湖南省岳阳市临湘市第二中学2023-2024学年高二下学期6月月考数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 湖南省岳阳市临湘市第二中学2023-2024学年高二下学期6月月考数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 138.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-03 19:54:31 | ||
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文档简介
临湘市第二中学2023-2024学年高二下学期6月月考数学试题
一．选择题（共8小题，每题5分，共40分）
1．函数y＝cosx lnx的导函数为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知，则该圆的圆心坐标和半径分别为（ ）
A． B．
C． D．
3．对于一组具有线性相关关系的数据（xi，yi）（i＝1，2，3，……，n），根据最小二乘法求得回归直线方程为＝x+，则以下说法正确的是（ ）
A．至少有一个样本点落在回归直线＝x+上
B．预报变量y的值由解释变量x唯一确定
C．相关指数R2越小，说明该模型的拟合效果越好
D．在残差图中，残差点分布水平带状区域的宽度越窄，则回归方程的预报精确度越高
4．已知双曲线C经过点（0，1），离心率为，则C的标准方程为（ ）
A．x2﹣y2＝1 B．
C．y2﹣x2＝1 D．
5．随机变量ξ服从标准正态分布N（0，1），已知P（ξ≤﹣1.96）＝0.025，则P（|ξ|＜1.96）等于（ ）
A．0.025 B．0.050 C．0.950 D．0.975
6．衣柜里有灰色，白色，黑色，蓝色四双不同颜色的袜子，从中随机选4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数f（x）＝x3﹣3x2+3在区间（a，a+6）上存在最小值，则实数a的取值范围为（ ）
A．[﹣1，2） B． C． D．[﹣1，1）
8．已知，且，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．a＞c＞b
二．多选题（共4小题，每题5分，共40分）
（多选）9．已知f（x）＝x﹣lnx，函数f（x）的导函数为f′（x），则下列说法正确的是（ ）
A．f′（1）＝0
B．单调递增区间为（1，+∞）
C．f（x）的极大值为1
D．方程f（x）＝1有两个不同的解
（多选）10．下列说法中正确的是（ ）
附：χ2独立性检验中几个常用的概率值与相应的临界值
α 0.1 0.05 0.01
χa 2.706 3.841 6.635
A．已知离散型随机变量，则
B．一组数据148，149，154，155，155，156，157，158，159，161的第75百分位数为158
C．若，则事件A与B相互独立
D．根据分类变量x与y的观测数据，计算得到χ2＝3.154，依据α＝0.05的独立性检验可得：变量x与y独立，这个结论错误的概率不超过0.05
（多选）11．若f（x）图象上存在两点A，B关于原点对称，则点对[A，B]称为函数f（x）的“友情点对”（点对[A，B]与[B，A]视为同一个“友情点对”）若恰有两个“友情点对”，则实数a的值可以是（ ）
A．0 B． C． D．
（多选）12．将两个各棱长均为1的正三棱锥D﹣ABC和E﹣ABC的底面重合，得到如图所示的六面体，则（ ）
A．该几何体的表面积为
B．该几何体的体积为
C．过该多面体任意三个顶点的截面中存在两个平面互相垂直
D．直线AD∥平面BCE
三．填空题（共4小题，每题5分，共40分）
13．两批同种规格的产品，第一批占30%，次品率为5%；第二批占70%，次品率为4%，将两批产品混合，从混合产品中任取1件．则取到这件产品是次品的概率为 ．
14．过点（﹣1，1）与曲线f（x）＝ln（x+1）﹣3ex+2相切的直线方程为 ．
15．某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%，一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，如表是过去200例类似项目开发的实施结果：
投资成功 投资失败
192次 8次
则该公司一年后估计可获收益的期望是 （元）．
16．已知F1、F2为椭圆的左、右焦点，点P为该椭圆上一点，且满足∠F1PF2＝60°，若△PF1F2的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，则该椭圆的离心率为 ．
四．解答题（共5小题，共70分）
17．端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．(15分）
（1）求三种粽子各取到1个的概率；
（2）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列；
（3）设Y表示取到的粽子的种类，求Y的分布列．
18．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF⊥A1B1．(15分）
（1）证明：BF⊥DE；
（2）当B1D为何值时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？
19．随着人工智能的进一步发展，ChatGPT逐渐进入大众视野．ChatGPT是一种基于人工智能的语言模型，具备卓越的自然语言处理能力、广泛的知识覆盖范围和富有创造性的回答能力，是人们学习、工作与生活中的出色助手．尽管如此，也有部分人认为ChatGPT会对人类未来工作产生威胁，由于其在提高工作效率方面的出色表现，将在未来取代一部分人的职业．现对200家IT企业开展调查，统计每家企业一年内应用ChatGPT的广泛性及招聘人数的增减，得到数据结果统计如下表所示：(15分）
