新余市2023—2024学年度下学期期末质量检测
高二数学试题卷
说明:
1.本卷共有四个大题,19个小题,全卷满分150分,考试时问120分钟.
2.本卷分为试题卷和答题卷,答策要求写在答题卷上,在试题卷上作答不给分.
一 单项选择题(本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.设集合,则( )
A. B. C.,或 D.
2.已知命题是定义域上的增函数,命题:函数在上是增函数.若为真命题,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.记为等比数列的前项和,若,则( )
A.120 B.85 C.-85 D.-120
4.函数的图象大致是( )
A. B.
C. D.
5.数列,称为斐波那契数列,又称黄金分割数列,是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始,每项等于其前相邻两项之和.记该数列的前项和为,则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
6.2023年8月至10月贵州榕江举办了“超级星期六”全国美食足球友谊赛.已知第一赛季的第一个周六(8月26日)共报名了贵州贵阳烤肉队等3支省内和辽宁东港草苺队等3支省外美食足球代表队.根据赛程安排,在8月26日举行三场比赛,每支球队都要参赛,且省内代表队不能安排在同一场,则比赛的安排方式有( )
A.6种 B.9种 C.18种 D.36种
7.若函数,则的极大值点的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
8.设,则( )
A. B.
C. D.
二 多项选择题(本大题共3个小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.已知正数满足,则下列选项正确的( )
A. B.
C. D.
10.在正方体中,为上一动点,则下列说法正确的是( )
A.与共面且与共面的棱有5条
B.
C.的最小值为
D.若与平面交于点,则的面积为2
11.已知函数的定义域为,且,则下列说法中正确的是( )
A. B.
C.为偶函数 D.
三 填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分.把答案填在答题卡中的横线上)
12.已知函数,则__________.
13.已知为随机事件,,则._________.
14.若函数与的图象存在公共切线,则实数的最大值为__________.
四 解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步 )
15.(本小题满分13分)
已知函数,且的解集为.
(1)求函数的解析式;
(2)解关于的不等式;
16.(本小题满分15分)
已知双曲线的方程为,实轴长和离心率均为2.
(1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程;
(2)过且倾斜角为的直线与双曲线交于两点,求的值(0为坐标原点).
17.(本小题满分15分)
已知公差大于0的等差数列和公比大于0的等比数列满足.
(1)求数列和的通项公式;
(2)记数列的前项和为,求证:.
18.(本小题满分17分)
已知函数.
(1)若,求曲线在点)处的切线方程;并求出该切线与两坐标轴围成的三角形的面积的值;
(2)若对任意恒成立,求实数的取值范围.
19.(本小题满分17分)
阅读材料一:“装错信封问题”是由数学家约翰伯努利(Johann Bernoulli,1667~1748)的儿子丹尼尔伯努利提出来的,大意如下:一个人写了封不同的信及相应的个不同的信封,他把这封信都装错了信封,问都装错信封的这一情况有多少种?后来瑞士数学家欧拉(Leonhard Euler,1707~1783)给出了解答:记都装错封信的情况为种,可以用全排列!减去有装正确的情况种数,结合容斥原理可得公式:,其中.
阅读材料二:英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式:当在处阶可导,则有:,注表示的阶导数,该公式也称麦克劳林公式.阅读以上材料后请完成以下问题:
(1)求出的值;
(2)估算的大小(保留小数点后2位),并给出用和表示的估计公式;
(3)求证:,其中.
新余市2023-2024学年度高二年级下学期期末质量检测答案
选择题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
B B C A A D B B ACD ABD AD
空题题
12. 13.0.5 14.
解答题
15.
解:(1)因为的解集为,所以的根为,
所以,即;所以;
(2),化简有,整理,
所以当时,不等式的解集为,
当时,不等式的解集为,
当时,不等式的解集为,
当时,不等式的解集为,
综上:所以当时,不等式的解集为,
当时,不等式的解集为,
当时,不等式的解集为,
当时,不等式的解集为,
16.【详解】(1)由离心率,又,
又长轴长,所以,所以,
故双曲线的标准方程为;
其渐近线方程为.
(2)直线的倾斜角为,故其斜率为1,又过点,
的方程为;
设
则由得,
17.【详解】(1)设数列的公差为,数列的公比为,
则,
由①式平方除②式得:,得(舍)或,
通项公式分别为.
(2)
,
两式相减可得
.
,
数列为递增数列;
又,
18.【详解】(1)由,得,则;
又;
所以曲线在点处的切线方程为即
令,则;令,则;
(2)已知对任意恒成立,
令;
①当时,,即,
在上单调递减,
故恒成立.
②当时,二次函数的开口方向向上,对称轴为,
所以在上单调递增,且,
故存在唯一,使得,即.
当时,;
当时,;
在单调递减,在单调递增
在上,.所以得,
综上,得取值范围是.
19.【详解】(1)因为,
.
(2)由麦克劳林公式,令,有,
再取可得,
估算值为1.65.
在中,取,可得.
(3)证明:由麦克劳林公式,当时,令,有,
猜想:.
令,有,猜想:.
令,由,所以,即.
令,由,
再令,则恒成立,
在上为增函数,且,
在上为增函数,
,即.
又时,
令,当,有,
则,命题得证.