江西省2024年中考数学试卷
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置．错选、多选或未选均不得分．
1．（2022·湖州）实数-5的相反数是（ ）
A．5 B．-5 C． D．
2．（2024·江西）“长征是宣言书，长征是宣传队，长征是播种机”，二万五千里长征是中国历史上的伟大壮举，也是人类史上的奇迹，将25000用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·江西）如图所示的几何体，其主视图为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·江西）将常温中的温度计插入一杯的热水（恒温）中，温度计的读数与时间的关系用图象可近似表示为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·江西）如图是某地去年一至六月每月空气质量为优的天数的折线统计图，关于各月空气质量为优的天数，下列结论错误的是（ ）
A．五月份空气质量为优的天数是16天
B．这组数据的众数是15天
C．这组数据的中位数是15天
D．这组数据的平均数是15天
6．（2024·江西）如图是的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图的方法有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（2019七下·昭平期中）计算 ＝ .
8．（2018九上·青浦期末）因式分解： ．
9．（2024·江西）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标为 ．
10．（2024·江西）观察a，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第100个式子为 ．
11．（2024·江西）将图所示的七巧板，拼成图所示的四边形，连接，则 ．
12．（2024·江西）如图，是的直径，，点C在线段上运动，过点C的弦，将沿翻折交直线于点F，当的长为正整数时，线段的长为 ．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（2024·江西）（1）计算：；
（2）化简：．
14．（2024·江西）如图，为菱形的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）
（1）如图，过点作的垂线；
（2）如图，点为线段的中点，过点作的平行线．
15．（2024·江西）某校一年级开设人数相同的A，B，C三个班级，甲、乙两位学生是该校一年级新生，开学初学校对所有一年级新生进行电脑随机分班．
（1）“学生甲分到A班”的概率是 ；
（2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位新生分到同一个班的概率．
16．（2024·江西）如图，是等腰直角三角形，，双曲线经过点B，过点作x轴的垂线交双曲线于点C，连接．
（1）点B的坐标为 ；
（2）求所在直线的解析式．
17．（2024·江西）如图，是半圆O的直径，点D是弦延长线上一点，连接，．
（1）求证：是半圆O的切线；
（2）当时，求的长．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（2024·江西）如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚，每本语文书厚．
（1）数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各多少本；
（2）如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本？
19．（2024·江西）图1是世界第一“大碗”——景德镇昌南里文化艺术中心主体建筑，其造型灵感来自于宋代湖田窑影青斗笠碗，寓意“万瓷之母”，如图2，“大碗”的主视图由“大碗”主体和矩形碗底组成，已知，，是太阳光线，，，点M，E，F，N在同一条直线上，经测量，，，．（结果精确到）
（1）求“大碗”的口径的长；
（2）求“大碗”的高度的长．（参考数据：，，）
20．（2024·江西）追本溯源：
题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）．
（1）如图1，在中，平分，交于点D，过点D作的平行线，交于点E，请判断的形状，并说明理由．
方法应用：
（2）如图2，在中，平分，交边于点E，过点A作交的延长线于点F，交于点G．
①图中一定是等腰三角形的有（ ）A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
②已知，，求的长．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（2024·江西）近年来，我国肥胖人群的规模快速增长，目前，国际上常用身体质量指数（BodyMassIndex，缩写）来衡量人体胖瘦程度，其计算公式是．中国人的数值标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．某数学兴趣小组对本校七年级学生的胖瘦程度进行统计调查，从该校所有七年级学生中随机抽出10名男生、10名女生，测得他们的身高和体重值，并计算出相应的数值，再参照数值标准分成四组：A．；B．；C．；D．．将所得数据进行收集、整理、描述．
收集数据
七年级10名男生数据统计表
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
身高（） 1.56 1.50 1.66 1.58 1.50 1.70 1.51 1.42 1.59 1.72
体重（） 52.5 49.5 45.6 40.3 55.2 56.1 48.5 42.8 67.2 90.5
21.6 s 16.5 16.1 245 19.4 21.3 21.2 26.6 30.6
七年级10名女生数据统计表
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
身高（） 1.46 1.62 1.55 1.65 1.58 1.67 1.55 1.46 1.53 1.62
体重（） 46.4 49.0 61.5 56.5 52.9 75.5 50.3 47.6 52.4 46.8
21.8 18.7 25.6 20.8 21.2 27.1 20.9 22.3 22.4 17.8
整理、描述数据
七年级20名学生频数分布表
组别 男生频数 女生频数
A 3 2
B 4 6
C t 2
D 1 0
应用数据
（1） ， ；
（2）已知该校七年级有男生260人，女生240人．
①估计该校七年级男生偏胖的人数；
②估计该校七年级学生的人数
（3）根据以上统计数据，针对该校七年级学生的胖瘦程度，请你提出一条合理化建议．
22．（2024·江西）如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如下表：
x 0 1 2 m 4 5 6 7 …
y 0 6 8 n …
（1）① ▲ ， ▲ ；
②小球的落点是A，求点A的坐标．
（2）小球飞行高度y（米）与飞行时间t（秒）满足关系．
①小球飞行的最大高度为 ▲ 米；
②求v的值．
六、解答题（本大题共12分）
23．（2024·江西）综合与实践
如图，在中，点D是斜边上的动点（点D与点A不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，．
（1）特例感知
如图1，当时，与之间的位置关系是 ，数量关系是 ；
（2）类比迁移
如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想．
（3）拓展应用
在（1）的条件下，点F与点C关于对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为y．
①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值；
②当时，请直接写出的长度．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】实数的相反数
【解析】【解答】解：-5的相反数是5.
故答案为：A.
【分析】根据互为相反数的两数之和为零，即-5+5=0，即可得出答案.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 25000 =2.5×104.
