2023—2024学年度安康市高二年级期末质量联考
数学
注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名 准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一 选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.书架上有4本不同的科学类书籍,4本不同的文史类书籍,若从书架中任选1本书,则不同的选法有( )
A.4种 B.8种 C.12种 D.16种
2.双曲线的渐近线方程为( )
A. B.
C. D.
3.曲线在点处的切线的方程为( )
A. B.
C. D.
4.已知两个变量与的对应关系如下表:
1 3 5 7 9
6 18 39 53
若与满足一元线性回归模型,且经验回归方程为,则( )
A.29 B.30 C.31 D.32
5.的展开式中含有项的系数为( )
A.10 B.-10 C.20 D.-20
6.某班举办知识竞赛,已知题库中有两种类型的试题,类试题的数量是类试题数量的两倍,且甲答对米试题的概率为,答对类试题的概率为,从题库中任选一题作答,甲答对题目的概率为( )
A. B. C. D.
7.3名男生和3名女生随机站成一排,恰有2名女生相邻,则不同的排法种数为( )
A.332 B.360 C.432 D.488
8.已知是抛物线的准线,与轴交于点是上一点,直线的斜率的最大值为( )
A.1 B. C. D.
二 多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.对于函数,下列说法正确的是( )
A.有最小值但没有最大值
B.对于任意的,恒有
C.仅有一个零点
D.有两个极值点
10.已知数列满足,且,则下列说法正确的是( )
A.数列可能为常数列
B.数列可能为等比数列
C.若,则
D.若,记是数列的前项积,则的最大值为
11.袋中共有5个除颜色外完全相同的球,其中有3个红球和2个白球,每次随机取1个,有放回地取球,则下列说法正确的是( )
A.若规定摸到3次红球即停止取球,则恰好取4次停止取球的概率为
B.若进行了10次取球,记为取到红球的次数,则
C.若规定摸到3次红球即停止取球,则在恰好取4次停止取球的条件下,第1次摸到红球的概率为
D.若进行了10次取球,恰好取到次红球的概率为,则当时,最大
三 填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.设直线的一个方向向量为,平面的一个法向量为,则直线与平面所成角的正弦值为__________.
13.已知分别为椭圆的左 右焦点,为上一点,则的离心率为__________,内切圆的半径为__________.
14.设点在曲线上,点在曲线上,若的最小值为,则__________.
四 解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15.(13分)
已知数列是等差数列,且.
(1)求的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
16.(15分)
某电商平台为了解消费者对新产品的满意度,从中随机调查了200名消费者的售后评分,得到的数据如下表:
年龄
5 2 3 6
9 14 11 20
33 34 30 25
2 1 2 3
把年龄在内的消费者称为青年,年龄在内的消费者称为中年,认为评分小于或等于80分的消费者对产品不满意,评分大于80分的消费者对产品满意.
(1)完成如下表格,依据小概率值的独立性检验,能否据此推断消费者对新产品的满意度与年龄有关?
满意 不满意 合计
青年
中年
合计
(2)从表中评分在90分以上的消费者中任意选取3人电话回访,记为3人里面青年的人数,求的分布列及数学期望.
附:.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
17.(15分)
已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若恰有两个零点,求的取值范围.
18.(17分)
学校组织一项竞赛,在初赛中有三轮答题,三轮答题相互独立,三轮答题至少两轮合格即视为通过初赛,进入决赛.已知甲在初赛中每轮答题合格的概率均为.
(1)求甲在通过初赛的条件下,第三轮答题没有合格的概率.
(2)已知决赛共有五道题,参赛人从中抽出三道题回答,每题的分值如下:
分值 10 20 20 20 30
答对该试题可得相应的分值,答错不得分,得分不低于60分可以获得一等奖.已知参加决赛的学生乙答对题的概率为,答对题的概率均为,答对题的概率为,求乙获得一等奖的概率.
19.(17分)
若函数满足对任意成立,则称为“反转函数”.
(1)若是“反转函数”,求的取值范围.
(2)(i)证明:为“反转函数”.
(ii)设,证明:.
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数学参考答案
1.B 共有种不同的选法.
2.A 由题可知双曲线的渐近线方程为.
3.B 由题可知,所以,又,所以切线的方程为,即.
4.A 由表格数据及回归方程易知,解得.
5.B ,故的展开式中含有项的系数为-10.
6.C 设“选出类试题”为事件,“选出类试题”为事件,“甲答对题目”为事件,则,
所以.
7.C 先选出2名女生排列有种排法,再将男生全排有种排法,最后将女生插空,则不同的排法种数为.
8.A 易知,当直线与相切时,设的方程为,与联立,可得,则,解得,故直线的斜率的最大值为1.
9.BC ,当时,单调递增,当,时,单调递减,故有最大值但没有最小值,错误.当时,,令,得,所以函数仅有一个零点,仅有一个极值点,B,C正确,D错误.
10.AB D由,可得,则.若,则,所以,故数列可能为常数列,若,则数列为等比数列,故A,B正确;若,则,所以数列是首项为4,公比为2的等比数列,故,故C错误;若,则,故当时,,当时,,故的最大值为,D正确.
11.BCD 每次取到红球的概率为,若规定摸到3次红球即停止,则恰好取4次停止取球的概率为,故A错误;,则,故B正确;记恰好取4次停止取球为事件,第1次摸到红球为事件,则,,所以,故C正确;
,当最大时,
即
所以即解得,
又,所以,当为6时,最大,故D正确.
12. ,所以直线与平面所成角的正弦值为.
13.; 将的坐标代入,可得,所以的离心率为.因为的周长为,设内切圆的半径为,所以,解得.
14.-1 因为与互为反函数,其图象关于直线对称,
所以曲线上的点到直线的最小距离为.
设与直线平行且与曲线相切的切线的切点.
,解得,所以.
得到切点,点到直线的距离,解得或3.
当时,与相交,不符合题意.
当时,与不相交,符合题意.
15.解:(1)设等差数列的公差为,解得.
,可得,解得.
所以.
(2),
所以.
16.解:(1)
满意 不满意 合计
青年 70 30 100
中年 60 40 100
合计 130 70 200
零假设为:消费者对新产品的满意度与年龄无关.
,
根据小概率值的独立性检验,没有充分证据推断不成立,故可以认为成立,
即认为消费者对新产品的满意度与年龄无关.
(2)的所有可能取值为服从超几何分布,
则.
,
,
所以的分布列为
0 1 2 3
.
17.解:(1)由题意知函数的定义域为.
当时,恒成立,在上单调递减;
当时,由,得,
由,得,
所以在上单调递减,在上单调递增.
综上,当时,在上单调递减;
当时,在上单调递减,在上单调递增.
(2)由题可知,
则,
又因为时,时,恰有两个零点,所以,解得,故的取值范围为().
18.解:(1)设事件为甲通过了初赛,事件为甲第三轮答题没有合格,
则,
,
所以甲在通过初赛的条件下,第三轮答题没有合格的概率为.
(2)若乙在中只抽到了一题,则获得一等奖的概率;
若乙在中抽到了两题,则获得一等奖的概率
若乙在中抽到了三题,则获得一等奖的概率
故乙获得一等奖的概率.
19.(1)解:当时,则,即,
则,所以,故.
当时,则,即
则,所以,故.
综上,的取值范围为.
(2)证明:(i)令,
,故在上单调递减,
所以当时,,所以,故,
当时,,所以,故,
所以为“反转函数”.
(ii)由(i)可知,当时,,即,
所以,
则对任意的.
故,
化简可得.