四川省凉山州2024年中考数学试卷
1．（2024·凉山州）下列各数中：5，﹣，﹣3，0，﹣25.8，+2，负数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2024·凉山州）如图，由3个相同的小正方体搭成的几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·凉山州）下列运算正确的是（ ）
A．2ab+3ab＝5ab B．（ab2）3＝a3b5
C．a8÷a2＝a4 D．a2 a3＝a6
4．（2024·凉山州）一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点E在AB的延长线上，当DF∥AB时，∠EDB的度数为（ ）
A．10° B．15° C．30° D．45°
5．（2024·凉山州）点P（a，﹣3）关于原点对称的点是P'（2，b），则a+b的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣5 D．5
6．（2024·凉山州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE垂直平分AB交BC于点D，若△ACD的周长为50cm，则AC+BC＝（ ）
A．25cm B．45cm C．50cm D．55cm
7．（2024·凉山州）匀速地向如图所示的容器内注水，直到把容器注满．在注水过程中，容器内水面高度h随时间t变化的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024·凉山州）在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，每个团参加表演的8位女演员身高的折线统计图如下．则甲、乙两团女演员身高的方差s甲2、s乙2大小关系正确的是（ ）
A．s甲2＞s乙2 B．s甲2＜s乙2 C．s甲2＝s乙2 D．无法确定
9．（2024·凉山州）若关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4＝0的一个根是x＝0，则a的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．
10．（2024·凉山州）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交于点C，测出AB＝40cm，CD＝10cm，则圆形工件的半径为（ ）
A．50cm B．35cm C．25cm D．20cm
11．（2024·凉山州）如图，一块面积为60cm2的三角形硬纸板（记为△ABC）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是△A1B1C1，若OB：BB1＝2：3，则△A1B1C1的面积是（ ）
A．90cm2 B．135cm2 C．150cm2 D．375cm2
12．（2024·凉山州）抛物线y＝（x﹣1）2+c经过（﹣2，y1），（0，y2），（，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y3＞y1＞y2 D．y1＞y3＞y2
13．（2024·凉山州）已知a2﹣b2＝12，且a﹣b＝﹣2，则a+b＝ ．
14．（2024·凉山州）方程 的解是 ．
15．（2024·凉山州）如图，△ABC中，∠BCD＝30°，∠ACB＝80°，CD是边AB上的高，AE是∠CAB的平分线，则∠AEB的度数是 ．
16．（2024·凉山州）如图，四边形ABCD各边中点分别是E、F、G、H，若对角线AC＝24，BD＝18，则四边形EFGH的周长是 ．
17．（2024·凉山州）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过A（3，6）、B（0，3）两点，交x轴于点C，则△AOC的面积为 ．
18．（2024·凉山州） 计算：．
19．（2024·凉山州） 求不等式组﹣3＜4x﹣7≤9的整数解．
20．（2024·凉山州） 为保证每位同学在学校组织的课外体育活动中，都能参与自己最喜欢的球类项目，学校体育社团随机抽取部分同学进行“最喜欢的球类项目”的调查（每人只能选择一项），根据调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图：
请根据统计图回答下列问题：
（1）本次调查的总人数是 人，估计全校1500名学生中最喜欢乒乓球项目的约有 人；
（2）补全条形统计图；
（3）学校体育社团为了制订训练计划，将从最喜欢篮球项目的甲、乙、丙、丁四名同学中任选两名进行个别访谈，请用列表法或画树状图法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率．
21．（2024·凉山州） 为建设全城旅游西昌，加快旅游产业发展.2022年9月29日位于西昌主城区东部的历史风貌核心区唐园正式开园，坐落于唐园内的怀远塔乃唐园至高点，为七层密檐式八角砖混结构阁楼式塔楼，建筑面积为1845.4平方米，塔顶金碧辉煌，为“火珠垂莲”窣（sū）堵坡造型．某校为了让学生进一步了解怀远塔，组织九年级（2）班学生利用综合实践课测量怀远塔的高度．小江同学站在如图所示的怀远塔前的平地上A点处，测得塔顶C的仰角为30°，眼睛B距离地面1.8m，向塔前行67m，到达点D处，测得塔顶C的仰角为60°，求塔高CF． （参考数据：≈1.414，≈1.732，结果精确到0.01m）
22．（2024·凉山州） 如图，正比例函数y1＝x与反比例函数y2＝（x＞0）的图象交于点A（m，2）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）把直线y1＝x向上平移3个单位长度与y2＝（x＞0）的图象交于点B，连接AB、OB，求△AOB的面积．
23．（2024·凉山州） 已知y2﹣x＝0，x2﹣3y2+x﹣3＝0，则x的值为 ．
24．（2024·凉山州） 如图，⊙M的圆心为M（4，0），半径为2，P是直线y＝x+4上的一个动点，过点P作⊙M的切线，切点为Q，则PQ的最小值为 ．
25．（2024·凉山州） 阅读下面材料，并解决相关问题：
如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，…，第n行有n个点…，容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10．
（1）探索：三角点阵中前8行的点数之和为 ，前15行的点数之和为 ，那么，前n行的点数之和为 ．
（2）体验：三角点阵中前n行的点数之和 （填“能”或“不能”）为500．
（3）运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆，…，第n排2n盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？
26．（2024·凉山州） 如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，E是BC边上一个动点，连接AE，AE的垂直平分线MN交AE于点M，交BD于点N，连接EN、CN．
（1）求证：EN＝CN；
（2）求2EN+BN的最小值．
27．（2024·凉山州） 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD平分∠BAC交⊙O于点D，过点D的直线DE⊥AC，交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）连接EO并延长，分别交⊙O于M、N两点，交AD于点G，若⊙O的半径为2，∠F＝30°，求GM GN的值．
28．（2024·凉山州） 如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝x+2相交于A（﹣2，0），B（3，m）两点，与x轴相交于另一点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方抛物线上的一个动点（不与A、B重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E，当PE＝2ED时，求P点坐标；
（3）抛物线上是否存在点M使△ABM的面积等于△ABC面积的一半？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】正数、负数的概念与分类
【解析】【解答】解：负数有.