故答案为：C.
【分析】大于10的数用科学记数法表示为a×10n，1≤a<10，n为原数字从左往右数第一个数后面整数的位数.
3．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看，该几何体的主视图为上小，下大的两个长方体的组合，且中间没有横线，应为：
故答案为：B.
【分析】根据从正面看到的图形判断即可.
4．【答案】C
【知识点】用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：由题意，热水恒定位60℃，故温度计的度数开始从常温升高至60℃，然后保持不变，故读数与时间的关系用图象可近似表示为：
故答案为：C.
【分析】分析温度的变化规律，找到起始温度和最后稳定下来的温度，即可得到近似图象.
5．【答案】D
【知识点】折线统计图；平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：观察统计图， 五月份空气质量为优的天数是16天，选项A正确，不符合题意；
三月份，四月份和六月份的空气最优的天数都是15天，其他月份天数各不相同，故这组数据的众数是15天，选项B正确，不符合题意；
每月空气质量为优的天数从小到大为：12，14，15，15，15，16，中间两数的都是15，故中位数是15天，选项C正确，不符合题意；
这组数据的平均数是：，故选项D错误，符合题意；
故答案为：D.
【分析】数出五月份的天数，可判断A；根据众数和中位数，平均数的计算公式分别计算，可判断BCD.
6．【答案】B
【知识点】正方体的几种展开图的识别
【解析】【解答】解：如图所示：
正方体的展开图不可以出现各边都不相连的单独的面，故G，C两个位置不能组成展开图；
正方体的展开图不可以出现4个面组成的“田”的形状，故F，E，D两个位置不能组成展开图；
A位置可组成“222型”展开图，B位置可组成“132型”展开图.
故答案为：B.
【分析】本题中根据展开图中没有各边都不相连的单独面，没有“田”字形状排列，据此可得答案.可熟记正方形的常见展开图类型：“222型”，“141型”，“132型”.
7．【答案】1
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：原式 ，
故答案为：1
【分析】根据解答即可.
8．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】根据分解因式提取公因式法，将方程a2+2a提取公因式为a（a+2）。故a2+2a=a（a+2）。
故答案是a（a+2）。
【分析】提公因式a分解因式即可。
9．【答案】
【知识点】沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：根据题意，点A(1，1)平移后的的点B的坐标为（1+2，1+3），即（3，4）.
故答案为：.
【分析】根据直角坐标系中点的平移规律可得答案：向右平移横坐标＋，向上平移纵坐标＋.
10．【答案】
【知识点】用代数式表示数值变化规律
【解析】【解答】解：观察得：第n个式子为：an，
故第100个式子为：.
故答案为：.
【分析】观察发现第n个式子的次数为n，即可得到答案.
11．【答案】
【知识点】七巧板与拼图制作；平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【解答】解：由图1可得，拼成的四边形是正方形，
∴AB=BD=DC，∠ABD=90°.
由图2得，AD=BC，DC=AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
设对角线AC，BD相交与点O，
∴AO=CO，BO=DO.
∴
故答案为：.
【分析】根据两个图形的拼接规律可得图1为正方形，可证明图2为平行四边形，设对角线AC，BD相交与点O，根据平行四边形的性质可得BO=DO，于是可求得.
12．【答案】2或或
【知识点】勾股定理；垂径定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵AB为直径，DE为弦，AB=2，
∴DE≤AB.
当DE的长为正整数时，DE= 1或2.
当DE=2时，即DE为直径，
∵DE⊥AB，
∴将 沿DE翻折交直线AB于点F，此时F与点A重合，
故FB=2；
①当DE=1，且在点C在线段OB之间时，如图，
连接OD，
此时
∵DE⊥AB，
∴
.
∴.
∴.
∴.
②当DE=1，且点C在线段OA之间时，如图：
连接OD，
同理可得，
∴.
∴.
综上，可得线段FB的长为2或或.
故答案为：2或或.
【分析】根据DE的长为正整数，可得DE=2或DE=1，DE=2时，B与A重合，可求BF长；DE=1时，分点C在OB边上和OA边上两种情况分别求OC长，即可得到BC，2BC即为BF的长.
13．【答案】（1）原式=1+5
=6；
（2）原式=
=1.
【知识点】零指数幂；求有理数的绝对值的方法；同分母分式的加、减法
【解析】【分析】（1）先计算零次幂和绝对值，再进行加法运算；
（2）通分再约分，即可得到结论.
14．【答案】（1）解：如图：
答：直线BD即为所求.
（2）解：方法一：
如图：连接CE并延长交DA的延长线于点F，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AF//BC，
∴∠AFE=∠BCE，∠FAE=∠CBE，
又∵点E为AB中点，
∴AE=BE，
∴△AFE≌△BCE(AAS)
∴AF=BC.
∴四边形AFBC是平行四边形.
∴BF//AC.
故直线BF即为所求.
方法二：
如图：连接BD和CE，产生交点G，连接AG并延长，与DC的延长线交于点F，
∴点G为三角形各边中线的交点，
∴点O为BC边中点.
由方法一，可证四边形ABFC是平行四边形，
∴BF//AC，
答：直线BF即为所求.
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；菱形的性质；作图-平行线；尺规作图-垂线
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质，对角线互相垂直，作过点B和D的直线，即得到所求作的直线；
（2）方法一：连接CE并延长交DA的延长线于点F，证明四边形AFBC是平行四边形，即可得到AC的平行线；
方法二：连接BD和CE，产生交点G，连接AG并延长，与DC的延长线交于点F，即可根据方法一的思路得到AC的平行线.
15．【答案】（1）
（2）解：甲、乙两位新生分到同一个班的概率为．
解法一：
根据题意，列表如下：
甲 乙 A B C
A
B
C
总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，而甲、乙分到同一个班的结果有3种：，
所以(甲、乙分到同一个班).