ChatGPT应用广泛性 招聘人数减少 招聘人数增加 合计
广泛应用 60 50 110
没有广泛应用 40 50 90
合计 100 100 200
（1）根据小概率α＝0.01的独立性检验，是否有99%的把握认为IT企业招聘人数的增减与ChatGPT应用的广泛性有关？
（2）用频率估计概率，从招聘人数减少的企业中随机抽取30家企业，记其中广泛应用ChatGPT的企业有X家，事件“X＝k”的概率为P（X＝k）．求X的分布列并计算使P（X＝k）取得最大值时k的值．
附：，其中n＝a+b+c+d．
α 0.1 0.05 0.01
xa 2.706 3.841 6.635
20．已知函数f（x）＝x2﹣2ax+2lnx．(10分）
（1）当时，求曲线y＝f（x）的单调减区间；
（2）若y＝f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，，若不等式f（x1）≥mx2恒成立，求实数m的取值范围．
21．某中医药研究所研制出一种新型抗癌药物，服用后需要检验血液是否为阳性，现有n（n∈N*）份血液样本，每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n次；（2）混合检验，将其中k（k∈N*，2≤k≤n）份血液样本分别取样混合在一起检验，若结果为阴性，则这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只需检验一次就够了：若检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪份为阳性，就需要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为k+1次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阳性的概率为p（0＜p＜1）．(15分）
（1）假设有6份血液样本，其中只有两份样本为阳性，若采取逐份检验的方式，求恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率．
（2）现取其中的k（k∈N*，2≤k≤n）份血液样本，记采用逐份检验的方式，样本需要检验的次数为ξ1；采用混合检验的方式，样本需要检验的总次数为ξ2．
（ⅰ）若Eξ1＝Eξ2，试运用概率与统计的知识，求p关于k的函数关系p＝f（k）；
（ⅱ）若，采用混合检验的方式需要检验的总次数的期望比逐份检验的总次数的期望少，求k的最大值．（ln4＝1.386，ln5＝1.609，ln6＝1.792，ln7＝1.946，ln8＝2.079，ln9＝2.197）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1-5：BADCC 6-8:DAD
二．多选题（共4小题）
9：AB．
10：BC．
11:BD．
12：AC．
三．填空题（共4小题）
13：0.043．
14：y＝﹣2x﹣1．
15：4760．
16：．
四．解答（共5小题）
17．解：（1）令A表示事件“三种粽子各取到1个”，
则；
（2）X的所有可能值为0，1，2，
且，
综上知，X的分布列为：
X 1 2 3
P
（3）由题意知Y的所有可能值为1，2，3，且
，，
综上知，Y的分布列为：
Y 1 2 3
P
18．（1）证明：连接AF，
∵E，F分别为直三棱柱ABC﹣A1B1C1的棱AC和CC1的中点，且AB＝BC＝2，
∴CF＝1，BF＝，
∵BF⊥A1B1，AB∥A1B1，
∴BF⊥AB
∴AF＝＝＝3，AC＝＝＝，
∴AC2＝AB2+BC2，即BA⊥BC，
故以B为原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（2，0，0），B（0，0，0），C（0，2，0），E（1，1，0），F（0，2，1），
设B1D＝m，则D（m，0，2），
∴＝（0，2，1），＝（1﹣m，1，﹣2），
∴ ＝0，即BF⊥DE．
（2）解：∵AB⊥平面BB1C1C，∴平面BB1C1C的一个法向量为＝（1，0，0），
由（1）知，＝（1﹣m，1，﹣2），＝（﹣1，1，1），
设平面DEF的法向量为＝（x，y，z），则，即，
令x＝3，则y＝m+1，z＝2﹣m，∴＝（3，m+1，2﹣m），
∴cos＜，＞＝＝＝＝，
∴当m＝时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的余弦值最大，此时正弦值最小，
故当B1D＝时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小．
19解：（1）零假设H0：IT企业招聘人数的增减与ChatGPT应用的广泛性无关，
因为，
所以根据α＝0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，
因此可认为IT企业招聘人数的增减与ChatGPT应用的广泛性无关；
（2）由题知，从招聘人数减少的企业中随机抽取1家企业，该企业广泛应用ChatGPT的概率为，没有广泛应用ChatGPT的概率为，
因为，
所以X的分布列为且k∈N，
若P（X＝k）是最大值，则P（X＝k）≥P（X＝k+1）且P（X＝k）≥P（X＝k﹣1），
根据，
即，整理得，
解得，
又0≤k≤30且k∈N，所以k＝18，
即使P（X＝k）取得最大值时k的值为18．
20．解：（1），
令f′（x）＝0得，
由f′（x）＜0得，
所以f（x）的单调减区间为．
（2），因为f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，
所以x1，x2是方程x2﹣ax+1＝0的两正根，则，
不等式f（x1）≥mx2恒成立，即恒成立，
所以＝＝﹣2a+2x1lnx1，
＝﹣2（x1+x2）+2x1lnx1＝﹣﹣2x1+2x1lnx1，
由x1+x2＝a，x1x2＝1，得，所以，
