山东省烟台市2024年中考数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的。
1．（2024·烟台中考）下列实数中的无理数是（ ）
A． B．3.14 C． D．
2．（2024·烟台中考）下列计算结果为a6的是（ ）
A．a2 a3 B．a12÷a2 C．a3+a3 D．（a2）3
3．（2024·烟台中考）如图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取走一个，使新几何体的左视图既是轴对称图形又是中心对称图形，则应取走（ ）
A．① B．② C．③ D．④
4．（2024·烟台中考）实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．b+c＞3 B．a﹣c＜0 C．|a|＞|c| D．﹣2a＜﹣2b
5．（2024·烟台中考）目前全球最薄的手撕钢产自中国，厚度只有0.015毫米，约是A4纸厚度的六分之一．已知1毫米＝1百万纳米，0.015毫米等于多少纳米？将结果用科学记数法表示为（ ）
A．0.15×103纳米 B．1.5×104纳米
C．15×10﹣5纳米 D．1.5×10﹣6纳米
6．（2024·烟台中考）射击运动队进行射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如图，其成绩的方差分别记为S甲2和S乙2，则S甲2和S乙2的大小关系是（ ）
≈
A．S甲2＞S乙2 B．S甲2＜S乙2 C．S甲2＝S乙2 D．无法确定
7．（2024·烟台中考）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线OP为∠AOB的平分线的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2024·烟台中考）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为对角线BD，AC的三等分点，连接AE并延长交CD于点G，连接EF，FG．若∠AGF＝α，则∠FAG用含α的代数式表示为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·烟台中考）《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织讫．问织几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同，第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，30天完工，问一共织了多少布？（ ）
A．45尺 B．88尺 C．90尺 D．98尺
10．（2024·烟台中考）如图，水平放置的矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，菱形EFGH的顶点E，G在同一水平线上，点G与AB的中点重合，EF＝2cm，∠E＝60°，现将菱形EFGH以1cm/s的速度沿BC方向匀速运动，当点E运动到CD上时停止．在这个运动过程中，菱形EFGH与矩形ABCD重叠部分的面积S（cm2）与运动时间t（s）之间的函数关系图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
11．（2024·烟台中考）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ．
12．（2024·烟台中考）关于x的不等式m﹣≤1﹣x有正数解，m的值可以是 （写出一个即可）．
13．（2024·烟台中考）若一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0的两根为m，n，则3m2﹣4m+n2的值为 ．
14．（2024·烟台中考）如图，在边长为6的正六边形ABCDEF中，以点F为圆心，以FB的长为半径作，剪如图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 ．
15．（2024·烟台中考）如图，在 ABCD中，∠C＝120°，AB＝8，BC＝10，E为边CD的中点，F为边AD上的一动点，将△DEF沿EF翻折得△D'EF，连接AD'，BD'，则△ABD'面积的最小值为 ．
16．（2024·烟台中考）已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：
x ﹣4 ﹣3 ﹣1 1 5
y 0 5 9 5 ﹣27
下列结论：
①abc＞0；
②关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝9有两个相等的实数根；
③当﹣4＜x＜1时，y的取值范围为0＜y＜5；
④若点（m，y1），（﹣m﹣2，y2）均在二次函数图象上，则y1＝y2；
⑤满足ax2+（b+1）x+c＜2的x的取值范围是x＜﹣2或x＞3．
其中正确结论的序号为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，满分72分）
17．（2024·烟台中考） 利用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下：，若m是其显示结果的平方根，先化简：，再求值．
18．（2024·烟台中考） “山海同行，舰回烟台”.2024年4月23日，烟台舰与家乡人民共庆人民海军成立75周年．值此，某学校开展了“奋进万亿新征程，共筑强国强军梦”的主题研学活动．为了解学生参与情况，随机抽取部分学生对研学活动时长（用t表示，单位：h）进行调查．经过整理，将数据分成四组（A组：0≤t＜2；B组：2≤t＜4；C组：4≤t＜6；D组：6≤t＜8），并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．
（1）请补全条形统计图；
（2）扇形统计图中，a的值为 ，D组对应的扇形圆心角的度数为 ；
（3）D组中有男、女生各两人，现从这四人中随机抽取两人进行研学宣讲，请用树状图或表格求所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率．
19．（2024·烟台中考） 根据手机的素材，探索完成任务．
探究太阳能热水器的安装
素材一 太阳能热水器是利用绿色能源造福人类的一项发明．某品牌热水器主要部件太阳能板需要安装在每天都可以有太阳光照射到的地方，才能保证使用效果，否则不予安装．
素材二 某市位于北半球，太阳光线与水平线的夹角为α，冬至日时，14°≤α≤29°；夏至日时，43°≤α≤76°． sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25 sin29°≈0.48，cos29°≈0.87，tan29°≈0.55 sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°＝0.94 sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01
素材三 如图，该市甲楼位于乙楼正南方向，两楼东西两侧都无法获得太阳光照射．现准备在乙楼南面墙上安装该品牌太阳能板．已知两楼间距为54米，甲楼AB共11层，乙楼CD共15层，一层从地面起，每层楼高皆为3.3米．AE为某时刻的太阳光线．
问题解决
任务一 确定使用数据 要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，应选择 ▲ 日（填冬至或夏至）时，α为 ▲ （填14°，29°，43°，76°中的一个）进行计算．
任务二 探究安装范围 利用任务一中选择的数据进行计算，确定乙楼中哪些楼层不能安装该品牌太阳能热水器．
20．（2024·烟台中考） 每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”．康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售．根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元．设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
（2）全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？
21．（2024·烟台中考） 如图，正比例函数y＝x与反比例函数y＝的图象交于点A（，a）．将正比例函数图象向下平移n（n＞0）个单位后，与反比例函数图象在第一、三象限交于点B，C，与x轴，y轴交于点D，E，且满足BE：CE＝3：2，过点B作BF⊥x轴，垂足为点F，G为x轴上一点，直线BC与BG关于直线BF成轴对称，连接CG．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求n的值及△BCG的面积．
22．（2024·烟台中考） 在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为直线BC上任意一点，连接AD．将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°得线段ED，连接BE．
（1）【尝试发现】
如图1，当点D在线段BC上时，线段BE与CD的数量关系为 ；
（2）【类比探究】
当点D在线段BC的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段BE与CD的数量关系并证明；
（3）【联系拓广】
若AC＝BC＝1，CD＝2，请直接写出sin∠ECD的值．
23．（2024·烟台中考） 如图，AB是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，点I为△ABC的内心，连接CI并延长交⊙O于点D，E是上任意一点，连接AD，BD，BE，CE．
（1）若∠ABC＝25°，求∠CEB的度数；
（2）找出图中所有与DI相等的线段，并证明；
（3）若CI＝2，DI＝，求△ABC的周长．
24．（2024·烟台中考） 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OC＝OA，AB＝4，对称轴为直线l1：x＝﹣1．将抛物线y1绕点O旋转180°后得到新抛物线y2，抛物线y2与y轴交于点D，顶点为E，对称轴为直线l2．
（1）分别求抛物线y1和y2的表达式；
（2）如图1，点F的坐标为（﹣6，0），动点M在直线l1上，过点M作MN∥x轴与直线l2交于点N，连接FM，DN，求FM+MN+DN的最小值；
（3）如图2，点H的坐标为（0，﹣2），动点P在抛物线y2上，试探究是否存在点P，使∠PEH＝2∠DHE？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解： A、是有理数，故不符合题意；
B、 3.14是有理数，故不符合题意；
C、是无理数，故符合题意；
D、=4是有理数，故不符合题意；
故答案为：C.
【分析】无限不循环小数叫做无理数，对于开方开不尽的数、圆周率π都是无理数；据此判断即可.
2．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a2 a3=a5，故不符合题意；
B、a12÷a2=a10，故不符合题意；
C、a3+a3 =2a6，故不符合题意；
D、 （a2）3 =a6，故符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据同底数幂的乘法、除法，合并同类项及幂的乘方分别计算，再判断即可.