解法二：
根据题意，画树状图如下：
总其有9种结果，矮种结果出现的可能性相同，而甲、乙分到同一个班的结果有3种：，
所以(甲、乙分到同一个班.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；等可能事件的概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）因为一年级有人数相同的ABC三个班级，学生分到每个班级的可能性相同，故“学生甲分到A班"的概率为.
故答案为：.
【分析】（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中学生甲分到A班的结果有1种，利用概率公式可得答案.
（2）列表或者画树状图得出所有等可能的结果数以及甲、乙两位新生分到同一个班的结果数，再利用概率公式可得出答案.
16．【答案】（1）
（2）双曲线经过点，
.
解得.
双曲线的解析式为.
轴，，
点的横坐标为4.
将代入，得.
点的坐标为.
设BC所在直线的解析式为，则
解得的，
所在直线的解析式为.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；等腰直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）∵点A(4，0)，
∴OA=4，
过点B作BD⊥OA于点D，如图：
∵△AOB是等腰直角三角形，∠AOB=90°，
∴OD=BD=AD=2.
∴点B坐标（2，2）.
故答案为：（2，2）.
【分析】（1）过点B作x轴的垂线BD，根据等腰直角三角形的性质即可解决问题.
（2）待定系数法求出反比例函数的解析式，从而可求点C的坐标，再利用待定系数法即可解决问题.
17．【答案】（1）证明：方法一：
是的直径，
.
，
.
，
，
点是半径OB的外端点，
是半圆的切线.
方法二：
是半圆的直径，
，
是半径OB的外端点，
是半圆的切线.
（2）解：连接OC.
在Rt中，
，
的长
因此，的长为.
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理；切线的判定；弧长的计算；直角三角形的判定
【解析】【分析】（1）有两种方法可解，方法一：通过证明∠BAD=30°，可得∠BAD+∠D=90°，得证结论；方法二：先利用圆周角定理得∠ACB=90°，然后利用等量代换得∠CAB+∠ABC=∠CAB+∠D=90°，结论可证；
（2）证明∠BAD=30°，利用含30°角的直角三角形的性质求得AB的长，利用等腰三角形的性质求得∠AOC ，即可利用弧长公式求出长.
18．【答案】（1）解：方法一：
设该书架上有数学书本，则有语文书本.依题意，得.
解得.
（本）.
答：该书架上有数学书60本，语文书30本.
方法二：
设该书架上有数学书本，语文书本.
依题意，得
解得
答：该书架上有数学书60本，语文书30本.
（2）设在该书架上还可以摆数学书本.
依题意，得.
解得
答：数学书最多还可以摆90本.
【知识点】一元一次方程的其他应用；二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）根据题意可得等量关系，数学书的本数+语文书的本数=90；数学书的总厚度+语文书的总厚度=84，根据等量关系设未知数列方程，求解即可.
（2）根据数学书的总厚度+语文书的总厚度≤84，设可摆放数学书y本，代入列不等式方程，求解即可.
19．【答案】（1）解：，
四边形AMND是平行四边形.
即“大碗”的口径为.
（2）作于点，则.
四边形BEFC是矩形，
四边形GMEB是矩形.
即“大碗”的高度约为.
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；矩形的性质；矩形的判定；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）证明四边形AMND是平行四边形，得AD=MN，求出MN的长，即可得到AD长；
（2）证明四边形BGME是矩形，可得GM=BE=2.4m，GB=ME=20m，求出∠ABG，再解直角三角形，即可得到AG长，AG+GM即为大碗的高度.
20．【答案】（1）解：是等腰三角形.
理由如下：
平分，
.
，
是等腰三角形.
（2）①B；
②四边形ABCD是平行四边形，
.
.
平分，
.
.
.
，
.
.
.
，
.
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念；等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：（2）①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//DF.
∴∠AEB=∠CBE，∠F=∠BAG，∠FGC=∠FAD.
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠ABE，
∴∠AEB=∠ABE，
∴AB=AE，△ABE是等腰三角形.
∵AF⊥BE，记AF与BE相交于点O，
∴BO=EO.
易证△AEO≌△GBO，
∴BG=AE=AB.
∴△ABG是等腰三角形，∠BAG=∠BGA=∠FGC.
∴∠F=∠FGC=∠FAD，
∴△CFG和△DFA是等腰三角形.
∴共有4个等腰三角形，
故答案为：B.
【分析】（1）有角平分线的性质和平行线性质证得∠EBD=∠EDB，再根据等腰三角形的判定即可得到结论；
（2）①根据平行四边形的性质可证得∠AEB=∠CBE，∠F=∠BAG，∠FGC=∠FAD，结合角平分线的定义可得∠AEB=∠ABE，可得等腰三角形ABE；记AF与BE相交于点O，结合“三线合一”性质证得△AEO≌△GBO，得BG=AE=AB，可得等腰三角形ABG；证明∠F=∠FGC=∠FAD，可得等腰三角形△CFG和△DFA.
②根据平行四边形的性质得.证明△AFD是等腰三角形，可得DF=AD=BC，即可求得CF的长.
21．【答案】（1）22；2；72°
（2）①(人).
答：估计该校七年级男生偏胖的人数为52人.
②(人).
答：估计该校七年级学生BMI的人数为126人.
（3）建议一：偏胖青少年要加强体育锻炼，注意科学饮食；
建议二：BMI正常的青少年应保持良好的生活习惯；
建议三：偏痩青少年需要加强营养，增强体质.
【知识点】频数（率）分布表；统计表；扇形统计图；数据分析；用样本的频数估计总体的频数
【解析】【解答】解：（1）；t=10－3－4－1=2（人）；.
故答案为：22；2；72°.