故答案为：C.
【分析】根据负数的定义判断即可.
2．【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从上面看，只有一排，有两列，故俯视图为：.
故答案为：B.
【分析】从上面可有看到几何体的排和列，于是可据此判断俯视图.
3．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、2ab+3ab＝5ab，选项A正确，符合题意；
B、（ab2）3＝a3b2×3＝a3b6，故选项B错误，不符合题意；
C、a8÷a2＝a6，故选项C错误，不符合题意；
D、a2 a3＝a5，故选项D错误，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据合并同类项法则，积的乘方和幂的乘方法则，同底数幂的乘法和除法法则计算并判断即可.
4．【答案】B
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：由直角三角板的性质可得∠ABC=45°，∠EDF=30°.
∵DF//AB，
∴∠BDF=∠ABC=45°，
∴∠BDE=∠BDF－∠DEF=15°.
故答案为：B.
【分析】根据直角三角板的特性得∠ABC=45°，∠EDF=30°.根据平行线的性质求得∠BDF的度数，∠BDF－∠DEF即可到结论.
5．【答案】A
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵ 点P（a，﹣3）关于原点对称的点是P'（2，b），
∴a=-2，b=3.
∴a+b=-2+3=1.
故答案为：A.
【分析】根据关于原点对称的点纵横坐标都互为相反数，即可得到a和b的值，再计算a+b即可.
6．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的应用
【解析】【解答】解：∵DE垂直平分AB交BC于点D，
∴AD=BD.
∵△ACD的周长为：AC+CD+AD=AC+CD+BD=50cm，
∴AC+BC=50cm.
故答案为：C.
【分析】根据线段垂直平分线的性质得AD=BD，表示出△ACD的周长，即可得AC+BC的长.
7．【答案】C
【知识点】用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：观察图形，该容器有半径各不相同的三个圆柱组成，最下面的圆柱半径最小，故水面高度上升的最快；中间的圆柱半径最大，故水面高度上升最慢；
故容器内水面高度h随时间t变化的大致图象是：
故答案为：C.
【分析】根据容器的组成可知最下面圆柱半径最小，中间圆柱半径最大，故注水过程水的高度变化速度先快后慢再快，即可判断答案.
8．【答案】B
【知识点】折线统计图；方差
【解析】【解答】解：根据折线统计图，波动越大，方差越小，乙的波动更大，
所以s甲2＜s乙2 .
【分析】根据折线统计图中数据的波动情况判断方差大小即可.
9．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根；直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ 关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4＝0的一个根是x＝0，
∴a2﹣4＝0且a+2≠0，
解a2﹣4＝0，a2=4，
∴a=±2.
解a+2≠0得：a≠-2.
故a=2.
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程的一个根为x=0，代入得关于a的二次方程，再由一元二次方程的定义得a+2≠0，求解即可.
10．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：设圆形工件的圆心为点E，连接BE，如图：
∴CE=BE=r.
∵CD垂直平分AB，AB=40cm，
∴直线CD经过圆心E.
∴AD=BD=20cm.
∵CD=10cm，
∴ED=r－10（cm）.
在Rt△BDE中，DE2+DB2=BE2，
∴(r－10)2+202=r2.
解得r=25.
故答案为：C.
【分析】证明点E在直线CD上，于是可利用垂径定理求出DB长，设半径BE=r，可表示DE，在Rt△BDE中利用勾股定理，即可求得工件半径.
11．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质-对应面积；位似图形的性质
【解析】【解答】解：由题意得：△ABC和△A1B1C1位似，且OB：BB1＝2：3，
∴.
∴.
∵△ABC的面积是60cm2，
∴.
故答案为：D.
【分析】根据题意，可得△ABC和△A1B1C1位似，且OB：BB1＝2：3，根据位似的性质求得AB：A1B1
的值，再根据相似三角形面积比的性质即可求得 △A1B1C1 的面积.
12．【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵y＝（x﹣1）2+c，
∴抛物线开口向上，对称轴是直线x＝1，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小，
∵（，y3）关于直线x＝1的对称点是（﹣，y3），
∵﹣2＜﹣＜0＜1，
∴y1＞y3＞y2，
故选：D．
【分析】判断得抛物线开口向上，对称轴是直线x＝1，故x<1时，y随x的增大而减小，再根据二次函数的对称性将三个点都转换到对称轴左侧，根据二次函数性质判断三个函数值的大小即可.
13．【答案】-6
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵a2﹣b2＝12，且a﹣b＝﹣2，a2﹣b2＝(a+b)(a-b)，
∴12=-2(a+b).
∴a+b=-6.
故答案为：-6.
【分析】利用平方差公式对a2﹣b2进行因式分解，再代入已知数据，即可得到答案.
14．【答案】x=9
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】去分母得：2x=3x﹣9，
解得：x=9，
经检验x=9是分式方程的解，
故答案为x=9．
【分析】根据解分式方程的步骤解答即可.
15．【答案】100°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；直角三角形的两锐角互余；三角形的高；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：△ABC中，∵CD是边AB上的高，
∴△CDB是直角三角形，
∵∠BCD＝30°，
∴∠B=90°－∠BCD=60°.
∴∠BAC=180°－∠B－∠ACB=180°－60°－80°=40°.
∵AE是∠CAB的平分线，
∴∠CAE=∠BAE=20°.
∵∠AEB是△ACE的外角，
∴∠AEB=∠ACB+∠CAE=80°+20°=100°.
