知圆心为(3，－5)，圆心到直线4x－3y－2＝0的距离d＝＝5.依题意知，d－r＝1，所以r＝4.
7．【多选题】已知点A(－1，0)，B(1，0)，若圆(x－2a＋1)2＋(y－2a－2)2＝1上存在点M满足·＝3，则实数a的值可以为(　　)
A．－2 B．－1
C．2 D．0
答案　BD
解析　设点M(x，y)，则＝(－x－1，－y)，＝(－x＋1，－y)，所以·＝(－x－1)(－x＋1)＋y2＝3，所以M的轨迹方程为x2＋y2＝4，圆心为(0，0)，半径为2，由此可知圆(x－2a＋1)2＋(y－2a－2)2＝1与x2＋y2＝4有公共点，又圆(x－2a＋1)2＋(y－2a－2)2＝1的圆心为(2a－1，2a＋2)，半径为1，所以1≤≤3，解得－1≤a≤.
8．设曲线x＝上的点到直线x－y－2＝0的距离的最大值为a，最小值为b，则a－b的值为(　　)
A. B.
C.＋1 D．2
答案　C
解析　将x＝化为x2＋(y－1)2＝1(x≥0)，所以圆心(0，1)，半径r＝1.曲线x＝与直线x－y－2＝0的图象如图所示．因为圆心到直线x－y－2＝0的距离d＝，所以圆上的点到直线的最小距离b＝－1，最大值为(0，2)到直线的距离，即a＝＝2，则a－b＝＋1.
9．由方程x2＋y2＋x＋(m－1)y＋m2＝0所确定的圆中，面积最大的圆为________；最大面积是________．
答案　x2＋y2＋x－2y＋＝0　
解析　所给圆的半径为r＝＝.当m＝－1时，半径r取最大值，此时圆为x2＋y2＋x－2y＋＝0，最大面积是.
10．一条光线从点(－2，3)射出，经x轴反射后与圆x2＋y2－6x－4y＋12＝0相切，则反射光线所在直线的斜率为________．
答案　或
11．过直线x＋y－2＝0上点P作圆O：x2＋y2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是________．
答案　(，)
解析　∵点P在直线x＋y－2＝0上，
∴可设点P(x0，－x0＋2)，且其中一个切点为M.
连接OP，OM，∵两条切线的夹角为60°，
∴∠OPM＝30°.
故在Rt△OPM中，有OP＝2OM＝2.
由两点间的距离公式，得OP＝＝2，解得x0＝.故点P的坐标是(，)．
12.如图是一公路隧道截面图，下方ABCD是矩形，且AB＝4 m，BC＝8 m，隧道顶APD是一圆弧，拱高OP＝2 m，隧道有两车道EF和FG，每车道宽3.5 m，车道两边留有0.5 m的人行道BE和GC，为了行驶安全，车顶与隧道顶端至少有0.6 m的间隙，则此隧道允许通行车辆的限高是________m．(精确到0.01 m，≈7.141)
答案　3.97
13．已知圆C过点(1，1)，圆心在x轴正半轴上，且与直线y＝x－4相切．
(1)求圆C的标准方程；
(2)已知过点P(1，3)的直线l交圆C于A，B两点，且|AB|＝2，求直线l的方程．
解析　(1)由题意，设圆心坐标为C(a，0)(a>0)，
由题意，得＝，
解得a＝－6(舍)或a＝2，
所以圆的半径为r＝＝，
则圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝2.
(2)若斜率不存在，则直线方程为x＝1，弦心距d＝1，半径为，
则|AB|＝2＝2，符合题意；
若斜率存在，设直线方程为y－3＝k(x－1)，
即kx－y－k＋3＝0.
弦心距d＝，
得|AB|＝2＝2，
解得k＝－，直线方程为4x＋3y－13＝0.
综上所述，直线l的方程为x＝1或4x＋3y－13＝0.
14．已知圆O：x2＋y2＝1与x轴的正半轴交于点P，直线l：kx－y－k＋3＝0与圆O交于不同的两点A，B.
(1)求实数k的取值范围；
(2)设直线PA，PB的斜率分别是k1，k2，试问k1＋k2是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．
解析　因为圆O：x2＋y2＝1与x轴的正半轴交于点P，
所以圆心O(0，0)，半径r＝1，P(1，0)．
(1)因为直线l：kx－y－k＋3＝0与圆O交于不同的两点A，B，
所以圆心O到直线l的距离d＝<1，即|k－3|<，解得k>.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立可得(1＋k2)x2－(2k2－6k)x＋k2－6k＋8＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝，
所以k1＋k2＝＋
　　　＝＋
＝2k＋＋
＝2k＋
＝2k＋
＝2k＋＝－.
所以k1＋k2是定值，定值为－.
15．已知圆O：x2＋y2＝4和点M(1，a)．
(1)若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求实数a的值，并求出切线方程；
(2)若a＝，过点M的两条弦AC，BD互相垂直，求|AC|＋|BD|的最大值．
解析　(1)由题意知点M在圆O上，
所以1＋a2＝4，解得a＝±.
当a＝时，点M为(1，)，所以kOM＝，k切线＝－，
此时切线方程为y－＝－(x－1)，即x＋y－4＝0；
当a＝－时，点M为(1，－)，所以kOM＝－，k切线＝，
此时切线方程为y＋＝(x－1)，即x－y－4＝0.
综上，所求切线方程为x＋y－4＝0或x－y－4＝0.
(2)设圆心O到直线AC，BD的距离分别为d1，d2(d1，d2≥0)，
则d12＋d22＝|OM|2＝3.
因为|AC|＝2，|BD|＝2，
所以|AC|＋|BD|＝2＋2，
所以(|AC|＋|BD|)2
＝4×(4－d12＋4－d22＋2·)
＝4×[5＋2]
＝4×(5＋2)．
因为(d1－d2)2≥0，即2d1d2≤d12＋d22＝3，所以d12d22≤，
当且仅当d1＝d2＝时取等号，所以≤，
所以(|AC|＋|BD|)2≤4×＝40.
所以|AC|＋|BD|≤2，即|AC|＋|BD|的最大值为2.