3．【答案】A
【知识点】轴对称图形；简单组合体的三视图；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、取走①时，左视图为田字， 既是轴对称图形又是中心对称图形 ，故符合题意；
B、取走②时，左视图为2列，小正方体的个数从左到右为3，1， 既不是轴对称图形也不是中心对称图形 ，故不符合题意；
C、取走③时，左视图为2列，小正方体的个数从左到右为3，2， 既不是轴对称图形也不是中心对称图形 ，故不符合题意；
D、取走④时，左视图为2列，小正方体的个数从左到右为3，2， 既不是轴对称图形也不是中心对称图形 ，故不符合题意；
故答案为：A.
【分析】分别求出取走各项中小方块的左视图，再判断即可.
4．【答案】B
【知识点】有理数的减法法则；不等式的性质；有理数的加法法则；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由数轴可知：-3＜a＜-2＜b＜-1＜3＜c＜4，，故C不符合题意；
∴b+c＜3 ，故A不符合题意；
a﹣c＜0 ，故B符合题意；
﹣2a＞﹣2b，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】由数轴可知：-3＜a＜-2＜b＜-1＜3＜c＜4，，从而得出b+c＜3 ，
a﹣c＜0 ，﹣2a＞﹣2b，然后判断即可.
5．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 0.015毫米= 0.015×106纳米= 1.5×104纳米.
故答案为：B.
【分析】由0.015毫米= 0.015×106纳米，再利用科学记数法表示即可.
6．【答案】A
【知识点】折线统计图；方差
【解析】【解答】解：由图表知：甲数据偏离平均数较大，乙数据偏离平均数较小，
∴甲的波动较大，即方差大，
∴S甲2＞S乙2 .
故答案为：A.
【分析】根据图表中数据的波动大小进行判断即可.
7．【答案】D
【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；尺规作图-平行线
【解析】【解答】解：第一个图形：由作图痕迹知射线OP为∠AOB的平分线；
第二个图形：由作图痕迹知OC=OD，OA=OB，
∴AC=BD，
∵∠AOD=∠BOC，
∴△AOD≌△BOC（SAS），
∴∠OAD=∠OBC，
∵AC=BD，∠BPD=∠APC，
∴△BPD≌△APC，
∴AP=BP，
∵OA=OB，PO=PO，
∴△AOP≌△BOP，
∴∠AOP=∠BOP，即OP为∠AOB的平分线；
第三个图形：由作图知∠ACP=∠BOA，OC=CP，
∴CP∥OB，∠COP=∠CPO，
∴∠CPO=∠BOP，
∴∠COP=∠BOP，即OP为∠AOB的平分线；
第四个图形：由作图知OC=OD，OP垂直平分CD，
∴∠COP=∠BOP，即OP为∠AOB的平分线；
故答案为：D.
【分析】根据角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，根据作图痕迹逐一判定即可.
8．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，设AC与BD交于点O，
在正方形ABCD中，OD=OC，∠ODC=∠OCD=45°，BD=AC，
∵ 点E，F分别为对角线BD，AC的三等分点 ，
∴DE=CF，OE=OF，DE：BE=1：2
∴
∵∠EOF=∠DOC，
∴△EOF∽△DOC，
∴∠OFE=∠ODC=45°，
∵AB∥CD，AB=CD，
∴△ABE∽△GDE，
∴，
∴DG=AB=CD=CG，
∴△DEG∽△CFG（SAS），
∴GE=GF，
∴∠GEF=∠GFE=（180°-∠AGF）=90°-α，
∴∠FAG=∠GEF-∠AFE=90°-α-45°=.
故答案为：B.
【分析】先证△EOF∽△DOC，可得∠OFE=∠ODC=45°，再证△ABE∽△GDE，可推出
DG=AB=CD=CG，最后可证△DEG∽△CFG（SAS），可得GE=GF，利用等腰三角形的性质及三角形内角和求出∠GEF的度数，利用∠FAG=∠GEF-∠AFE即可求解.
9．【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】解： 设每天减少x尺布，
∵ 第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，30天完工，
∴5-29x=1，
解得x=，
∴5+5-+5-+···+1=5×29+1-×=90（尺），
故答案为：C.
【分析】先求出每天减少的尺布数，则共织布5+5-+5-+···+1，再计算即可.
10．【答案】D
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；几何图形的面积计算-割补法；动点问题的函数图象；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：如图所示，设EG，HF交于点O，
∵菱形EFGH，∠E＝60°，
∴HG＝GF，∠HGF＝∠E＝60°，
∴△HFG是等边三角形，
∵cm，∠E＝60°，
∴∠OEF＝30°，
∴cm，
∴（cm2），
当0≤t≤3时，重合部分为△MNG，如图所示，
依题意，△MNG为等边三角形，
运动时间为t，则（cm），
∴（cm2）；
当3＜t≤6时，如图所示，
依题意，EM＝EG﹣t＝6﹣t（cm），则（cm），
∴（cm2），
∴S＝S菱形形EFGH﹣S△EKJ＝（cm2）；
∵EG＝6cm＜BC，
∴当6＜t≤8时，cm2；
当8＜t≤11时，同理可得，（cm2）；
当11＜t≤14时，同理可得，（cm2）；
综上所述，当0≤t≤3时，函数图象为开口向上的一段抛物线，当3＜t≤6时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当6＜t≤8时，函数图象为一条线段，当8＜t≤11时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当11＜t≤14时，函数图象为开口向上的一段抛物线，
故选：D．
【分析】设EG，HF交于点O，先求出菱形EFGH的面积，分5段考虑：当0≤t≤3时，重合部分为△MNG，当3＜t≤6时，重叠部分S＝S菱形形EFGH﹣S△EKJ＝，当6＜t≤8时，重叠部分为菱形EFGH；当8＜t≤11时；当11＜t≤14时，据此分别画出图形，利用割补法求出重叠部分的面积，再利用解析式逐项判断即可.
11．【答案】x＞1
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：x-1＞0，
解得x＞1.
故答案为：x＞1.
【分析】由二次根式有意义及分式有意义的条件进行解答即可.
12．【答案】0（答案不唯一）
【知识点】一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解： m﹣≤1﹣x，
解得x≤2-2m，
∵原不等式有正数解，
∴2-2m＞0，
解得m＜1，
则m值可以为0.
故答案为：0（答案不唯一）
【分析】先求出不等式的解集x≤2-2m，由原不等式有正整数解可得2-2m＞0，求出m的范围，再写出符合题意的m值即可.
13．【答案】6
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解： ∵一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0的两根为m，n，
∴2m2﹣4m﹣1＝0，m+n=2，mn=，
∴ 3m2﹣4m+n2=2m2﹣4m+m2+n2=1+（m+n）2-2mn
=1+22-2×（）=6.
故答案为：6.
【分析】由根与系数的关系可得2m2﹣4m﹣1＝0，m+n=2，mn=，将原式化为2m2﹣4m+（m+n）2-2mn，再代入计算即可.
14．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；圆锥的计算；正多边形的性质
【解析】【解答】解： 在边长为6的正六边形ABCDEF中 ，∠BAF=∠AFE=∠E=120°，AB=AF=EF=DE=6，
∴∠AFB=∠ABF=∠EFD=∠EDF=30°，
∴∠BFD=120°-30°×2=60°，
过点A作AH⊥BF于点H，
∴BH=AB·cos30°=，
∴BF=2BH=，
设这个圆锥的底面半径为r，
∴2πr=，
解得r=.
故答案为：.
【分析】先求出正六边形的内角度数，再利用等腰三角形的性质得出∠AFB=∠ABF=∠EFD=∠EDF=30°，进而求出扇形圆心角度数，过点A作AH⊥BF于点H，求出BH的长，即得BF=2BH的长，再根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长即可求解.