故答案为：100°
【分析】根据三角形高线的定义得∠CDB，于是可求得∠B的度数.根据三角形的内角和定理求得∠BAC，再根据角平分线的性质可得∠CAE.最后利用三角形的外角性质求∠AEB即可.
16．【答案】42
【知识点】三角形的中位线定理；中点四边形模型
【解析】【解答】解：∵点E，F分别是AB和CB的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴.
同理可得.
∴GH=EF=12.
∵点G，F分别是DC和BC的中点，
∴GF是△BCD的中位线，
∴.
同理可得
∴GF=HE=9.
∴四边形EFGH的周长是2×12+2×9=42.
故答案为：42.
【分析】利用中位线的判定和性质求得四边形EFGH四边的长，即可得到四边形的周长.
17．【答案】9
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过A（3，6）、B（0，3）两点，
，
解得：.
∴一次函数解析式为y＝x+3，
当y＝0时，x＝﹣3，
∴C（﹣3，0），
∴．
故答案为：9．
【分析】利用待定系数法求得直线AC的表达式，令y=0，求出点C的坐标，于是可根据三角形的面积公式求出△AOC的面积.
18．【答案】解：原式＝
＝
＝2．
【知识点】求特殊角的三角函数值；无理数的混合运算
【解析】【分析】先进行分母有理化，去绝对值，计算负整数指数幂和零指数幂，代入特殊角的三角函数值，再进行加减混合运算即可.
19．【答案】解：﹣3＜4x﹣7≤9，
即，
解不等式①，得x＞1，
解不等式②，得x≤4，
所以不等式组的解集是1＜x≤4，
所以不等式组﹣3＜4x﹣7≤9的整数解是2，3，4．
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】将不等式组分成两个不等式，分别计算每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”来判断不等式组的解集，最后找出满足条件的整数解即可.
20．【答案】（1）50；120
（2）解：喜欢篮球的人数为：50×24%＝12（人），
喜欢乒乓球的人数为：50﹣18﹣12﹣10﹣4＝6（人），
补全条形统计图如下：
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果数，其中抽取两人恰好是甲乙的结果数为2，
∴甲乙两位同学同时被抽中的概率为：．
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）18÷36%=50（人）；
.
故答案为：50；120.
【分析】（1）用喜欢足球的人数÷所占百分比即可得到总人数；用1500×喜欢乒乓球人数的占比即可估算出喜欢乒乓球的学生人数；
（2）用50×喜欢篮球的人数所占百分比可得喜欢篮球的人数，用50－其他各组已知人数可得喜欢羽毛球的人数，即可补全条形统计图.
（3）用树状图表示出所以可能的情况数，再数出“恰好是甲和乙”的情况数，用概率公式计算即可.
21．【答案】解：由题意，知∠CBG＝30°，∠CEG＝60°，∠CGB＝∠CGE＝90°，GF＝ED＝BA＝1.8m，BE＝67m，
在Rt△CBG中，
，
在Rt△CEG中，
，
∵BG﹣EG＝BE，
∴，
解得CG≈58.03（m），
∴CF＝CG+GF＝58.03+1.8＝59.83（m），
答：塔高CF为59.83m．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】由题意得∠CBG＝30°，∠CEG＝60°，∠CGB＝∠CGE＝90°，GF＝ED＝BA＝1.8m，BE＝67m，在Rt△CBG中解直角三角形表示出BG；在Rt△CEG中解直角三角形表示出EG；利用BG－EG=BE，得到关于CG的方程并求解，CG+CF即为塔高.
22．【答案】（1）解：∵点A（m，2）在正比例函数图象上，
∴2＝，解得x＝4，
∴A（4，2），
∵A（4，2）在反比例函数图象上，
∴k＝8，
∴反比例函数解析式为y2＝．
（2）解：把直线y1＝x向上平移3个单位得到解析式为y＝，
方法一：
联立方程组，
解得（舍去），
∴B（2，4），
过点B作BC//y轴交OA于点C，故C（2，1）
∴
方法二：直线与y轴交点坐标为D（0，3），连接AD，
∵DB//OA，
∴．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）把点A代入正比例函数，求出m的值，再代入反比例函数，即可求得k值，问题可解决.
（2）方法一：将平移后的一次函数解析式和反比例函数联立，得关于x，y的方程，求解得点B的坐标，过点B作BC//y轴交OA于点C，可得点C坐标，利用可求出△AOB的面积；方法二：求出平移后的一次函数与y轴的交点D坐标，根据平行线间距离处处相等可得，从而可求出△AOB的面积.
23．【答案】3
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵y2﹣x＝0，
∴y2=x，x≥0.
∴x2﹣3y2+x﹣3=x2﹣3x+x﹣3=x2﹣2x﹣3=0，
故(x+1)(x-3)=0.
解得：x=-1（舍）或x=3.
故答案为：3.
【分析】由y2﹣x＝0 得y2=x，x≥0.代入x2﹣3y2+x﹣3＝0得关于x的方程，求解即可.
24．【答案】2
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；切线的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，连接MP、MQ，
∵PQ是⊙M的切线，
∴MQ⊥PQ，
∴PQ＝，
∵当PM最小时，PQ最小，当MP⊥AB时，MP最小，
∴当MP⊥AB时，PQ最小.
∵直线y＝x+4与x轴的交点A的坐标为（﹣4，0），与y轴的交点B的坐标为（0，4），M(4，0)
∴OA＝OB＝4=OM，
∴∠BAO＝45°，AM＝8，
当MP⊥AB时，，
∴PQ的最小值为：，
故答案为：2．
【分析】连接PM，QM，利用切线的性质可得PQ＝，故有PM最小时，PQ最小，当MP⊥AB时，MP最小.证明∠PAM=45°，可在MP⊥AB时解直角三角形得MP的值，代入上面式子即可求得最小的PQ值.
