陕西省安康市2023-2024学年高二下学期期末质量联考数学试卷（含解析）

2023—2024学年度安康市高二年级期末质量联考
数学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名 准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.书架上有4本不同的科学类书籍，4本不同的文史类书籍，若从书架中任选1本书，则不同的选法有（ ）
A.4种 B.8种 C.12种 D.16种
2.双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
3.曲线在点处的切线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
4.已知两个变量与的对应关系如下表：
1 3 5 7 9
6 18 39 53
若与满足一元线性回归模型，且经验回归方程为，则（ ）
A.29 B.30 C.31 D.32
5.的展开式中含有项的系数为（ ）
A.10 B.-10 C.20 D.-20
6.某班举办知识竞赛，已知题库中有两种类型的试题，类试题的数量是类试题数量的两倍，且甲答对米试题的概率为，答对类试题的概率为，从题库中任选一题作答，甲答对题目的概率为（ ）
A. B. C. D.
7.3名男生和3名女生随机站成一排，恰有2名女生相邻，则不同的排法种数为（ ）
A.332 B.360 C.432 D.488
8.已知是抛物线的准线，与轴交于点是上一点，直线的斜率的最大值为（ ）
A.1 B. C. D.
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.对于函数，下列说法正确的是（ ）
A.有最小值但没有最大值
B.对于任意的，恒有
C.仅有一个零点
D.有两个极值点
10.已知数列满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A.数列可能为常数列
B.数列可能为等比数列
C.若，则
D.若，记是数列的前项积，则的最大值为
11.袋中共有5个除颜色外完全相同的球，其中有3个红球和2个白球，每次随机取1个，有放回地取球，则下列说法正确的是（ ）
A.若规定摸到3次红球即停止取球，则恰好取4次停止取球的概率为
B.若进行了10次取球，记为取到红球的次数，则
C.若规定摸到3次红球即停止取球，则在恰好取4次停止取球的条件下，第1次摸到红球的概率为
D.若进行了10次取球，恰好取到次红球的概率为，则当时，最大
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.设直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成角的正弦值为__________.
13.已知分别为椭圆的左 右焦点，为上一点，则的离心率为__________，内切圆的半径为__________.
14.设点在曲线上，点在曲线上，若的最小值为，则__________.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知数列是等差数列，且.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
16.（15分）
某电商平台为了解消费者对新产品的满意度，从中随机调查了200名消费者的售后评分，得到的数据如下表：
年龄
5 2 3 6
9 14 11 20
33 34 30 25
2 1 2 3
把年龄在内的消费者称为青年，年龄在内的消费者称为中年，认为评分小于或等于80分的消费者对产品不满意，评分大于80分的消费者对产品满意.
（1）完成如下表格，依据小概率值的独立性检验，能否据此推断消费者对新产品的满意度与年龄有关？
满意 不满意 合计
青年
中年
合计
（2）从表中评分在90分以上的消费者中任意选取3人电话回访，记为3人里面青年的人数，求的分布列及数学期望.
附：.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
17.（15分）
已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若恰有两个零点，求的取值范围.
18.（17分）
学校组织一项竞赛，在初赛中有三轮答题，三轮答题相互独立，三轮答题至少两轮合格即视为通过初赛，进入决赛.已知甲在初赛中每轮答题合格的概率均为.
（1）求甲在通过初赛的条件下，第三轮答题没有合格的概率.
（2）已知决赛共有五道题，参赛人从中抽出三道题回答，每题的分值如下：
分值 10 20 20 20 30
答对该试题可得相应的分值，答错不得分，得分不低于60分可以获得一等奖.已知参加决赛的学生乙答对题的概率为，答对题的概率均为，答对题的概率为，求乙获得一等奖的概率.
19.（17分）
若函数满足对任意成立，则称为“反转函数”.
（1）若是“反转函数”，求的取值范围.
（2）（i）证明：为“反转函数”.
（ii）设，证明：.
2023—2024学年度安康市高二年级期末质量联考
数学参考答案
1.B 共有种不同的选法.
2.A 由题可知双曲线的渐近线方程为.
3.B 由题可知，所以，又，所以切线的方程为，即.
4.A 由表格数据及回归方程易知，解得.
5.B ，故的展开式中含有项的系数为-10.
6.C 设“选出类试题”为事件，“选出类试题”为事件，“甲答对题目”为事件，则，
所以.
7.C 先选出2名女生排列有种排法，再将男生全排有种排法，最后将女生插空，则不同的排法种数为.
8.A 易知，当直线与相切时，设的方程为，与联立，可得，则，解得，故直线的斜率的最大值为1.
9.BC ，当时，单调递增，当，时，单调递减，故有最大值但没有最小值，错误.当时，，令，得，所以函数仅有一个零点，仅有一个极值点，B，C正确，D错误.
10.AB D由，可得，则.若，则，所以，故数列可能为常数列，若，则数列为等比数列，故A，B正确；若，则，所以数列是首项为4，公比为2的等比数列，故，故C错误；若，则，故当时，，当时，，故的最大值为，D正确.
11.BCD 每次取到红球的概率为，若规定摸到3次红球即停止，则恰好取4次停止取球的概率为，故A错误；，则，故B正确；记恰好取4次停止取球为事件，第1次摸到红球为事件，则，，所以，故C正确；
，当最大时，
即
所以即解得，
又，所以，当为6时，最大，故D正确.
12. ，所以直线与平面所成角的正弦值为.
13.； 将的坐标代入，可得，所以的离心率为.因为的周长为，设内切圆的半径为，所以，解得.
14.-1 因为与互为反函数，其图象关于直线对称，
所以曲线上的点到直线的最小距离为.
设与直线平行且与曲线相切的切线的切点.
，解得，所以.
得到切点，点到直线的距离，解得或3.
当时，与相交，不符合题意.
当时，与不相交，符合题意.
15.解：（1）设等差数列的公差为，解得.
，可得，解得.
所以.
（2），
所以.
16.解：（1）
满意 不满意 合计
青年 70 30 100
中年 60 40 100
合计 130 70 200
零假设为：消费者对新产品的满意度与年龄无关.
，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，故可以认为成立，
即认为消费者对新产品的满意度与年龄无关.
（2）的所有可能取值为服从超几何分布，
则.
，
，
所以的分布列为
0 1 2 3
.
17.解：（1）由题意知函数的定义域为.
当时，恒成立，在上单调递减；
当时，由，得，
由，得，
所以在上单调递减，在上单调递增.
综上，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）由题可知，
则，
又因为时，时，恰有两个零点，所以，解得，故的取值范围为（）.
18.解：（1）设事件为甲通过了初赛，事件为甲第三轮答题没有合格，
则，
，
所以甲在通过初赛的条件下，第三轮答题没有合格的概率为.
（2）若乙在中只抽到了一题，则获得一等奖的概率；
若乙在中抽到了两题，则获得一等奖的概率
若乙在中抽到了三题，则获得一等奖的概率
故乙获得一等奖的概率.
19.（1）解：当时，则，即，
则，所以，故.
当时，则，即
则，所以，故.
综上，的取值范围为.
（2）证明：（i）令，
，故在上单调递减，
所以当时，，所以，故，
当时，，所以，故，
所以为“反转函数”.
（ii）由（i）可知，当时，，即，
所以，
则对任意的.
故，
化简可得.