15．【答案】20﹣16
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：在 ABCD中，∠C＝120°，AB＝8，
∴∠ABC=60°，CD=AB=8，
∵E为边CD的中点，F为边AD上的一动点，将△DEF沿EF翻折得△D'EF，
∴D'E=DE=CE=CD=4，
∴点D'的运动轨迹，是以点E为圆心，半径为4的圆上，如图，
由AB的长为定值，要使△ABD' 面积的最小 ，只有AB边上的高最小即可，
过点E作EG⊥AB交圆E于一点D1，此时GD1值最小，且GD1=GE-ED1=GE-4，
过点C作CH⊥AB，则CH=EG，
在Rt△BCH中，∠ABC=60°，BC=10，
∴CH=sin60°·BC=5，即EG=CH=5，
∴GD1=5-4，
△ABD' 面积的最小值为AB·GD1=×8×（5-4）=20﹣16.
【分析】先确定点D'的运动轨迹，由AB的长为定值，要使△ABD' 面积的最小 ，只有AB边上的高最小即可，过点E作EG⊥AB交圆E于一点D1，此时GD1值最小，且GD1=GE-ED1=GE-4，过点C作CH⊥AB，则CH=EG，求出CH的长，即得GD1的长，再利用三角形的面积公式求解即可.
16．【答案】①②④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：把（﹣4，0），（﹣1，9），（1，5）代入y＝ax2+bx+c得：
，
解得
∴abc＞0，故①正确；
∵a＝﹣1，b＝﹣2，c＝8，
∴y＝﹣x2﹣2x+8，
当y＝9时，﹣x2﹣2x+8＝9，
∴x2+2x+1＝0，
∵Δ＝22﹣4×1×1＝0，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝9有两个相等的实数根，故②正确；
∵抛物线的对称轴为直线，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，9），
又∵a＜0，
∴当x＜﹣1时，y随x的增大而增大；当x＞﹣1时，y随x的增大而减小；当x＝﹣1时，函数取最大值9，
∵x＝﹣3与x＝1时函数值相等，等于5，
∴当﹣4＜x＜1时，y的取值范围为0＜y≤9，故③错误；
∵，
∴点（m，y1），（﹣m﹣2，y2）关于对称轴x＝﹣1对称，
∴y1＝y2，故④正确；
由ax2+（b+1）x+c＜2 得ax2+bx+c＜﹣x+2，即﹣x2﹣2x+8＜﹣x+2，画函数 y＝﹣x2﹣2x+8和y＝﹣x+2图象如下：
由，
解得，
∴A（2，0），B（﹣3，5），
由图形可得，当x＜﹣3或x＞2时，﹣x2﹣2x+8＜﹣x+2，即ax2+（b+1）x+c＜2，故⑤错误；
综上，正确的结论为①②④，
故答案为：①②④．
【分析】利用待定系数法求出抛物线解析式，即得a、b、c的值，据此判断①；根据根的判别式△进行解答，据此判断②；求出抛物线的对称轴及顶点坐标，利用抛物线的性质求出当﹣4＜x＜1时，y的取值范围 ，即可判断③；由抛物线的对称轴可知：点（m，y1），（﹣m﹣2，y2）关于对称轴x＝﹣1对称，则y1＝y2，据此判断④；由ax2+（b+1）x+c＜2 得ax2+bx+c＜﹣x+2，即﹣x2﹣2x+8＜﹣x+2，画函数 y＝﹣x2﹣2x+8和y＝﹣x+2图象，根据图象求解，即可判断⑤.
17．【答案】解：
＝
＝
＝，
根据计算器可得m＝，
∵4﹣2m≠0，9-m2≠0，
∴m≠2，
当m＝﹣2时，
原式＝．
【知识点】计算器在数的开方中的应用；分式的化简求值-其他方法
【解析】【分析】先计算括号里，再将除法转化为乘法，然后约分即可化简，再利用程序求出m值，最后将m值代入计算即可.
18．【答案】（1）解：抽取的人数有：10÷20%＝50（人），
C组的人数有：50﹣10﹣16﹣4＝20（人），
补全统计图如下：
（2）32；28.8°
（3）解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中所选的两人恰好是一名男生和一名女生的结果数为8，
所以所选的两人恰好是一名男生和一名女生的概率＝．
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（2）a%＝×100%＝32%，
即a＝32；
D组对应的扇形圆心角的度数为：360°×＝28.8°；
故答案为：32，28.8°；
【分析】（1）利用A组人数除以其百分比即得抽取总人数，再分别减去A、B、D组人数，即得C组人数，然后补图即可；
（2）由a%＝B组人数÷抽取总人数计算即得，D组对应的扇形圆心角的度数为360°×样本中D组所占比例，据此计算即可；
（3）利用树状图列举出共有12种等可能的结果数，其中所选的两人恰好是一名男生和一名女生的结果数为8，然后利用概率公式计算即可.
19．【答案】解：任务一：冬至，14°；
任务二：过E作EF⊥AB于F，则∠AFE＝90°，EF＝54米，BF＝DE，
在Rt△AFE中，，
∴AF＝EF tan14°≈54×0.25＝13.5（米），
∵AB＝11×3.3＝36.3（米），
∴DE＝BF＝AB﹣AF＝36.3﹣13.5＝22.8（米），
∴22.8÷3.3≈7（层），
答：乙楼中7层（含7层）以下不能安装该品牌太阳能热水器．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：任务一：∵ 主要部件太阳能板需要安装在每天都可以有太阳光照射到的地方，才能保证使用效果，否则不予安装． 夏天能被太阳晒到的地方更多，故要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，只需α为冬至日时的最小角度，即α＝14°，
故答案为：冬至，14°；
【分析】（1）根据题意直接求解即可；
（2）过E作EF⊥AB于F，则∠AFE＝90°，EF＝54米，BF＝DE，由求出AF，再利用DE＝BF＝AB﹣AF求出DE的长，再除以3.3即得结论.
20．【答案】（1）解：y＝（200﹣x）（60+4×）
＝﹣0.4x2+20x+12000．
＝﹣0.4（x2﹣50x+625）+12250
＝﹣0.4（x﹣25）2+12250．
∵200﹣x≥180，
∴x≤20．
∴当x＝20时，利润最大，最大利润为：﹣0.4（20﹣25）2+12250＝12240（元）．
答：y与x的函数关系式为：y＝﹣0.4x2+20x+12000；每辆轮椅降价20元时，每天的销售利润最大，最大利润为12240元；
（2）解：12160＝﹣0.4（x﹣25）2+12250
0.4（x﹣25）2＝12250﹣12160
0.4（x﹣25）2＝90
（x﹣25）2＝225．
解得：x1＝40（不合题意，舍去），x2＝10．
∴售出轮椅的辆数为：60+4×＝64（辆）．
答：售出64辆轮椅．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据总利润=单件的利润×销售量，列出函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可；
（2）由（1）解析式，令y=12160，得到关于x的一元二次方程，解之即可.
21．【答案】（1）解：∵点A（，a）在直线y＝x的图象上，
∴A（，），
∵点A（，）在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝6，
∴反比例函数解析式为y＝；
（2）解：正比例函数向下平移n个单位后得到直线BC的解析式为y＝x﹣n．
如图，作BG⊥y轴，CH⊥y轴，
∴BG∥CH，
∴△GBE∽△HCE，
∵BE：CE＝3：2，
∴，
设点B（3a，），则C（﹣2a，），
∵点BC在直线y＝x+n的图象上，
，
解得，
∴直线BC解析式为y＝x+1，
∵直线BC与BG关于直线BF成轴对称，
∴E（0，﹣1），D（1，0），B（3，2），G（5，0），C（﹣2，﹣3），
∴GD＝4，
∴S△BCG＝S△BDG+S△CDG＝＝10．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；相似三角形的判定与性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）先求出A的坐标，再利用待定系数法求解析式即可；
（2）正比例函数向下平移n个单位后得到直线BC的解析式为y＝x﹣n．作BG⊥y轴，CH⊥y轴，证明△GBE∽△HCE，可得，可设点B（3a，），则C（﹣2a，），根据一次函数图象上点的坐标特征列出关于a、n的方程组并解之，从而得出E（0，﹣1），D（1，0），B（3，2），G（5，0），C（﹣2，﹣3），可求GD＝4，根据S△BCG＝S△BDG+S△CDG即可求解.