25．【答案】（1）36；120；
（2）不能
（3）解：由题知，
前n排盆景的总数可表示为，
令n（n+1）＝420得，
解得n1＝﹣21，n2＝20．
因为n为正整数，
所以n＝20，
即一共能摆20排．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的其他应用；用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】解：（1）由题知，
三角点阵中前1行的点数之和为：1；
三角点阵中前2行的点数之和为：1+2；
三角点阵中前3行的点数之和为：1+2+3；
三角点阵中前4行的点数之和为：1+2+3+4；
…，
所以三角点阵中前n行的点数之和为：1+2+3+…+n＝．
当n＝8时，
，
即三角点阵中前8行的点数之和为36．
当n＝15时，
，
即三角点阵中前15行的点数之和为120．
故答案为：36，120，．
（2）不能．
令，
解得n＝，
因为n为正整数，
所以三角点阵中前n行的点数之和不能为500．
故答案为：不能．
【分析】(1)观察规律可得前n行的点数和可表示为1+2+3+...+n=，代入n=8和15，即可得到答案；
（2）令并求解，然后根据n为正整数，判断结果即可.
（3）由（1）的规律得前n排盆景的总数可表示为，令总和=420并求解即可.
26．【答案】（1）证明：连接AN，如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴点A，点C关于直线BD轴对称，
∴AN＝CN，
∵AE的垂直平分线MN交AE于点M，交BD于点N，
∴AN＝EN，
∴EN＝CN；
（2）解：过点N作NG⊥BC于点G，连接AN，AG，过点A作AH⊥BC于点H，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴∠DBC＝30°，
∴BN＝2NG，
∵AE的垂直平分线MN交AE于点M，交BD于点N，
∴EN＝AN，
∴2EN+BN＝2AN+2NG＝2（AN+NG）≥2AG≥2AH，
∴2EN+BN的最小值为2AH，
∵∠ABC＝60°，AB＝2，
∴AH＝AB sin60°＝，
∴2EN+BN的最小值为2．
【知识点】两点之间线段最短；垂线段最短及其应用；线段垂直平分线的性质；菱形的性质；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【分析】（1）连接AN，根据菱形的性质得AN=CN，根据线段垂直平分线的性质得AN=EN，即可得到结论.
（2）过点N作NG⊥BC于点G，连接AN，AG，过点A作AH⊥BC于点H，证明∠NBG=30°，利用含30°角直角三角形的性质得BN=2NG，于是有2EN+BN=2(EN+NG)=2(AN+NG)，再根据“两点之间线段最短”和“垂线段最短”得2(AN+NG)≥2AH，解直角三角形计算出AH，问题即可即可.
27．【答案】（1）证明：连接OD，如图：
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE＝∠OAD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠DAE＝∠ODA，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：连接MD，AN，如图：
在Rt△ODF中，OB＝OD＝2，∠F＝30°，
∴OD＝OF，∠BOD＝60°，
∴OF＝4，
∴，
在Rt△AEF中，∠F＝30°，AF＝AO+OF=2+4＝6，
∴AE＝AF＝3，
∵OD∥AE，
∴△DGO∽△AGE，
∴，
∴DG＝AD，AG＝AD，
∵∠ANM＝∠MDG，∠MGD＝∠AGN，
∴△MGD∽△AGN，
∴，
∴．
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）证明OD//AC，根据DE⊥AC，可得OD⊥DE，根据切线的判定定理即可得到结论.
（2）连接MD，AN，利用含30°角的直角三角形的性质求得OF和DF的长，利用圆周角定理得∠DAB=30°，可得AD=DF，利用OD//AE证明△DGO∽△AGE，可表示出DG和AG，证明△MGD∽△AGN，可得，代入DG和AG，即可得到结论.
28．【答案】（1）解：把B（3，m）代入y＝x+2得：m＝3+2＝5，
∴B（3，5），
把A（﹣2，0），B（3，5）代入y＝﹣x2+bx+c得：
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+8；
（2）解：设P（t，﹣t2+2t+8），则E（t，t+2），D（t，0），
∵PE＝2DE，
∴﹣t2+2t+8﹣（t+2）＝2（t+2），
解得t＝1或t＝﹣2（此时P不在直线AB上方，舍去）；
∴P的坐标为（1，9）；
（3）M的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）．
【知识点】二次函数-动态几何问题；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【解答】解：（3）抛物线上存在点M，使△ABM的面积等于△ABC面积的一半，理由如下：
过M作MK∥y轴交直线AB于K，如图：
在y＝﹣x2+2x+8中，令y＝0得0＝﹣x2+2x+8，
解得x＝﹣2或x＝4，
∴A（﹣2，0），C（4，0），
∴AC＝6，
∵B（3，5），
∴S△ABC＝×6×5＝15，
设M（m，﹣m2+2m+8），则K（m，m+2），
∴MK＝|﹣m2+2m+8﹣（m+2）|＝|﹣m2+m+6|，
∴S△ABM＝MK |xB﹣xA|＝|﹣m2+m+6|×5＝|﹣m2+m+6|，
∵△ABM的面积等于△ABC面积的一半，
∴|﹣m2+m+6|＝×15，
∴|﹣m2+m+6|＝3，
∴﹣m2+m+6＝3或﹣m2+m+6＝﹣3，
解得m＝或m＝，
∴M的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）．
【分析】（1）把点B坐标代入y=x+2求出m的值，再利用待定系数法，即可求得抛物线的解析式；
（2）设P(t，﹣t2+2t+8)，可得E(t，t+2)，D(t，0)，利用PE＝2DE建立关于t的方程并求解，根据点P的位置排除不满足条件的t值即可.
（3）过M作MK∥y轴交直线AB于K，计算出△ABC的面积，设点M（m，﹣m2+2m+8），得MK的长，于是可表示△ABM的面积为S△ABM＝MK |xB﹣xA|. 根据△ABM的面积等于△ABC面积的一半得△ABM的面积，得到关于m的方程，求解即可.