【分析】（1）利用公式可计算s，利用10减已知各组人数可求t，利用C组人数的占比×360°即可得到α.
（2）用260×C组的占比可得男生偏胖的人数；分别估计260名男生和240名女生中C和D组的人数，相加即可估算的大概人数
（3）针对学生的肥胖程度提出建议，合理即可.
22．【答案】（1）解：①；
②方法一：
把和分别代入，得
解得，
将代入，得
解得(舍)，.
将代入，得.
点的坐标是.
方法二：
设，
将代入，得
解得.
即.
将代入，
得.
解得(舍)，.
将代入，得.
点的坐标是.
（2）①8；(填“”亦可)
②方法一：
a=-5<0，
∴二次函数的对称轴为：，有最大值.
（答案写“米/秒”亦可）
方法二：
的顶点纵坐标为8，
当时，
不成立.
（答案写“米/秒”亦可）
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：（1）①由题意得：飞行路线可表示为：，对称轴为：x=4；
∵x=m和x=5时函数值相同，
∴m+5=2×4
∴m=3.
x=2和x=6关于x=4对称，
∴对应的函数值相等，故n=6.
故答案为：3；6.
（2）①由表格可得：飞行高度y的最大值为：8.
又．
故答案为：8（或）.
【分析】（1）①根据表格得到二次函数的对称轴，于是可根据对称性得到m和n的值；
（1）②方法一：选两个点坐标带入一般式解析式，利用待定系数法求出二次函数表达式，再联立二次函数和一次函数并求解，即可得到点A的坐标；方法二：设二次函数为顶点式，代入（2，6），求出二次函数解析式，后面解析步骤和方法①一样.
（2）①根据表格，即可得到飞行的最大高度；也可以将二次函数化成顶点式，得到最大值；
②方法一：将二次函数化为顶点式，得到二次函数的对称轴和最值，利用最值得到关于v的方程，求解得v值，根据对称轴在y轴右边，可得v>0，从而确定满足v值；方法二：根据顶点坐标公式表示出顶点纵坐标，得关于v的方程，求解得v值，再根据y≥0，确定满足条件的v值.
23．【答案】（1）；
（2）解：；
证明：如图1，
即.
（3）①方法一：如图2
由(1)知：当时，.
点与点关于DE对称，
，∠DCE=90°.
四边形CDFE是正方形.
当时，的最小值为18.
方法二：如图3，作于点，
在Rt和Rt中，，
.
.
.
点与点关于DE对称，
四边形CDFE是正方形.
.
在Rt中，.
.
.
.
当时，的最小值为18.
方法三：
如图4，作交AB于点，连接CF.
在Rt和Rt中，，
点与点关于DE对称，
四边形CDFE是正方形.
或.
在Rt中，，
当时，的最小值为18.
②AD的长度为或.
【知识点】二次函数的最值；正方形的判定与性质；三角形的综合
【解析】【解答】解：（1）当m=1时，，
∴CE=CD，CB=CA.
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠EAB=∠DCA，∠A+∠ABC=90°.
∴△ECB≌△DCA(SAS)
∴BE=AD，∠EBC=∠DAC.
∴∠EBC+∠ABC=∠A+∠ABC=90°，即∠EBA=90°，
∴BE⊥AD.
故答案为：BE⊥AD；BE=AD.
（3）②方法一：
如图5，作于点，连接CF，则和都是等腰直角三角形，
，
.
.
.
.
.
如图6，同理可得：.
即或.
方法二：
如图7，连接CF交DE于点，连接OB.
是等腰直角三角形，点与点关于DE对称，
四边形CDFE是正方形.
点是DE的中点，
点B，C，D，F在以为圆心，以OB为半径的圆上.
.
，
.
，
.
.
.
即或.
方法三：
如图8，作于点，连接CF交DE于点，连接OB.
是等腰直角三角形，点与点关于DE对称，
四边形CDFE是正方形.
点是的中点，
点B，C，D，F在以为圆心，以OB为半径的圆上.
如图9，同理可得：.
∴或.
故答案为：AD的长度为或.
【分析】（1）当m=1时，有CE=CD，CB=CA.证明△ECB≌△DCA，可得BE=AD，∠EBC=∠DAC.于是可利用直角三角形的性质证明∠EBA=90°，结论可证.
（2）证明△BCE∽△ACD，可得利用直角三角形的性质可证得∠EBA=90°，结论可证.
（3）①方法一：当m=1时，由（1）的结论得AD=x，∠DBE=90°.利用勾股定理求得AB的长，可表示出BD，于是可利用勾股定理表示出DE2.证明四边形CDFE是正方形.即可表示出，再利用二次函数的性质得到最值即可.方法二：作于点，证明DG=AG和四边形CDFE是正方形，可得，在Rt△CDG中利用勾股定理表示出CD2，即可得到y，求值最值的方法同方法①；方法三：作交AB于点，连接CF. 证明DG=AG和四边形CDFE是正方形，根据等腰三角形性质求出CG，表示DG，在Rt△CDG中利用勾股定理表示出CD2，即可得到y，求值最值的方法同方法①；
（3）②方法一：作交AB于点，连接CF.分点D在线段AG和线段BG上两种情况证明，可得，代入数值，即可求得x的值.方法二：连接CF交DE于点，连接OB.证明点B，C，D，F四边共圆，圆心为O，可得∠CBF=90°，在△CBF中利用勾股定理求出CF长，于是可得y值，根据（2）的函数得关于x的方程，求解即可；方法三：作于点，连接CF交DE于点，连接OB.证明点B，C，D，F四边共圆，圆心为O，可得∠CBF=90°，在△CBF中利用勾股定理求出CF长，于是可得CD，在Rt△CDG中利用勾股定理求出DG长，再根据点D位置的不同分别求AD长即可.