22．【答案】（1）
（2）解：补全图形如图，，理由如下：
过点E作EM⊥BC于点M，
由旋转得AD＝DE，∠ADE＝90°，
∴∠ADC+∠EDM＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠DME，∠ADC+∠CAD＝90°，
∴∠CAD＝∠EDM，
∴△ACD≌△DME（AAS），
∴CD＝EM，AC＝DM，
∵AC＝BC，
∴DM＝BC，
∴DM﹣CM＝BC﹣CM，
∴CD＝BM，
∴EM＝BM，
∵EM⊥CB，
∴；
（3）解：
【知识点】勾股定理；坐标与图形变化﹣旋转；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；求正弦值
【解析】【解答】解：（1）如图，过点E作EM⊥CB延长线于点M，
由旋转得AD＝DE，∠ADE＝90°，
∴∠ADC+∠EDM＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠DME，∠ADC+∠CAD＝90°，
∴∠CAD＝∠EDM，
∴△ACD≌△DME（AAS），
∴CD＝EM，AC＝DM，
∵AC＝BC，
∴BM＝DM﹣BD＝AC﹣BD＝BC﹣BD＝CD，
∴BM＝EM，
∵EM⊥CB，
∴，
故答案为：；
（3）如图，过点E作EM⊥CB延长线于点M，
由（2）得DM＝AC＝1，EM＝CD＝2，
∴CM＝CD+DM＝3，
∴，
∴．
【分析】（1）过点E作EM⊥CB延长线于点M，证明△ACD≌△DME（AAS），可得CD＝EM，AC＝DM，易求△BEM为等腰直角三角形，可得；
（2）先补全图形，证明△ACD≌△DME（AAS），可得CD＝EM，AC＝DM，易求△BEM为等腰直角三角形，可得；
（3）过点E作EM⊥CB延长线于点M，由（2）得DM＝AC＝1，EM＝CD＝2，利用勾股定理求出CE的长，由即可求解.
23．【答案】（1）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠ACB＝90°，
又∵∠ABC＝25°，
∴∠CAB＝90°﹣25°＝65°，
∵四边形ABEC是⊙O内接四边形，
∴∠CEB+∠CAB＝180°，
∴∠CEB＝180°﹣∠CAB＝115°；
（2）解：DI＝AD＝BD，
连接AI，
∵点I为△ABC的内心，
∴∠CAI＝∠BAI，，
∴，
∴∠DAB＝∠DCB＝∠ACl，AD＝BD，
∵∠DAI＝∠DAB+∠BAI，∠DIA＝∠ACI+∠CAI，
∴∠DAI＝∠DIA，
∴DI＝AD＝BD；
（3）解：过I分别作IQ⊥AB，IF⊥AC，IP⊥BC，垂足分别为Q、F、P，
∵点I为△ABC的内心，即为△ABC的内切圆的圆心，
∴Q、F、P分别为该内切圆与△ABC三边的切点，
∴AQ＝AF，CF＝CP，BQ＝BP，
∵，∠IFC＝90°，∠ACI＝45°，
∴CF＝CI cos45°＝2＝CP，
∵DI＝AD＝BD，，∠ADB＝90°，
∴，
∴△ABC的周长为AB+AC+BC
＝AB+AF+CF+CP+BP
＝AB+AQ+BQ+2CF
＝2AB+2CF
＝2×13+2×2＝30．
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形的内切圆与内心；解直角三角形；切线长定理
【解析】【分析】（1）由AB是⊙O的直径可得∠ADB＝∠ACB＝90°，利用直角三角形两锐角互余求出∠CAB＝65°，根据圆内接四边形对角互补即可求解；
（2）连接AI，由三角形的内心可得∠CAI＝∠BAI，，从而得出，根据圆周角定理可得∠DAB＝∠DCB＝∠ACl，AD＝BD，结合三角形外角的性质可推出∠DAI＝∠DIA，根据等边对等角即可求解；
（3）过I分别作IQ⊥AB，IF⊥AC，IP⊥BC，垂足分别为Q、F、P，由三角形内切圆及切线长定理可推出AQ＝AF，CF＝CP，BQ＝BP，利用解直角三角形及勾股定理分别求出CF、AB的长，根据
△ABC的周长为AB+AC+BC＝AB+AF+CF+CP+BP＝AB+AQ+BQ+2CF＝2AB+2CF即可求解.
24．【答案】（1）解：设点A、B的坐标分别为：（t，0）、（t+4，0），
则x＝﹣1＝（t+t+4），
解得t＝﹣3，
即点A、B的坐标分别为：（﹣3，0）、（1，0），
∵OC＝OA，则点C（0，3），
则抛物线y1得表达式为：y1＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3），
则﹣3a＝3，则a＝﹣1，
则y1＝﹣x2﹣2x+3；
根据图形的对称性，y2＝x2+2x﹣3；
（2）解：作点D关于l2的对称点D'（2，﹣3），将点F向右平移2个单位（MN＝2），连接D'F'交直线l2于点N，过点N作NM⊥l1交于点M，连接FM，
∵F'F∥MN，FF'＝MN，则四边形FF'NM平行四边形，则FM＝F'N，
则FM+MN+DN＝F'N+ND'+MN＝F'D'+2＝为最小；
（3）解：点P的坐标为：（3，0）或（，﹣）
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用交点式求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：（3）由抛物线y2的表达式知，点D（0，﹣3）、点E（1，﹣4），
由点H、E的坐标得，直线HE的表达式为：y＝﹣2x﹣2，
当点P（P'）在BE的右侧时，
∵∠PEH＝2∠DHE，则EP'和HE关对称轴l2对称，
则直线EP'的表达式为：y＝2（x﹣1）﹣4，
联立上式和抛物线y2得表达式得：2（x﹣1）﹣4＝x2+2x﹣3，
解得：x＝1（舍去）或3，
即点P'（3，0）；
当点P在BE的左侧时，见如图右侧放大图，设直线PE交y轴于点N，
∵∠PEH＝2∠DHE，
过点E（1，﹣4）作∠PEH的角平分线EK交HD于点K，
作HE的中垂线JK，交HD于点J，交HE于点L，过点E作EW⊥HD交于点W
则∠JHL＝∠JEH＝∠EHJ＝α，
由点H、E的坐标得，直线HE的表达式为：y＝﹣2x﹣2，
则点L（，﹣3），
直线JL的表达式为：y＝（x﹣）﹣3＝x﹣，
则点J（0，﹣），则HJ＝JF＝，
∵∠JHL＝∠JEH＝∠EHJ＝α，∠EKJ＝∠HKF，
∴△EKJ∽△HKE，
则，
设KJ＝m，则KE＝4m，
则点K（0，﹣﹣m），
在Rt△KEW中，KW2+WE2＝KE2，
即（﹣﹣m+4）2+1＝4m2，
解得：m＝，
则点K（0，﹣），
由点K、E的坐标得，直线KE的表达式为：y＝﹣x﹣，
联立上式和抛物线的表达式得：x2+2x﹣3＝﹣x﹣，
解得：x＝，
则点P（，﹣）；
综上，点P的坐标为：（3，0）或（，﹣）．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）作点D关于l2的对称点D'（2，﹣3），将点F向右平移2个单位（MN＝2），连接D'F'交直线l2于点N，过点N作NM⊥l1交于点M，连接FM，可证四边形FF'NM平行四边形，则FM＝F'N，利用FM+MN+DN＝F'N+ND'+MN＝F'D'+2即可求解；
（3）分两种情况：当点P（P'）在BE的右侧时，由∠PEH＝2∠DHE，则EP'和HE关对称轴l2对称，
求出直线EP'的表达式为：y＝2（x﹣1）﹣4，即可求解；当点P在BE的左侧时，设直线PE交y轴于点N，过点E（1，﹣4）作∠PEH的角平分线EK交HD于点K，作HE的中垂线JK，交HD于点J，交HE于点L，过点E作EW⊥HD交于点W，求出直线KE的表达式为即可求解.