1 / 1四川省凉山州2024年中考数学试卷
1．（2024·凉山州）下列各数中：5，﹣，﹣3，0，﹣25.8，+2，负数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】正数、负数的概念与分类
【解析】【解答】解：负数有.
故答案为：C.
【分析】根据负数的定义判断即可.
2．（2024·凉山州）如图，由3个相同的小正方体搭成的几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从上面看，只有一排，有两列，故俯视图为：.
故答案为：B.
【分析】从上面可有看到几何体的排和列，于是可据此判断俯视图.
3．（2024·凉山州）下列运算正确的是（ ）
A．2ab+3ab＝5ab B．（ab2）3＝a3b5
C．a8÷a2＝a4 D．a2 a3＝a6
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、2ab+3ab＝5ab，选项A正确，符合题意；
B、（ab2）3＝a3b2×3＝a3b6，故选项B错误，不符合题意；
C、a8÷a2＝a6，故选项C错误，不符合题意；
D、a2 a3＝a5，故选项D错误，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据合并同类项法则，积的乘方和幂的乘方法则，同底数幂的乘法和除法法则计算并判断即可.
4．（2024·凉山州）一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点E在AB的延长线上，当DF∥AB时，∠EDB的度数为（ ）
A．10° B．15° C．30° D．45°
【答案】B
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：由直角三角板的性质可得∠ABC=45°，∠EDF=30°.
∵DF//AB，
∴∠BDF=∠ABC=45°，
∴∠BDE=∠BDF－∠DEF=15°.
故答案为：B.
【分析】根据直角三角板的特性得∠ABC=45°，∠EDF=30°.根据平行线的性质求得∠BDF的度数，∠BDF－∠DEF即可到结论.
5．（2024·凉山州）点P（a，﹣3）关于原点对称的点是P'（2，b），则a+b的值是（ ）
A．1 B．﹣1 C．﹣5 D．5
【答案】A
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵ 点P（a，﹣3）关于原点对称的点是P'（2，b），
∴a=-2，b=3.
∴a+b=-2+3=1.
故答案为：A.
【分析】根据关于原点对称的点纵横坐标都互为相反数，即可得到a和b的值，再计算a+b即可.
6．（2024·凉山州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE垂直平分AB交BC于点D，若△ACD的周长为50cm，则AC+BC＝（ ）
A．25cm B．45cm C．50cm D．55cm
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的应用
【解析】【解答】解：∵DE垂直平分AB交BC于点D，
∴AD=BD.
∵△ACD的周长为：AC+CD+AD=AC+CD+BD=50cm，
∴AC+BC=50cm.
故答案为：C.
【分析】根据线段垂直平分线的性质得AD=BD，表示出△ACD的周长，即可得AC+BC的长.
7．（2024·凉山州）匀速地向如图所示的容器内注水，直到把容器注满．在注水过程中，容器内水面高度h随时间t变化的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：观察图形，该容器有半径各不相同的三个圆柱组成，最下面的圆柱半径最小，故水面高度上升的最快；中间的圆柱半径最大，故水面高度上升最慢；
故容器内水面高度h随时间t变化的大致图象是：
故答案为：C.
【分析】根据容器的组成可知最下面圆柱半径最小，中间圆柱半径最大，故注水过程水的高度变化速度先快后慢再快，即可判断答案.
8．（2024·凉山州）在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，每个团参加表演的8位女演员身高的折线统计图如下．则甲、乙两团女演员身高的方差s甲2、s乙2大小关系正确的是（ ）
A．s甲2＞s乙2 B．s甲2＜s乙2 C．s甲2＝s乙2 D．无法确定
【答案】B
【知识点】折线统计图；方差
【解析】【解答】解：根据折线统计图，波动越大，方差越小，乙的波动更大，
所以s甲2＜s乙2 .
【分析】根据折线统计图中数据的波动情况判断方差大小即可.
9．（2024·凉山州）若关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4＝0的一个根是x＝0，则a的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根；直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ 关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4＝0的一个根是x＝0，
∴a2﹣4＝0且a+2≠0，
解a2﹣4＝0，a2=4，
∴a=±2.
解a+2≠0得：a≠-2.
故a=2.
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程的一个根为x=0，代入得关于a的二次方程，再由一元二次方程的定义得a+2≠0，求解即可.
10．（2024·凉山州）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交于点C，测出AB＝40cm，CD＝10cm，则圆形工件的半径为（ ）
A．50cm B．35cm C．25cm D．20cm
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：设圆形工件的圆心为点E，连接BE，如图：
∴CE=BE=r.
∵CD垂直平分AB，AB=40cm，
∴直线CD经过圆心E.
∴AD=BD=20cm.
∵CD=10cm，
∴ED=r－10（cm）.
在Rt△BDE中，DE2+DB2=BE2，
∴(r－10)2+202=r2.
解得r=25.
故答案为：C.
【分析】证明点E在直线CD上，于是可利用垂径定理求出DB长，设半径BE=r，可表示DE，在Rt△BDE中利用勾股定理，即可求得工件半径.
11．（2024·凉山州）如图，一块面积为60cm2的三角形硬纸板（记为△ABC）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是△A1B1C1，若OB：BB1＝2：3，则△A1B1C1的面积是（ ）
A．90cm2 B．135cm2 C．150cm2 D．375cm2
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质-对应面积；位似图形的性质
【解析】【解答】解：由题意得：△ABC和△A1B1C1位似，且OB：BB1＝2：3，
∴.
∴.
∵△ABC的面积是60cm2，
∴.
故答案为：D.
【分析】根据题意，可得△ABC和△A1B1C1位似，且OB：BB1＝2：3，根据位似的性质求得AB：A1B1
的值，再根据相似三角形面积比的性质即可求得 △A1B1C1 的面积.