1 / 1江西省2024年中考数学试卷
一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置．错选、多选或未选均不得分．
1．（2022·湖州）实数-5的相反数是（ ）
A．5 B．-5 C． D．
【答案】A
【知识点】实数的相反数
【解析】【解答】解：-5的相反数是5.
故答案为：A.
【分析】根据互为相反数的两数之和为零，即-5+5=0，即可得出答案.
2．（2024·江西）“长征是宣言书，长征是宣传队，长征是播种机”，二万五千里长征是中国历史上的伟大壮举，也是人类史上的奇迹，将25000用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 25000 =2.5×104.
故答案为：C.
【分析】大于10的数用科学记数法表示为a×10n，1≤a<10，n为原数字从左往右数第一个数后面整数的位数.
3．（2024·江西）如图所示的几何体，其主视图为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看，该几何体的主视图为上小，下大的两个长方体的组合，且中间没有横线，应为：
故答案为：B.
【分析】根据从正面看到的图形判断即可.
4．（2024·江西）将常温中的温度计插入一杯的热水（恒温）中，温度计的读数与时间的关系用图象可近似表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：由题意，热水恒定位60℃，故温度计的度数开始从常温升高至60℃，然后保持不变，故读数与时间的关系用图象可近似表示为：
故答案为：C.
【分析】分析温度的变化规律，找到起始温度和最后稳定下来的温度，即可得到近似图象.
5．（2024·江西）如图是某地去年一至六月每月空气质量为优的天数的折线统计图，关于各月空气质量为优的天数，下列结论错误的是（ ）
A．五月份空气质量为优的天数是16天
B．这组数据的众数是15天
C．这组数据的中位数是15天
D．这组数据的平均数是15天
【答案】D
【知识点】折线统计图；平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：观察统计图， 五月份空气质量为优的天数是16天，选项A正确，不符合题意；
三月份，四月份和六月份的空气最优的天数都是15天，其他月份天数各不相同，故这组数据的众数是15天，选项B正确，不符合题意；
每月空气质量为优的天数从小到大为：12，14，15，15，15，16，中间两数的都是15，故中位数是15天，选项C正确，不符合题意；
这组数据的平均数是：，故选项D错误，符合题意；
故答案为：D.
【分析】数出五月份的天数，可判断A；根据众数和中位数，平均数的计算公式分别计算，可判断BCD.
6．（2024·江西）如图是的正方形网格，选择一空白小正方形，能与阴影部分组成正方体展开图的方法有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【答案】B
【知识点】正方体的几种展开图的识别
【解析】【解答】解：如图所示：
正方体的展开图不可以出现各边都不相连的单独的面，故G，C两个位置不能组成展开图；
正方体的展开图不可以出现4个面组成的“田”的形状，故F，E，D两个位置不能组成展开图；
A位置可组成“222型”展开图，B位置可组成“132型”展开图.
故答案为：B.
【分析】本题中根据展开图中没有各边都不相连的单独面，没有“田”字形状排列，据此可得答案.可熟记正方形的常见展开图类型：“222型”，“141型”，“132型”.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（2019七下·昭平期中）计算 ＝ .
【答案】1
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：原式 ，
故答案为：1
【分析】根据解答即可.
8．（2018九上·青浦期末）因式分解： ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】根据分解因式提取公因式法，将方程a2+2a提取公因式为a（a+2）。故a2+2a=a（a+2）。
故答案是a（a+2）。
【分析】提公因式a分解因式即可。
9．（2024·江西）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标为 ．
【答案】
【知识点】沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：根据题意，点A(1，1)平移后的的点B的坐标为（1+2，1+3），即（3，4）.
故答案为：.
【分析】根据直角坐标系中点的平移规律可得答案：向右平移横坐标＋，向上平移纵坐标＋.
10．（2024·江西）观察a，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第100个式子为 ．
【答案】
【知识点】用代数式表示数值变化规律
【解析】【解答】解：观察得：第n个式子为：an，
故第100个式子为：.
故答案为：.
【分析】观察发现第n个式子的次数为n，即可得到答案.
11．（2024·江西）将图所示的七巧板，拼成图所示的四边形，连接，则 ．
【答案】
【知识点】七巧板与拼图制作；平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【解答】解：由图1可得，拼成的四边形是正方形，
∴AB=BD=DC，∠ABD=90°.
由图2得，AD=BC，DC=AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
设对角线AC，BD相交与点O，
∴AO=CO，BO=DO.
∴
故答案为：.
【分析】根据两个图形的拼接规律可得图1为正方形，可证明图2为平行四边形，设对角线AC，BD相交与点O，根据平行四边形的性质可得BO=DO，于是可求得.
12．（2024·江西）如图，是的直径，，点C在线段上运动，过点C的弦，将沿翻折交直线于点F，当的长为正整数时，线段的长为 ．
【答案】2或或
【知识点】勾股定理；垂径定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵AB为直径，DE为弦，AB=2，
∴DE≤AB.
当DE的长为正整数时，DE= 1或2.
当DE=2时，即DE为直径，
∵DE⊥AB，
∴将 沿DE翻折交直线AB于点F，此时F与点A重合，
故FB=2；
①当DE=1，且在点C在线段OB之间时，如图，
连接OD，
此时
∵DE⊥AB，
∴
.
∴.
∴.
∴.
②当DE=1，且点C在线段OA之间时，如图：
连接OD，
同理可得，
∴.
∴.
综上，可得线段FB的长为2或或.
故答案为：2或或.
【分析】根据DE的长为正整数，可得DE=2或DE=1，DE=2时，B与A重合，可求BF长；DE=1时，分点C在OB边上和OA边上两种情况分别求OC长，即可得到BC，2BC即为BF的长.