1 / 1山东省烟台市2024年中考数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的。
1．（2024·烟台中考）下列实数中的无理数是（ ）
A． B．3.14 C． D．
【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解： A、是有理数，故不符合题意；
B、 3.14是有理数，故不符合题意；
C、是无理数，故符合题意；
D、=4是有理数，故不符合题意；
故答案为：C.
【分析】无限不循环小数叫做无理数，对于开方开不尽的数、圆周率π都是无理数；据此判断即可.
2．（2024·烟台中考）下列计算结果为a6的是（ ）
A．a2 a3 B．a12÷a2 C．a3+a3 D．（a2）3
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a2 a3=a5，故不符合题意；
B、a12÷a2=a10，故不符合题意；
C、a3+a3 =2a6，故不符合题意；
D、 （a2）3 =a6，故符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据同底数幂的乘法、除法，合并同类项及幂的乘方分别计算，再判断即可.
3．（2024·烟台中考）如图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取走一个，使新几何体的左视图既是轴对称图形又是中心对称图形，则应取走（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】A
【知识点】轴对称图形；简单组合体的三视图；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、取走①时，左视图为田字， 既是轴对称图形又是中心对称图形 ，故符合题意；
B、取走②时，左视图为2列，小正方体的个数从左到右为3，1， 既不是轴对称图形也不是中心对称图形 ，故不符合题意；
C、取走③时，左视图为2列，小正方体的个数从左到右为3，2， 既不是轴对称图形也不是中心对称图形 ，故不符合题意；
D、取走④时，左视图为2列，小正方体的个数从左到右为3，2， 既不是轴对称图形也不是中心对称图形 ，故不符合题意；
故答案为：A.
【分析】分别求出取走各项中小方块的左视图，再判断即可.
4．（2024·烟台中考）实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．b+c＞3 B．a﹣c＜0 C．|a|＞|c| D．﹣2a＜﹣2b
【答案】B
【知识点】有理数的减法法则；不等式的性质；有理数的加法法则；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由数轴可知：-3＜a＜-2＜b＜-1＜3＜c＜4，，故C不符合题意；
∴b+c＜3 ，故A不符合题意；
a﹣c＜0 ，故B符合题意；
﹣2a＞﹣2b，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】由数轴可知：-3＜a＜-2＜b＜-1＜3＜c＜4，，从而得出b+c＜3 ，
a﹣c＜0 ，﹣2a＞﹣2b，然后判断即可.
5．（2024·烟台中考）目前全球最薄的手撕钢产自中国，厚度只有0.015毫米，约是A4纸厚度的六分之一．已知1毫米＝1百万纳米，0.015毫米等于多少纳米？将结果用科学记数法表示为（ ）
A．0.15×103纳米 B．1.5×104纳米
C．15×10﹣5纳米 D．1.5×10﹣6纳米
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 0.015毫米= 0.015×106纳米= 1.5×104纳米.
故答案为：B.
【分析】由0.015毫米= 0.015×106纳米，再利用科学记数法表示即可.
6．（2024·烟台中考）射击运动队进行射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如图，其成绩的方差分别记为S甲2和S乙2，则S甲2和S乙2的大小关系是（ ）
≈
A．S甲2＞S乙2 B．S甲2＜S乙2 C．S甲2＝S乙2 D．无法确定
【答案】A
【知识点】折线统计图；方差
【解析】【解答】解：由图表知：甲数据偏离平均数较大，乙数据偏离平均数较小，
∴甲的波动较大，即方差大，
∴S甲2＞S乙2 .
故答案为：A.
【分析】根据图表中数据的波动大小进行判断即可.
7．（2024·烟台中考）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线OP为∠AOB的平分线的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；尺规作图-平行线
【解析】【解答】解：第一个图形：由作图痕迹知射线OP为∠AOB的平分线；
第二个图形：由作图痕迹知OC=OD，OA=OB，
∴AC=BD，
∵∠AOD=∠BOC，
∴△AOD≌△BOC（SAS），
∴∠OAD=∠OBC，
∵AC=BD，∠BPD=∠APC，
∴△BPD≌△APC，
∴AP=BP，
∵OA=OB，PO=PO，
∴△AOP≌△BOP，
∴∠AOP=∠BOP，即OP为∠AOB的平分线；
第三个图形：由作图知∠ACP=∠BOA，OC=CP，
∴CP∥OB，∠COP=∠CPO，
∴∠CPO=∠BOP，
∴∠COP=∠BOP，即OP为∠AOB的平分线；
第四个图形：由作图知OC=OD，OP垂直平分CD，
∴∠COP=∠BOP，即OP为∠AOB的平分线；
故答案为：D.
【分析】根据角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，根据作图痕迹逐一判定即可.
8．（2024·烟台中考）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为对角线BD，AC的三等分点，连接AE并延长交CD于点G，连接EF，FG．若∠AGF＝α，则∠FAG用含α的代数式表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，设AC与BD交于点O，
在正方形ABCD中，OD=OC，∠ODC=∠OCD=45°，BD=AC，
∵ 点E，F分别为对角线BD，AC的三等分点 ，
∴DE=CF，OE=OF，DE：BE=1：2
∴
∵∠EOF=∠DOC，
∴△EOF∽△DOC，
∴∠OFE=∠ODC=45°，
∵AB∥CD，AB=CD，
∴△ABE∽△GDE，
∴，
∴DG=AB=CD=CG，
∴△DEG∽△CFG（SAS），
∴GE=GF，
∴∠GEF=∠GFE=（180°-∠AGF）=90°-α，
∴∠FAG=∠GEF-∠AFE=90°-α-45°=.
故答案为：B.
【分析】先证△EOF∽△DOC，可得∠OFE=∠ODC=45°，再证△ABE∽△GDE，可推出
DG=AB=CD=CG，最后可证△DEG∽△CFG（SAS），可得GE=GF，利用等腰三角形的性质及三角形内角和求出∠GEF的度数，利用∠FAG=∠GEF-∠AFE即可求解.
9．（2024·烟台中考）《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作．书中记载这样一道题：“今有女子不善织，日减功迟．初日织五尺，末日织一尺，今三十日织讫．问织几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同，第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，30天完工，问一共织了多少布？（ ）
A．45尺 B．88尺 C．90尺 D．98尺
【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】解： 设每天减少x尺布，
∵ 第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，30天完工，
∴5-29x=1，
解得x=，
∴5+5-+5-+···+1=5×29+1-×=90（尺），
故答案为：C.
【分析】先求出每天减少的尺布数，则共织布5+5-+5-+···+1，再计算即可.
10．（2024·烟台中考）如图，水平放置的矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，菱形EFGH的顶点E，G在同一水平线上，点G与AB的中点重合，EF＝2cm，∠E＝60°，现将菱形EFGH以1cm/s的速度沿BC方向匀速运动，当点E运动到CD上时停止．在这个运动过程中，菱形EFGH与矩形ABCD重叠部分的面积S（cm2）与运动时间t（s）之间的函数关系图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；几何图形的面积计算-割补法；动点问题的函数图象；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：如图所示，设EG，HF交于点O，
∵菱形EFGH，∠E＝60°，
∴HG＝GF，∠HGF＝∠E＝60°，
∴△HFG是等边三角形，
∵cm，∠E＝60°，
∴∠OEF＝30°，
∴cm，
∴（cm2），
当0≤t≤3时，重合部分为△MNG，如图所示，
依题意，△MNG为等边三角形，
运动时间为t，则（cm），
∴（cm2）；
当3＜t≤6时，如图所示，
依题意，EM＝EG﹣t＝6﹣t（cm），则（cm），
∴（cm2），
∴S＝S菱形形EFGH﹣S△EKJ＝（cm2）；
∵EG＝6cm＜BC，
∴当6＜t≤8时，cm2；
当8＜t≤11时，同理可得，（cm2）；
当11＜t≤14时，同理可得，（cm2）；
综上所述，当0≤t≤3时，函数图象为开口向上的一段抛物线，当3＜t≤6时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当6＜t≤8时，函数图象为一条线段，当8＜t≤11时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当11＜t≤14时，函数图象为开口向上的一段抛物线，
故选：D．
【分析】设EG，HF交于点O，先求出菱形EFGH的面积，分5段考虑：当0≤t≤3时，重合部分为△MNG，当3＜t≤6时，重叠部分S＝S菱形形EFGH﹣S△EKJ＝，当6＜t≤8时，重叠部分为菱形EFGH；当8＜t≤11时；当11＜t≤14时，据此分别画出图形，利用割补法求出重叠部分的面积，再利用解析式逐项判断即可.