12．（2024·凉山州）抛物线y＝（x﹣1）2+c经过（﹣2，y1），（0，y2），（，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y3＞y1＞y2 D．y1＞y3＞y2
【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵y＝（x﹣1）2+c，
∴抛物线开口向上，对称轴是直线x＝1，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小，
∵（，y3）关于直线x＝1的对称点是（﹣，y3），
∵﹣2＜﹣＜0＜1，
∴y1＞y3＞y2，
故选：D．
【分析】判断得抛物线开口向上，对称轴是直线x＝1，故x<1时，y随x的增大而减小，再根据二次函数的对称性将三个点都转换到对称轴左侧，根据二次函数性质判断三个函数值的大小即可.
13．（2024·凉山州）已知a2﹣b2＝12，且a﹣b＝﹣2，则a+b＝ ．
【答案】-6
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵a2﹣b2＝12，且a﹣b＝﹣2，a2﹣b2＝(a+b)(a-b)，
∴12=-2(a+b).
∴a+b=-6.
故答案为：-6.
【分析】利用平方差公式对a2﹣b2进行因式分解，再代入已知数据，即可得到答案.
14．（2024·凉山州）方程 的解是 ．
【答案】x=9
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】去分母得：2x=3x﹣9，
解得：x=9，
经检验x=9是分式方程的解，
故答案为x=9．
【分析】根据解分式方程的步骤解答即可.
15．（2024·凉山州）如图，△ABC中，∠BCD＝30°，∠ACB＝80°，CD是边AB上的高，AE是∠CAB的平分线，则∠AEB的度数是 ．
【答案】100°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；直角三角形的两锐角互余；三角形的高；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：△ABC中，∵CD是边AB上的高，
∴△CDB是直角三角形，
∵∠BCD＝30°，
∴∠B=90°－∠BCD=60°.
∴∠BAC=180°－∠B－∠ACB=180°－60°－80°=40°.
∵AE是∠CAB的平分线，
∴∠CAE=∠BAE=20°.
∵∠AEB是△ACE的外角，
∴∠AEB=∠ACB+∠CAE=80°+20°=100°.
故答案为：100°
【分析】根据三角形高线的定义得∠CDB，于是可求得∠B的度数.根据三角形的内角和定理求得∠BAC，再根据角平分线的性质可得∠CAE.最后利用三角形的外角性质求∠AEB即可.
16．（2024·凉山州）如图，四边形ABCD各边中点分别是E、F、G、H，若对角线AC＝24，BD＝18，则四边形EFGH的周长是 ．
【答案】42
【知识点】三角形的中位线定理；中点四边形模型
【解析】【解答】解：∵点E，F分别是AB和CB的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴.
同理可得.
∴GH=EF=12.
∵点G，F分别是DC和BC的中点，
∴GF是△BCD的中位线，
∴.
同理可得
∴GF=HE=9.
∴四边形EFGH的周长是2×12+2×9=42.
故答案为：42.
【分析】利用中位线的判定和性质求得四边形EFGH四边的长，即可得到四边形的周长.
17．（2024·凉山州）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过A（3，6）、B（0，3）两点，交x轴于点C，则△AOC的面积为 ．
【答案】9
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过A（3，6）、B（0，3）两点，
，
解得：.
∴一次函数解析式为y＝x+3，
当y＝0时，x＝﹣3，
∴C（﹣3，0），
∴．
故答案为：9．
【分析】利用待定系数法求得直线AC的表达式，令y=0，求出点C的坐标，于是可根据三角形的面积公式求出△AOC的面积.
18．（2024·凉山州） 计算：．
【答案】解：原式＝
＝
＝2．
【知识点】求特殊角的三角函数值；无理数的混合运算
【解析】【分析】先进行分母有理化，去绝对值，计算负整数指数幂和零指数幂，代入特殊角的三角函数值，再进行加减混合运算即可.
19．（2024·凉山州） 求不等式组﹣3＜4x﹣7≤9的整数解．
【答案】解：﹣3＜4x﹣7≤9，
即，
解不等式①，得x＞1，
解不等式②，得x≤4，
所以不等式组的解集是1＜x≤4，
所以不等式组﹣3＜4x﹣7≤9的整数解是2，3，4．
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】将不等式组分成两个不等式，分别计算每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”来判断不等式组的解集，最后找出满足条件的整数解即可.
20．（2024·凉山州） 为保证每位同学在学校组织的课外体育活动中，都能参与自己最喜欢的球类项目，学校体育社团随机抽取部分同学进行“最喜欢的球类项目”的调查（每人只能选择一项），根据调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图：
请根据统计图回答下列问题：
（1）本次调查的总人数是 人，估计全校1500名学生中最喜欢乒乓球项目的约有 人；
（2）补全条形统计图；
（3）学校体育社团为了制订训练计划，将从最喜欢篮球项目的甲、乙、丙、丁四名同学中任选两名进行个别访谈，请用列表法或画树状图法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率．
【答案】（1）50；120
（2）解：喜欢篮球的人数为：50×24%＝12（人），
喜欢乒乓球的人数为：50﹣18﹣12﹣10﹣4＝6（人），
补全条形统计图如下：
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果数，其中抽取两人恰好是甲乙的结果数为2，
∴甲乙两位同学同时被抽中的概率为：．
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）18÷36%=50（人）；
.
故答案为：50；120.
【分析】（1）用喜欢足球的人数÷所占百分比即可得到总人数；用1500×喜欢乒乓球人数的占比即可估算出喜欢乒乓球的学生人数；
（2）用50×喜欢篮球的人数所占百分比可得喜欢篮球的人数，用50－其他各组已知人数可得喜欢羽毛球的人数，即可补全条形统计图.
（3）用树状图表示出所以可能的情况数，再数出“恰好是甲和乙”的情况数，用概率公式计算即可.