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（2024·江西）（1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）原式=1+5
=6；
（2）原式=
=1.
【知识点】零指数幂；求有理数的绝对值的方法；同分母分式的加、减法
【解析】【分析】（1）先计算零次幂和绝对值，再进行加法运算；
（2）通分再约分，即可得到结论.
14．（2024·江西）如图，为菱形的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）
（1）如图，过点作的垂线；
（2）如图，点为线段的中点，过点作的平行线．
【答案】（1）解：如图：
答：直线BD即为所求.
（2）解：方法一：
如图：连接CE并延长交DA的延长线于点F，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AF//BC，
∴∠AFE=∠BCE，∠FAE=∠CBE，
又∵点E为AB中点，
∴AE=BE，
∴△AFE≌△BCE(AAS)
∴AF=BC.
∴四边形AFBC是平行四边形.
∴BF//AC.
故直线BF即为所求.
方法二：
如图：连接BD和CE，产生交点G，连接AG并延长，与DC的延长线交于点F，
∴点G为三角形各边中线的交点，
∴点O为BC边中点.
由方法一，可证四边形ABFC是平行四边形，
∴BF//AC，
答：直线BF即为所求.
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；菱形的性质；作图-平行线；尺规作图-垂线
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质，对角线互相垂直，作过点B和D的直线，即得到所求作的直线；
（2）方法一：连接CE并延长交DA的延长线于点F，证明四边形AFBC是平行四边形，即可得到AC的平行线；
方法二：连接BD和CE，产生交点G，连接AG并延长，与DC的延长线交于点F，即可根据方法一的思路得到AC的平行线.
15．（2024·江西）某校一年级开设人数相同的A，B，C三个班级，甲、乙两位学生是该校一年级新生，开学初学校对所有一年级新生进行电脑随机分班．
（1）“学生甲分到A班”的概率是 ；
（2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位新生分到同一个班的概率．
【答案】（1）
（2）解：甲、乙两位新生分到同一个班的概率为．
解法一：
根据题意，列表如下：
甲 乙 A B C
A
B
C
总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，而甲、乙分到同一个班的结果有3种：，
所以(甲、乙分到同一个班).
解法二：
根据题意，画树状图如下：
总其有9种结果，矮种结果出现的可能性相同，而甲、乙分到同一个班的结果有3种：，
所以(甲、乙分到同一个班.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；等可能事件的概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）因为一年级有人数相同的ABC三个班级，学生分到每个班级的可能性相同，故“学生甲分到A班"的概率为.
故答案为：.
【分析】（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中学生甲分到A班的结果有1种，利用概率公式可得答案.
（2）列表或者画树状图得出所有等可能的结果数以及甲、乙两位新生分到同一个班的结果数，再利用概率公式可得出答案.
16．（2024·江西）如图，是等腰直角三角形，，双曲线经过点B，过点作x轴的垂线交双曲线于点C，连接．
（1）点B的坐标为 ；
（2）求所在直线的解析式．
【答案】（1）
（2）双曲线经过点，
.
解得.
双曲线的解析式为.
轴，，
点的横坐标为4.
将代入，得.
点的坐标为.
设BC所在直线的解析式为，则
解得的，
所在直线的解析式为.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；等腰直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）∵点A(4，0)，
∴OA=4，
过点B作BD⊥OA于点D，如图：
∵△AOB是等腰直角三角形，∠AOB=90°，
∴OD=BD=AD=2.
∴点B坐标（2，2）.
故答案为：（2，2）.
【分析】（1）过点B作x轴的垂线BD，根据等腰直角三角形的性质即可解决问题.
（2）待定系数法求出反比例函数的解析式，从而可求点C的坐标，再利用待定系数法即可解决问题.
17．（2024·江西）如图，是半圆O的直径，点D是弦延长线上一点，连接，．
（1）求证：是半圆O的切线；
（2）当时，求的长．
【答案】（1）证明：方法一：
是的直径，
.
，
.
，
，
点是半径OB的外端点，
是半圆的切线.
方法二：
是半圆的直径，
，
是半径OB的外端点，
是半圆的切线.
（2）解：连接OC.
在Rt中，
，
的长
因此，的长为.
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理；切线的判定；弧长的计算；直角三角形的判定
【解析】【分析】（1）有两种方法可解，方法一：通过证明∠BAD=30°，可得∠BAD+∠D=90°，得证结论；方法二：先利用圆周角定理得∠ACB=90°，然后利用等量代换得∠CAB+∠ABC=∠CAB+∠D=90°，结论可证；
（2）证明∠BAD=30°，利用含30°角的直角三角形的性质求得AB的长，利用等腰三角形的性质求得∠AOC ，即可利用弧长公式求出长.
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（2024·江西）如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚，每本语文书厚．
（1）数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各多少本；
（2）如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本？
【答案】（1）解：方法一：
设该书架上有数学书本，则有语文书本.依题意，得.
解得.
（本）.
答：该书架上有数学书60本，语文书30本.
方法二：
设该书架上有数学书本，语文书本.
依题意，得
解得
答：该书架上有数学书60本，语文书30本.
（2）设在该书架上还可以摆数学书本.
依题意，得.
解得
答：数学书最多还可以摆90本.
【知识点】一元一次方程的其他应用；二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）根据题意可得等量关系，数学书的本数+语文书的本数=90；数学书的总厚度+语文书的总厚度=84，根据等量关系设未知数列方程，求解即可.
（2）根据数学书的总厚度+语文书的总厚度≤84，设可摆放数学书y本，代入列不等式方程，求解即可.