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
11．（2024·烟台中考）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ．
【答案】x＞1
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：x-1＞0，
解得x＞1.
故答案为：x＞1.
【分析】由二次根式有意义及分式有意义的条件进行解答即可.
12．（2024·烟台中考）关于x的不等式m﹣≤1﹣x有正数解，m的值可以是 （写出一个即可）．
【答案】0（答案不唯一）
【知识点】一元一次不等式的特殊解
【解析】【解答】解： m﹣≤1﹣x，
解得x≤2-2m，
∵原不等式有正数解，
∴2-2m＞0，
解得m＜1，
则m值可以为0.
故答案为：0（答案不唯一）
【分析】先求出不等式的解集x≤2-2m，由原不等式有正整数解可得2-2m＞0，求出m的范围，再写出符合题意的m值即可.
13．（2024·烟台中考）若一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0的两根为m，n，则3m2﹣4m+n2的值为 ．
【答案】6
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解： ∵一元二次方程2x2﹣4x﹣1＝0的两根为m，n，
∴2m2﹣4m﹣1＝0，m+n=2，mn=，
∴ 3m2﹣4m+n2=2m2﹣4m+m2+n2=1+（m+n）2-2mn
=1+22-2×（）=6.
故答案为：6.
【分析】由根与系数的关系可得2m2﹣4m﹣1＝0，m+n=2，mn=，将原式化为2m2﹣4m+（m+n）2-2mn，再代入计算即可.
14．（2024·烟台中考）如图，在边长为6的正六边形ABCDEF中，以点F为圆心，以FB的长为半径作，剪如图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；圆锥的计算；正多边形的性质
【解析】【解答】解： 在边长为6的正六边形ABCDEF中 ，∠BAF=∠AFE=∠E=120°，AB=AF=EF=DE=6，
∴∠AFB=∠ABF=∠EFD=∠EDF=30°，
∴∠BFD=120°-30°×2=60°，
过点A作AH⊥BF于点H，
∴BH=AB·cos30°=，
∴BF=2BH=，
设这个圆锥的底面半径为r，
∴2πr=，
解得r=.
故答案为：.
【分析】先求出正六边形的内角度数，再利用等腰三角形的性质得出∠AFB=∠ABF=∠EFD=∠EDF=30°，进而求出扇形圆心角度数，过点A作AH⊥BF于点H，求出BH的长，即得BF=2BH的长，再根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长即可求解.
15．（2024·烟台中考）如图，在 ABCD中，∠C＝120°，AB＝8，BC＝10，E为边CD的中点，F为边AD上的一动点，将△DEF沿EF翻折得△D'EF，连接AD'，BD'，则△ABD'面积的最小值为 ．
【答案】20﹣16
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：在 ABCD中，∠C＝120°，AB＝8，
∴∠ABC=60°，CD=AB=8，
∵E为边CD的中点，F为边AD上的一动点，将△DEF沿EF翻折得△D'EF，
∴D'E=DE=CE=CD=4，
∴点D'的运动轨迹，是以点E为圆心，半径为4的圆上，如图，
由AB的长为定值，要使△ABD' 面积的最小 ，只有AB边上的高最小即可，
过点E作EG⊥AB交圆E于一点D1，此时GD1值最小，且GD1=GE-ED1=GE-4，
过点C作CH⊥AB，则CH=EG，
在Rt△BCH中，∠ABC=60°，BC=10，
∴CH=sin60°·BC=5，即EG=CH=5，
∴GD1=5-4，
△ABD' 面积的最小值为AB·GD1=×8×（5-4）=20﹣16.
【分析】先确定点D'的运动轨迹，由AB的长为定值，要使△ABD' 面积的最小 ，只有AB边上的高最小即可，过点E作EG⊥AB交圆E于一点D1，此时GD1值最小，且GD1=GE-ED1=GE-4，过点C作CH⊥AB，则CH=EG，求出CH的长，即得GD1的长，再利用三角形的面积公式求解即可.
16．（2024·烟台中考）已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：
x ﹣4 ﹣3 ﹣1 1 5
y 0 5 9 5 ﹣27
下列结论：
①abc＞0；
②关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝9有两个相等的实数根；
③当﹣4＜x＜1时，y的取值范围为0＜y＜5；
④若点（m，y1），（﹣m﹣2，y2）均在二次函数图象上，则y1＝y2；
⑤满足ax2+（b+1）x+c＜2的x的取值范围是x＜﹣2或x＞3．
其中正确结论的序号为 ．
【答案】①②④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：把（﹣4，0），（﹣1，9），（1，5）代入y＝ax2+bx+c得：
，
解得
∴abc＞0，故①正确；
∵a＝﹣1，b＝﹣2，c＝8，
∴y＝﹣x2﹣2x+8，
当y＝9时，﹣x2﹣2x+8＝9，
∴x2+2x+1＝0，
∵Δ＝22﹣4×1×1＝0，
∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝9有两个相等的实数根，故②正确；
∵抛物线的对称轴为直线，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，9），
又∵a＜0，
∴当x＜﹣1时，y随x的增大而增大；当x＞﹣1时，y随x的增大而减小；当x＝﹣1时，函数取最大值9，
∵x＝﹣3与x＝1时函数值相等，等于5，
∴当﹣4＜x＜1时，y的取值范围为0＜y≤9，故③错误；
∵，
∴点（m，y1），（﹣m﹣2，y2）关于对称轴x＝﹣1对称，
∴y1＝y2，故④正确；
由ax2+（b+1）x+c＜2 得ax2+bx+c＜﹣x+2，即﹣x2﹣2x+8＜﹣x+2，画函数 y＝﹣x2﹣2x+8和y＝﹣x+2图象如下：
由，
解得，
∴A（2，0），B（﹣3，5），
由图形可得，当x＜﹣3或x＞2时，﹣x2﹣2x+8＜﹣x+2，即ax2+（b+1）x+c＜2，故⑤错误；
综上，正确的结论为①②④，
故答案为：①②④．
【分析】利用待定系数法求出抛物线解析式，即得a、b、c的值，据此判断①；根据根的判别式△进行解答，据此判断②；求出抛物线的对称轴及顶点坐标，利用抛物线的性质求出当﹣4＜x＜1时，y的取值范围 ，即可判断③；由抛物线的对称轴可知：点（m，y1），（﹣m﹣2，y2）关于对称轴x＝﹣1对称，则y1＝y2，据此判断④；由ax2+（b+1）x+c＜2 得ax2+bx+c＜﹣x+2，即﹣x2﹣2x+8＜﹣x+2，画函数 y＝﹣x2﹣2x+8和y＝﹣x+2图象，根据图象求解，即可判断⑤.
三、解答题（本大题共8个小题，满分72分）
17．（2024·烟台中考） 利用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下：，若m是其显示结果的平方根，先化简：，再求值．
【答案】解：
＝
＝
＝，
根据计算器可得m＝，
∵4﹣2m≠0，9-m2≠0，
∴m≠2，
当m＝﹣2时，
原式＝．
【知识点】计算器在数的开方中的应用；分式的化简求值-其他方法
【解析】【分析】先计算括号里，再将除法转化为乘法，然后约分即可化简，再利用程序求出m值，最后将m值代入计算即可.