21．（2024·凉山州） 为建设全城旅游西昌，加快旅游产业发展.2022年9月29日位于西昌主城区东部的历史风貌核心区唐园正式开园，坐落于唐园内的怀远塔乃唐园至高点，为七层密檐式八角砖混结构阁楼式塔楼，建筑面积为1845.4平方米，塔顶金碧辉煌，为“火珠垂莲”窣（sū）堵坡造型．某校为了让学生进一步了解怀远塔，组织九年级（2）班学生利用综合实践课测量怀远塔的高度．小江同学站在如图所示的怀远塔前的平地上A点处，测得塔顶C的仰角为30°，眼睛B距离地面1.8m，向塔前行67m，到达点D处，测得塔顶C的仰角为60°，求塔高CF． （参考数据：≈1.414，≈1.732，结果精确到0.01m）
【答案】解：由题意，知∠CBG＝30°，∠CEG＝60°，∠CGB＝∠CGE＝90°，GF＝ED＝BA＝1.8m，BE＝67m，
在Rt△CBG中，
，
在Rt△CEG中，
，
∵BG﹣EG＝BE，
∴，
解得CG≈58.03（m），
∴CF＝CG+GF＝58.03+1.8＝59.83（m），
答：塔高CF为59.83m．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】由题意得∠CBG＝30°，∠CEG＝60°，∠CGB＝∠CGE＝90°，GF＝ED＝BA＝1.8m，BE＝67m，在Rt△CBG中解直角三角形表示出BG；在Rt△CEG中解直角三角形表示出EG；利用BG－EG=BE，得到关于CG的方程并求解，CG+CF即为塔高.
22．（2024·凉山州） 如图，正比例函数y1＝x与反比例函数y2＝（x＞0）的图象交于点A（m，2）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）把直线y1＝x向上平移3个单位长度与y2＝（x＞0）的图象交于点B，连接AB、OB，求△AOB的面积．
【答案】（1）解：∵点A（m，2）在正比例函数图象上，
∴2＝，解得x＝4，
∴A（4，2），
∵A（4，2）在反比例函数图象上，
∴k＝8，
∴反比例函数解析式为y2＝．
（2）解：把直线y1＝x向上平移3个单位得到解析式为y＝，
方法一：
联立方程组，
解得（舍去），
∴B（2，4），
过点B作BC//y轴交OA于点C，故C（2，1）
∴
方法二：直线与y轴交点坐标为D（0，3），连接AD，
∵DB//OA，
∴．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）把点A代入正比例函数，求出m的值，再代入反比例函数，即可求得k值，问题可解决.
（2）方法一：将平移后的一次函数解析式和反比例函数联立，得关于x，y的方程，求解得点B的坐标，过点B作BC//y轴交OA于点C，可得点C坐标，利用可求出△AOB的面积；方法二：求出平移后的一次函数与y轴的交点D坐标，根据平行线间距离处处相等可得，从而可求出△AOB的面积.
23．（2024·凉山州） 已知y2﹣x＝0，x2﹣3y2+x﹣3＝0，则x的值为 ．
【答案】3
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵y2﹣x＝0，
∴y2=x，x≥0.
∴x2﹣3y2+x﹣3=x2﹣3x+x﹣3=x2﹣2x﹣3=0，
故(x+1)(x-3)=0.
解得：x=-1（舍）或x=3.
故答案为：3.
【分析】由y2﹣x＝0 得y2=x，x≥0.代入x2﹣3y2+x﹣3＝0得关于x的方程，求解即可.
24．（2024·凉山州） 如图，⊙M的圆心为M（4，0），半径为2，P是直线y＝x+4上的一个动点，过点P作⊙M的切线，切点为Q，则PQ的最小值为 ．
【答案】2
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；切线的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，连接MP、MQ，
∵PQ是⊙M的切线，
∴MQ⊥PQ，
∴PQ＝，
∵当PM最小时，PQ最小，当MP⊥AB时，MP最小，
∴当MP⊥AB时，PQ最小.
∵直线y＝x+4与x轴的交点A的坐标为（﹣4，0），与y轴的交点B的坐标为（0，4），M(4，0)
∴OA＝OB＝4=OM，
∴∠BAO＝45°，AM＝8，
当MP⊥AB时，，
∴PQ的最小值为：，
故答案为：2．
【分析】连接PM，QM，利用切线的性质可得PQ＝，故有PM最小时，PQ最小，当MP⊥AB时，MP最小.证明∠PAM=45°，可在MP⊥AB时解直角三角形得MP的值，代入上面式子即可求得最小的PQ值.
25．（2024·凉山州） 阅读下面材料，并解决相关问题：
如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，…，第n行有n个点…，容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10．
（1）探索：三角点阵中前8行的点数之和为 ，前15行的点数之和为 ，那么，前n行的点数之和为 ．
（2）体验：三角点阵中前n行的点数之和 （填“能”或“不能”）为500．
（3）运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆，…，第n排2n盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？
【答案】（1）36；120；
（2）不能
（3）解：由题知，
前n排盆景的总数可表示为，
令n（n+1）＝420得，
解得n1＝﹣21，n2＝20．
因为n为正整数，
所以n＝20，
即一共能摆20排．
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的其他应用；用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】解：（1）由题知，
三角点阵中前1行的点数之和为：1；
三角点阵中前2行的点数之和为：1+2；
三角点阵中前3行的点数之和为：1+2+3；
三角点阵中前4行的点数之和为：1+2+3+4；
…，
所以三角点阵中前n行的点数之和为：1+2+3+…+n＝．
当n＝8时，
，
即三角点阵中前8行的点数之和为36．
当n＝15时，
，
即三角点阵中前15行的点数之和为120．
故答案为：36，120，．
（2）不能．
令，
解得n＝，
因为n为正整数，
所以三角点阵中前n行的点数之和不能为500．
故答案为：不能．
【分析】(1)观察规律可得前n行的点数和可表示为1+2+3+...+n=，代入n=8和15，即可得到答案；
（2）令并求解，然后根据n为正整数，判断结果即可.