19．（2024·江西）图1是世界第一“大碗”——景德镇昌南里文化艺术中心主体建筑，其造型灵感来自于宋代湖田窑影青斗笠碗，寓意“万瓷之母”，如图2，“大碗”的主视图由“大碗”主体和矩形碗底组成，已知，，是太阳光线，，，点M，E，F，N在同一条直线上，经测量，，，．（结果精确到）
（1）求“大碗”的口径的长；
（2）求“大碗”的高度的长．（参考数据：，，）
【答案】（1）解：，
四边形AMND是平行四边形.
即“大碗”的口径为.
（2）作于点，则.
四边形BEFC是矩形，
四边形GMEB是矩形.
即“大碗”的高度约为.
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；矩形的性质；矩形的判定；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）证明四边形AMND是平行四边形，得AD=MN，求出MN的长，即可得到AD长；
（2）证明四边形BGME是矩形，可得GM=BE=2.4m，GB=ME=20m，求出∠ABG，再解直角三角形，即可得到AG长，AG+GM即为大碗的高度.
20．（2024·江西）追本溯源：
题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）．
（1）如图1，在中，平分，交于点D，过点D作的平行线，交于点E，请判断的形状，并说明理由．
方法应用：
（2）如图2，在中，平分，交边于点E，过点A作交的延长线于点F，交于点G．
①图中一定是等腰三角形的有（ ）A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
②已知，，求的长．
【答案】（1）解：是等腰三角形.
理由如下：
平分，
.
，
是等腰三角形.
（2）①B；
②四边形ABCD是平行四边形，
.
.
平分，
.
.
.
，
.
.
.
，
.
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念；等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：（2）①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//DF.
∴∠AEB=∠CBE，∠F=∠BAG，∠FGC=∠FAD.
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠ABE，
∴∠AEB=∠ABE，
∴AB=AE，△ABE是等腰三角形.
∵AF⊥BE，记AF与BE相交于点O，
∴BO=EO.
易证△AEO≌△GBO，
∴BG=AE=AB.
∴△ABG是等腰三角形，∠BAG=∠BGA=∠FGC.
∴∠F=∠FGC=∠FAD，
∴△CFG和△DFA是等腰三角形.
∴共有4个等腰三角形，
故答案为：B.
【分析】（1）有角平分线的性质和平行线性质证得∠EBD=∠EDB，再根据等腰三角形的判定即可得到结论；
（2）①根据平行四边形的性质可证得∠AEB=∠CBE，∠F=∠BAG，∠FGC=∠FAD，结合角平分线的定义可得∠AEB=∠ABE，可得等腰三角形ABE；记AF与BE相交于点O，结合“三线合一”性质证得△AEO≌△GBO，得BG=AE=AB，可得等腰三角形ABG；证明∠F=∠FGC=∠FAD，可得等腰三角形△CFG和△DFA.
②根据平行四边形的性质得.证明△AFD是等腰三角形，可得DF=AD=BC，即可求得CF的长.
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（2024·江西）近年来，我国肥胖人群的规模快速增长，目前，国际上常用身体质量指数（BodyMassIndex，缩写）来衡量人体胖瘦程度，其计算公式是．中国人的数值标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．某数学兴趣小组对本校七年级学生的胖瘦程度进行统计调查，从该校所有七年级学生中随机抽出10名男生、10名女生，测得他们的身高和体重值，并计算出相应的数值，再参照数值标准分成四组：A．；B．；C．；D．．将所得数据进行收集、整理、描述．
收集数据
七年级10名男生数据统计表
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
身高（） 1.56 1.50 1.66 1.58 1.50 1.70 1.51 1.42 1.59 1.72
体重（） 52.5 49.5 45.6 40.3 55.2 56.1 48.5 42.8 67.2 90.5
21.6 s 16.5 16.1 245 19.4 21.3 21.2 26.6 30.6
七年级10名女生数据统计表
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
身高（） 1.46 1.62 1.55 1.65 1.58 1.67 1.55 1.46 1.53 1.62
体重（） 46.4 49.0 61.5 56.5 52.9 75.5 50.3 47.6 52.4 46.8
21.8 18.7 25.6 20.8 21.2 27.1 20.9 22.3 22.4 17.8
整理、描述数据
七年级20名学生频数分布表
组别 男生频数 女生频数
A 3 2
B 4 6
C t 2
D 1 0
应用数据
（1） ， ；
（2）已知该校七年级有男生260人，女生240人．
①估计该校七年级男生偏胖的人数；
②估计该校七年级学生的人数
（3）根据以上统计数据，针对该校七年级学生的胖瘦程度，请你提出一条合理化建议．
【答案】（1）22；2；72°
（2）①(人).
答：估计该校七年级男生偏胖的人数为52人.
②(人).
答：估计该校七年级学生BMI的人数为126人.
（3）建议一：偏胖青少年要加强体育锻炼，注意科学饮食；
建议二：BMI正常的青少年应保持良好的生活习惯；
建议三：偏痩青少年需要加强营养，增强体质.
【知识点】频数（率）分布表；统计表；扇形统计图；数据分析；用样本的频数估计总体的频数
【解析】【解答】解：（1）；t=10－3－4－1=2（人）；.
故答案为：22；2；72°.
【分析】（1）利用公式可计算s，利用10减已知各组人数可求t，利用C组人数的占比×360°即可得到α.
（2）用260×C组的占比可得男生偏胖的人数；分别估计260名男生和240名女生中C和D组的人数，相加即可估算的大概人数
（3）针对学生的肥胖程度提出建议，合理即可.
22．（2024·江西）如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如下表：
x 0 1 2 m 4 5 6 7 …
y 0 6 8 n …
（1）① ▲ ， ▲ ；
②小球的落点是A，求点A的坐标．
（2）小球飞行高度y（米）与飞行时间t（秒）满足关系．
①小球飞行的最大高度为 ▲ 米；
②求v的值．
【答案】（1）解：①；
②方法一：
把和分别代入，得
解得，
将代入，得
解得(舍)，.