18．（2024·烟台中考） “山海同行，舰回烟台”.2024年4月23日，烟台舰与家乡人民共庆人民海军成立75周年．值此，某学校开展了“奋进万亿新征程，共筑强国强军梦”的主题研学活动．为了解学生参与情况，随机抽取部分学生对研学活动时长（用t表示，单位：h）进行调查．经过整理，将数据分成四组（A组：0≤t＜2；B组：2≤t＜4；C组：4≤t＜6；D组：6≤t＜8），并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．
（1）请补全条形统计图；
（2）扇形统计图中，a的值为 ，D组对应的扇形圆心角的度数为 ；
（3）D组中有男、女生各两人，现从这四人中随机抽取两人进行研学宣讲，请用树状图或表格求所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率．
【答案】（1）解：抽取的人数有：10÷20%＝50（人），
C组的人数有：50﹣10﹣16﹣4＝20（人），
补全统计图如下：
（2）32；28.8°
（3）解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中所选的两人恰好是一名男生和一名女生的结果数为8，
所以所选的两人恰好是一名男生和一名女生的概率＝．
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（2）a%＝×100%＝32%，
即a＝32；
D组对应的扇形圆心角的度数为：360°×＝28.8°；
故答案为：32，28.8°；
【分析】（1）利用A组人数除以其百分比即得抽取总人数，再分别减去A、B、D组人数，即得C组人数，然后补图即可；
（2）由a%＝B组人数÷抽取总人数计算即得，D组对应的扇形圆心角的度数为360°×样本中D组所占比例，据此计算即可；
（3）利用树状图列举出共有12种等可能的结果数，其中所选的两人恰好是一名男生和一名女生的结果数为8，然后利用概率公式计算即可.
19．（2024·烟台中考） 根据手机的素材，探索完成任务．
探究太阳能热水器的安装
素材一 太阳能热水器是利用绿色能源造福人类的一项发明．某品牌热水器主要部件太阳能板需要安装在每天都可以有太阳光照射到的地方，才能保证使用效果，否则不予安装．
素材二 某市位于北半球，太阳光线与水平线的夹角为α，冬至日时，14°≤α≤29°；夏至日时，43°≤α≤76°． sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25 sin29°≈0.48，cos29°≈0.87，tan29°≈0.55 sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°＝0.94 sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01
素材三 如图，该市甲楼位于乙楼正南方向，两楼东西两侧都无法获得太阳光照射．现准备在乙楼南面墙上安装该品牌太阳能板．已知两楼间距为54米，甲楼AB共11层，乙楼CD共15层，一层从地面起，每层楼高皆为3.3米．AE为某时刻的太阳光线．
问题解决
任务一 确定使用数据 要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，应选择 ▲ 日（填冬至或夏至）时，α为 ▲ （填14°，29°，43°，76°中的一个）进行计算．
任务二 探究安装范围 利用任务一中选择的数据进行计算，确定乙楼中哪些楼层不能安装该品牌太阳能热水器．
【答案】解：任务一：冬至，14°；
任务二：过E作EF⊥AB于F，则∠AFE＝90°，EF＝54米，BF＝DE，
在Rt△AFE中，，
∴AF＝EF tan14°≈54×0.25＝13.5（米），
∵AB＝11×3.3＝36.3（米），
∴DE＝BF＝AB﹣AF＝36.3﹣13.5＝22.8（米），
∴22.8÷3.3≈7（层），
答：乙楼中7层（含7层）以下不能安装该品牌太阳能热水器．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：任务一：∵ 主要部件太阳能板需要安装在每天都可以有太阳光照射到的地方，才能保证使用效果，否则不予安装． 夏天能被太阳晒到的地方更多，故要判断乙楼哪些楼层不能安装该品牌太阳能板，只需α为冬至日时的最小角度，即α＝14°，
故答案为：冬至，14°；
【分析】（1）根据题意直接求解即可；
（2）过E作EF⊥AB于F，则∠AFE＝90°，EF＝54米，BF＝DE，由求出AF，再利用DE＝BF＝AB﹣AF求出DE的长，再除以3.3即得结论.
20．（2024·烟台中考） 每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”．康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售．根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元．设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
（2）全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？
【答案】（1）解：y＝（200﹣x）（60+4×）
＝﹣0.4x2+20x+12000．
＝﹣0.4（x2﹣50x+625）+12250
＝﹣0.4（x﹣25）2+12250．
∵200﹣x≥180，
∴x≤20．
∴当x＝20时，利润最大，最大利润为：﹣0.4（20﹣25）2+12250＝12240（元）．
答：y与x的函数关系式为：y＝﹣0.4x2+20x+12000；每辆轮椅降价20元时，每天的销售利润最大，最大利润为12240元；
（2）解：12160＝﹣0.4（x﹣25）2+12250
0.4（x﹣25）2＝12250﹣12160
0.4（x﹣25）2＝90
（x﹣25）2＝225．
解得：x1＝40（不合题意，舍去），x2＝10．
∴售出轮椅的辆数为：60+4×＝64（辆）．
答：售出64辆轮椅．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据总利润=单件的利润×销售量，列出函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可；
（2）由（1）解析式，令y=12160，得到关于x的一元二次方程，解之即可.
21．（2024·烟台中考） 如图，正比例函数y＝x与反比例函数y＝的图象交于点A（，a）．将正比例函数图象向下平移n（n＞0）个单位后，与反比例函数图象在第一、三象限交于点B，C，与x轴，y轴交于点D，E，且满足BE：CE＝3：2，过点B作BF⊥x轴，垂足为点F，G为x轴上一点，直线BC与BG关于直线BF成轴对称，连接CG．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求n的值及△BCG的面积．
【答案】（1）解：∵点A（，a）在直线y＝x的图象上，
∴A（，），
∵点A（，）在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝6，
∴反比例函数解析式为y＝；
（2）解：正比例函数向下平移n个单位后得到直线BC的解析式为y＝x﹣n．
如图，作BG⊥y轴，CH⊥y轴，
∴BG∥CH，
∴△GBE∽△HCE，
∵BE：CE＝3：2，
∴，
设点B（3a，），则C（﹣2a，），
∵点BC在直线y＝x+n的图象上，
，
解得，
∴直线BC解析式为y＝x+1，
∵直线BC与BG关于直线BF成轴对称，
∴E（0，﹣1），D（1，0），B（3，2），G（5，0），C（﹣2，﹣3），
∴GD＝4，
∴S△BCG＝S△BDG+S△CDG＝＝10．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；相似三角形的判定与性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）先求出A的坐标，再利用待定系数法求解析式即可；
（2）正比例函数向下平移n个单位后得到直线BC的解析式为y＝x﹣n．作BG⊥y轴，CH⊥y轴，证明△GBE∽△HCE，可得，可设点B（3a，），则C（﹣2a，），根据一次函数图象上点的坐标特征列出关于a、n的方程组并解之，从而得出E（0，﹣1），D（1，0），B（3，2），G（5，0），C（﹣2，﹣3），可求GD＝4，根据S△BCG＝S△BDG+S△CDG即可求解.
22．（2024·烟台中考） 在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为直线BC上任意一点，连接AD．将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°得线段ED，连接BE．
（1）【尝试发现】
如图1，当点D在线段BC上时，线段BE与CD的数量关系为 ；
（2）【类比探究】
当点D在线段BC的延长线上时，先在图2中补全图形，再探究线段BE与CD的数量关系并证明；
（3）【联系拓广】
若AC＝BC＝1，CD＝2，请直接写出sin∠ECD的值．
【答案】（1）
（2）解：补全图形如图，，理由如下：
过点E作EM⊥BC于点M，
由旋转得AD＝DE，∠ADE＝90°，
∴∠ADC+∠EDM＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠DME，∠ADC+∠CAD＝90°，
∴∠CAD＝∠EDM，
∴△ACD≌△DME（AAS），
∴CD＝EM，AC＝DM，
∵AC＝BC，
∴DM＝BC，
∴DM﹣CM＝BC﹣CM，
∴CD＝BM，
∴EM＝BM，
∵EM⊥CB，
∴；
（3）解：
【知识点】勾股定理；坐标与图形变化﹣旋转；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；求正弦值
【解析】【解答】解：（1）如图，过点E作EM⊥CB延长线于点M，
由旋转得AD＝DE，∠ADE＝90°，
∴∠ADC+∠EDM＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠DME，∠ADC+∠CAD＝90°，
∴∠CAD＝∠EDM，
∴△ACD≌△DME（AAS），
∴CD＝EM，AC＝DM，
∵AC＝BC，
∴BM＝DM﹣BD＝AC﹣BD＝BC﹣BD＝CD，
∴BM＝EM，
∵EM⊥CB，
∴，
故答案为：；
（3）如图，过点E作EM⊥CB延长线于点M，
由（2）得DM＝AC＝1，EM＝CD＝2，
∴CM＝CD+DM＝3，
∴，
∴．
【分析】（1）过点E作EM⊥CB延长线于点M，证明△ACD≌△DME（AAS），可得CD＝EM，AC＝DM，易求△BEM为等腰直角三角形，可得；
（2）先补全图形，证明△ACD≌△DME（AAS），可得CD＝EM，AC＝DM，易求△BEM为等腰直角三角形，可得；
（3）过点E作EM⊥CB延长线于点M，由（2）得DM＝AC＝1，EM＝CD＝2，利用勾股定理求出CE的长，由即可求解.