（3）由（1）的规律得前n排盆景的总数可表示为，令总和=420并求解即可.
26．（2024·凉山州） 如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，E是BC边上一个动点，连接AE，AE的垂直平分线MN交AE于点M，交BD于点N，连接EN、CN．
（1）求证：EN＝CN；
（2）求2EN+BN的最小值．
【答案】（1）证明：连接AN，如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴点A，点C关于直线BD轴对称，
∴AN＝CN，
∵AE的垂直平分线MN交AE于点M，交BD于点N，
∴AN＝EN，
∴EN＝CN；
（2）解：过点N作NG⊥BC于点G，连接AN，AG，过点A作AH⊥BC于点H，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴∠DBC＝30°，
∴BN＝2NG，
∵AE的垂直平分线MN交AE于点M，交BD于点N，
∴EN＝AN，
∴2EN+BN＝2AN+2NG＝2（AN+NG）≥2AG≥2AH，
∴2EN+BN的最小值为2AH，
∵∠ABC＝60°，AB＝2，
∴AH＝AB sin60°＝，
∴2EN+BN的最小值为2．
【知识点】两点之间线段最短；垂线段最短及其应用；线段垂直平分线的性质；菱形的性质；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【分析】（1）连接AN，根据菱形的性质得AN=CN，根据线段垂直平分线的性质得AN=EN，即可得到结论.
（2）过点N作NG⊥BC于点G，连接AN，AG，过点A作AH⊥BC于点H，证明∠NBG=30°，利用含30°角直角三角形的性质得BN=2NG，于是有2EN+BN=2(EN+NG)=2(AN+NG)，再根据“两点之间线段最短”和“垂线段最短”得2(AN+NG)≥2AH，解直角三角形计算出AH，问题即可即可.
27．（2024·凉山州） 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD平分∠BAC交⊙O于点D，过点D的直线DE⊥AC，交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）连接EO并延长，分别交⊙O于M、N两点，交AD于点G，若⊙O的半径为2，∠F＝30°，求GM GN的值．
【答案】（1）证明：连接OD，如图：
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE＝∠OAD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠DAE＝∠ODA，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：连接MD，AN，如图：
在Rt△ODF中，OB＝OD＝2，∠F＝30°，
∴OD＝OF，∠BOD＝60°，
∴OF＝4，
∴，
在Rt△AEF中，∠F＝30°，AF＝AO+OF=2+4＝6，
∴AE＝AF＝3，
∵OD∥AE，
∴△DGO∽△AGE，
∴，
∴DG＝AD，AG＝AD，
∵∠ANM＝∠MDG，∠MGD＝∠AGN，
∴△MGD∽△AGN，
∴，
∴．
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）证明OD//AC，根据DE⊥AC，可得OD⊥DE，根据切线的判定定理即可得到结论.
（2）连接MD，AN，利用含30°角的直角三角形的性质求得OF和DF的长，利用圆周角定理得∠DAB=30°，可得AD=DF，利用OD//AE证明△DGO∽△AGE，可表示出DG和AG，证明△MGD∽△AGN，可得，代入DG和AG，即可得到结论.
28．（2024·凉山州） 如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝x+2相交于A（﹣2，0），B（3，m）两点，与x轴相交于另一点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方抛物线上的一个动点（不与A、B重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E，当PE＝2ED时，求P点坐标；
（3）抛物线上是否存在点M使△ABM的面积等于△ABC面积的一半？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：把B（3，m）代入y＝x+2得：m＝3+2＝5，
∴B（3，5），
把A（﹣2，0），B（3，5）代入y＝﹣x2+bx+c得：
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+8；
（2）解：设P（t，﹣t2+2t+8），则E（t，t+2），D（t，0），
∵PE＝2DE，
∴﹣t2+2t+8﹣（t+2）＝2（t+2），
解得t＝1或t＝﹣2（此时P不在直线AB上方，舍去）；
∴P的坐标为（1，9）；
（3）M的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）．
【知识点】二次函数-动态几何问题；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【解答】解：（3）抛物线上存在点M，使△ABM的面积等于△ABC面积的一半，理由如下：
过M作MK∥y轴交直线AB于K，如图：
在y＝﹣x2+2x+8中，令y＝0得0＝﹣x2+2x+8，
解得x＝﹣2或x＝4，
∴A（﹣2，0），C（4，0），
∴AC＝6，
∵B（3，5），
∴S△ABC＝×6×5＝15，
设M（m，﹣m2+2m+8），则K（m，m+2），
∴MK＝|﹣m2+2m+8﹣（m+2）|＝|﹣m2+m+6|，
∴S△ABM＝MK |xB﹣xA|＝|﹣m2+m+6|×5＝|﹣m2+m+6|，
∵△ABM的面积等于△ABC面积的一半，
∴|﹣m2+m+6|＝×15，
∴|﹣m2+m+6|＝3，
∴﹣m2+m+6＝3或﹣m2+m+6＝﹣3，
解得m＝或m＝，
∴M的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）．
【分析】（1）把点B坐标代入y=x+2求出m的值，再利用待定系数法，即可求得抛物线的解析式；
（2）设P(t，﹣t2+2t+8)，可得E(t，t+2)，D(t，0)，利用PE＝2DE建立关于t的方程并求解，根据点P的位置排除不满足条件的t值即可.
（3）过M作MK∥y轴交直线AB于K，计算出△ABC的面积，设点M（m，﹣m2+2m+8），得MK的长，于是可表示△ABM的面积为S△ABM＝MK |xB﹣xA|. 根据△ABM的面积等于△ABC面积的一半得△ABM的面积，得到关于m的方程，求解即可.
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