将代入，得.
点的坐标是.
方法二：
设，
将代入，得
解得.
即.
将代入，
得.
解得(舍)，.
将代入，得.
点的坐标是.
（2）①8；(填“”亦可)
②方法一：
a=-5<0，
∴二次函数的对称轴为：，有最大值.
（答案写“米/秒”亦可）
方法二：
的顶点纵坐标为8，
当时，
不成立.
（答案写“米/秒”亦可）
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：（1）①由题意得：飞行路线可表示为：，对称轴为：x=4；
∵x=m和x=5时函数值相同，
∴m+5=2×4
∴m=3.
x=2和x=6关于x=4对称，
∴对应的函数值相等，故n=6.
故答案为：3；6.
（2）①由表格可得：飞行高度y的最大值为：8.
又．
故答案为：8（或）.
【分析】（1）①根据表格得到二次函数的对称轴，于是可根据对称性得到m和n的值；
（1）②方法一：选两个点坐标带入一般式解析式，利用待定系数法求出二次函数表达式，再联立二次函数和一次函数并求解，即可得到点A的坐标；方法二：设二次函数为顶点式，代入（2，6），求出二次函数解析式，后面解析步骤和方法①一样.
（2）①根据表格，即可得到飞行的最大高度；也可以将二次函数化成顶点式，得到最大值；
②方法一：将二次函数化为顶点式，得到二次函数的对称轴和最值，利用最值得到关于v的方程，求解得v值，根据对称轴在y轴右边，可得v>0，从而确定满足v值；方法二：根据顶点坐标公式表示出顶点纵坐标，得关于v的方程，求解得v值，再根据y≥0，确定满足条件的v值.
六、解答题（本大题共12分）
23．（2024·江西）综合与实践
如图，在中，点D是斜边上的动点（点D与点A不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，．
（1）特例感知
如图1，当时，与之间的位置关系是 ，数量关系是 ；
（2）类比迁移
如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想．
（3）拓展应用
在（1）的条件下，点F与点C关于对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为y．
①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值；
②当时，请直接写出的长度．
【答案】（1）；
（2）解：；
证明：如图1，
即.
（3）①方法一：如图2
由(1)知：当时，.
点与点关于DE对称，
，∠DCE=90°.
四边形CDFE是正方形.
当时，的最小值为18.
方法二：如图3，作于点，
在Rt和Rt中，，
.
.
.
点与点关于DE对称，
四边形CDFE是正方形.
.
在Rt中，.
.
.
.
当时，的最小值为18.
方法三：
如图4，作交AB于点，连接CF.
在Rt和Rt中，，
点与点关于DE对称，
四边形CDFE是正方形.
或.
在Rt中，，
当时，的最小值为18.
②AD的长度为或.
【知识点】二次函数的最值；正方形的判定与性质；三角形的综合
【解析】【解答】解：（1）当m=1时，，
∴CE=CD，CB=CA.
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠EAB=∠DCA，∠A+∠ABC=90°.
∴△ECB≌△DCA(SAS)
∴BE=AD，∠EBC=∠DAC.
∴∠EBC+∠ABC=∠A+∠ABC=90°，即∠EBA=90°，
∴BE⊥AD.
故答案为：BE⊥AD；BE=AD.
（3）②方法一：
如图5，作于点，连接CF，则和都是等腰直角三角形，
，
.
.
.
.
.
如图6，同理可得：.
即或.
方法二：
如图7，连接CF交DE于点，连接OB.
是等腰直角三角形，点与点关于DE对称，
四边形CDFE是正方形.
点是DE的中点，
点B，C，D，F在以为圆心，以OB为半径的圆上.
.
，
.
，
.
.
.
即或.
方法三：
如图8，作于点，连接CF交DE于点，连接OB.
是等腰直角三角形，点与点关于DE对称，
四边形CDFE是正方形.
点是的中点，
点B，C，D，F在以为圆心，以OB为半径的圆上.
如图9，同理可得：.
∴或.
故答案为：AD的长度为或.
【分析】（1）当m=1时，有CE=CD，CB=CA.证明△ECB≌△DCA，可得BE=AD，∠EBC=∠DAC.于是可利用直角三角形的性质证明∠EBA=90°，结论可证.
（2）证明△BCE∽△ACD，可得利用直角三角形的性质可证得∠EBA=90°，结论可证.
（3）①方法一：当m=1时，由（1）的结论得AD=x，∠DBE=90°.利用勾股定理求得AB的长，可表示出BD，于是可利用勾股定理表示出DE2.证明四边形CDFE是正方形.即可表示出，再利用二次函数的性质得到最值即可.方法二：作于点，证明DG=AG和四边形CDFE是正方形，可得，在Rt△CDG中利用勾股定理表示出CD2，即可得到y，求值最值的方法同方法①；方法三：作交AB于点，连接CF. 证明DG=AG和四边形CDFE是正方形，根据等腰三角形性质求出CG，表示DG，在Rt△CDG中利用勾股定理表示出CD2，即可得到y，求值最值的方法同方法①；
（3）②方法一：作交AB于点，连接CF.分点D在线段AG和线段BG上两种情况证明，可得，代入数值，即可求得x的值.方法二：连接CF交DE于点，连接OB.证明点B，C，D，F四边共圆，圆心为O，可得∠CBF=90°，在△CBF中利用勾股定理求出CF长，于是可得y值，根据（2）的函数得关于x的方程，求解即可；方法三：作于点，连接CF交DE于点，连接OB.证明点B，C，D，F四边共圆，圆心为O，可得∠CBF=90°，在△CBF中利用勾股定理求出CF长，于是可得CD，在Rt△CDG中利用勾股定理求出DG长，再根据点D位置的不同分别求AD长即可.
1 / 1