23．（2024·烟台中考） 如图，AB是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，点I为△ABC的内心，连接CI并延长交⊙O于点D，E是上任意一点，连接AD，BD，BE，CE．
（1）若∠ABC＝25°，求∠CEB的度数；
（2）找出图中所有与DI相等的线段，并证明；
（3）若CI＝2，DI＝，求△ABC的周长．
【答案】（1）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠ACB＝90°，
又∵∠ABC＝25°，
∴∠CAB＝90°﹣25°＝65°，
∵四边形ABEC是⊙O内接四边形，
∴∠CEB+∠CAB＝180°，
∴∠CEB＝180°﹣∠CAB＝115°；
（2）解：DI＝AD＝BD，
连接AI，
∵点I为△ABC的内心，
∴∠CAI＝∠BAI，，
∴，
∴∠DAB＝∠DCB＝∠ACl，AD＝BD，
∵∠DAI＝∠DAB+∠BAI，∠DIA＝∠ACI+∠CAI，
∴∠DAI＝∠DIA，
∴DI＝AD＝BD；
（3）解：过I分别作IQ⊥AB，IF⊥AC，IP⊥BC，垂足分别为Q、F、P，
∵点I为△ABC的内心，即为△ABC的内切圆的圆心，
∴Q、F、P分别为该内切圆与△ABC三边的切点，
∴AQ＝AF，CF＝CP，BQ＝BP，
∵，∠IFC＝90°，∠ACI＝45°，
∴CF＝CI cos45°＝2＝CP，
∵DI＝AD＝BD，，∠ADB＝90°，
∴，
∴△ABC的周长为AB+AC+BC
＝AB+AF+CF+CP+BP
＝AB+AQ+BQ+2CF
＝2AB+2CF
＝2×13+2×2＝30．
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形的内切圆与内心；解直角三角形；切线长定理
【解析】【分析】（1）由AB是⊙O的直径可得∠ADB＝∠ACB＝90°，利用直角三角形两锐角互余求出∠CAB＝65°，根据圆内接四边形对角互补即可求解；
（2）连接AI，由三角形的内心可得∠CAI＝∠BAI，，从而得出，根据圆周角定理可得∠DAB＝∠DCB＝∠ACl，AD＝BD，结合三角形外角的性质可推出∠DAI＝∠DIA，根据等边对等角即可求解；
（3）过I分别作IQ⊥AB，IF⊥AC，IP⊥BC，垂足分别为Q、F、P，由三角形内切圆及切线长定理可推出AQ＝AF，CF＝CP，BQ＝BP，利用解直角三角形及勾股定理分别求出CF、AB的长，根据
△ABC的周长为AB+AC+BC＝AB+AF+CF+CP+BP＝AB+AQ+BQ+2CF＝2AB+2CF即可求解.
24．（2024·烟台中考） 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OC＝OA，AB＝4，对称轴为直线l1：x＝﹣1．将抛物线y1绕点O旋转180°后得到新抛物线y2，抛物线y2与y轴交于点D，顶点为E，对称轴为直线l2．
（1）分别求抛物线y1和y2的表达式；
（2）如图1，点F的坐标为（﹣6，0），动点M在直线l1上，过点M作MN∥x轴与直线l2交于点N，连接FM，DN，求FM+MN+DN的最小值；
（3）如图2，点H的坐标为（0，﹣2），动点P在抛物线y2上，试探究是否存在点P，使∠PEH＝2∠DHE？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：设点A、B的坐标分别为：（t，0）、（t+4，0），
则x＝﹣1＝（t+t+4），
解得t＝﹣3，
即点A、B的坐标分别为：（﹣3，0）、（1，0），
∵OC＝OA，则点C（0，3），
则抛物线y1得表达式为：y1＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3），
则﹣3a＝3，则a＝﹣1，
则y1＝﹣x2﹣2x+3；
根据图形的对称性，y2＝x2+2x﹣3；
（2）解：作点D关于l2的对称点D'（2，﹣3），将点F向右平移2个单位（MN＝2），连接D'F'交直线l2于点N，过点N作NM⊥l1交于点M，连接FM，
∵F'F∥MN，FF'＝MN，则四边形FF'NM平行四边形，则FM＝F'N，
则FM+MN+DN＝F'N+ND'+MN＝F'D'+2＝为最小；
（3）解：点P的坐标为：（3，0）或（，﹣）
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用交点式求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：（3）由抛物线y2的表达式知，点D（0，﹣3）、点E（1，﹣4），
由点H、E的坐标得，直线HE的表达式为：y＝﹣2x﹣2，
当点P（P'）在BE的右侧时，
∵∠PEH＝2∠DHE，则EP'和HE关对称轴l2对称，
则直线EP'的表达式为：y＝2（x﹣1）﹣4，
联立上式和抛物线y2得表达式得：2（x﹣1）﹣4＝x2+2x﹣3，
解得：x＝1（舍去）或3，
即点P'（3，0）；
当点P在BE的左侧时，见如图右侧放大图，设直线PE交y轴于点N，
∵∠PEH＝2∠DHE，
过点E（1，﹣4）作∠PEH的角平分线EK交HD于点K，
作HE的中垂线JK，交HD于点J，交HE于点L，过点E作EW⊥HD交于点W
则∠JHL＝∠JEH＝∠EHJ＝α，
由点H、E的坐标得，直线HE的表达式为：y＝﹣2x﹣2，
则点L（，﹣3），
直线JL的表达式为：y＝（x﹣）﹣3＝x﹣，
则点J（0，﹣），则HJ＝JF＝，
∵∠JHL＝∠JEH＝∠EHJ＝α，∠EKJ＝∠HKF，
∴△EKJ∽△HKE，
则，
设KJ＝m，则KE＝4m，
则点K（0，﹣﹣m），
在Rt△KEW中，KW2+WE2＝KE2，
即（﹣﹣m+4）2+1＝4m2，
解得：m＝，
则点K（0，﹣），
由点K、E的坐标得，直线KE的表达式为：y＝﹣x﹣，
联立上式和抛物线的表达式得：x2+2x﹣3＝﹣x﹣，
解得：x＝，
则点P（，﹣）；
综上，点P的坐标为：（3，0）或（，﹣）．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）作点D关于l2的对称点D'（2，﹣3），将点F向右平移2个单位（MN＝2），连接D'F'交直线l2于点N，过点N作NM⊥l1交于点M，连接FM，可证四边形FF'NM平行四边形，则FM＝F'N，利用FM+MN+DN＝F'N+ND'+MN＝F'D'+2即可求解；
（3）分两种情况：当点P（P'）在BE的右侧时，由∠PEH＝2∠DHE，则EP'和HE关对称轴l2对称，
求出直线EP'的表达式为：y＝2（x﹣1）﹣4，即可求解；当点P在BE的左侧时，设直线PE交y轴于点N，过点E（1，﹣4）作∠PEH的角平分线EK交HD于点K，作HE的中垂线JK，交HD于点J，交HE于点L，过点E作EW⊥HD交于点W，求出直线KE的表达式为即可求解.
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