令，
令在上递增，
则有，即φ′（x）＜0，
所以φ（x）在上是减函数，
所以，故．
21．解：（1）设“恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来”为事件A，则，
即恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来的事件的概率为．
（2）（ⅰ）由题意知Eξ1＝k，ξ2取值的可能有1，k+1，，，
所以，
由Eξ1＝Eξ2，得k＝k+1﹣k（1﹣p）k，即，所以，
所以p关于k的函数关系．
（ⅱ）由题意知，Eξ1＞Eξ2，所以k＞1+k﹣k（1﹣p）k，即k（1﹣p）k＞1．
所以，又，所以，
两边同时取对数，得，即，
设，则，易知函数f（x）在（4，+∞）上单调递减，
f（8）＝ln8﹣2＝2.079﹣2＝0.079＞0，，
所以k的最大值为8．
一．选择题（共8小题，每题5分，共40分）
1．函数y＝cosx lnx的导函数为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知，则该圆的圆心坐标和半径分别为（ ）
A． B．
C． D．
3．对于一组具有线性相关关系的数据（xi，yi）（i＝1，2，3，……，n），根据最小二乘法求得回归直线方程为＝x+，则以下说法正确的是（ ）
A．至少有一个样本点落在回归直线＝x+上
B．预报变量y的值由解释变量x唯一确定
C．相关指数R2越小，说明该模型的拟合效果越好
D．在残差图中，残差点分布水平带状区域的宽度越窄，则回归方程的预报精确度越高
4．已知双曲线C经过点（0，1），离心率为，则C的标准方程为（ ）
A．x2﹣y2＝1 B．
C．y2﹣x2＝1 D．
5．随机变量ξ服从标准正态分布N（0，1），已知P（ξ≤﹣1.96）＝0.025，则P（|ξ|＜1.96）等于（ ）
A．0.025 B．0.050 C．0.950 D．0.975
6．衣柜里有灰色，白色，黑色，蓝色四双不同颜色的袜子，从中随机选4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数f（x）＝x3﹣3x2+3在区间（a，a+6）上存在最小值，则实数a的取值范围为（ ）
A．[﹣1，2） B． C． D．[﹣1，1）
8．已知，且，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．a＞c＞b
二．多选题（共4小题，每题5分，共40分）
（多选）9．已知f（x）＝x﹣lnx，函数f（x）的导函数为f′（x），则下列说法正确的是（ ）
A．f′（1）＝0
B．单调递增区间为（1，+∞）
C．f（x）的极大值为1
D．方程f（x）＝1有两个不同的解
（多选）10．下列说法中正确的是（ ）
附：χ2独立性检验中几个常用的概率值与相应的临界值
α 0.1 0.05 0.01
χa 2.706 3.841 6.635
A．已知离散型随机变量，则
B．一组数据148，149，154，155，155，156，157，158，159，161的第75百分位数为158
C．若，则事件A与B相互独立
D．根据分类变量x与y的观测数据，计算得到χ2＝3.154，依据α＝0.05的独立性检验可得：变量x与y独立，这个结论错误的概率不超过0.05
（多选）11．若f（x）图象上存在两点A，B关于原点对称，则点对[A，B]称为函数f（x）的“友情点对”（点对[A，B]与[B，A]视为同一个“友情点对”）若恰有两个“友情点对”，则实数a的值可以是（ ）
A．0 B． C． D．
（多选）12．将两个各棱长均为1的正三棱锥D﹣ABC和E﹣ABC的底面重合，得到如图所示的六面体，则（ ）
A．该几何体的表面积为
B．该几何体的体积为
C．过该多面体任意三个顶点的截面中存在两个平面互相垂直
D．直线AD∥平面BCE
三．填空题（共4小题，每题5分，共40分）
13．两批同种规格的产品，第一批占30%，次品率为5%；第二批占70%，次品率为4%，将两批产品混合，从混合产品中任取1件．则取到这件产品是次品的概率为 ．
14．过点（﹣1，1）与曲线f（x）＝ln（x+1）﹣3ex+2相切的直线方程为 ．
15．某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%，一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，如表是过去200例类似项目开发的实施结果：
投资成功 投资失败
192次 8次
则该公司一年后估计可获收益的期望是 （元）．
16．已知F1、F2为椭圆的左、右焦点，点P为该椭圆上一点，且满足∠F1PF2＝60°，若△PF1F2的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，则该椭圆的离心率为 ．
四．解答题（共5小题，共70分）
17．端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．(15分）
（1）求三种粽子各取到1个的概率；
（2）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列；
（3）设Y表示取到的粽子的种类，求Y的分布列．
18．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF⊥A1B1．(15分）
（1）证明：BF⊥DE；
（2）当B1D为何值时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？
19．随着人工智能的进一步发展，ChatGPT逐渐进入大众视野．ChatGPT是一种基于人工智能的语言模型，具备卓越的自然语言处理能力、广泛的知识覆盖范围和富有创造性的回答能力，是人们学习、工作与生活中的出色助手．尽管如此，也有部分人认为ChatGPT会对人类未来工作产生威胁，由于其在提高工作效率方面的出色表现，将在未来取代一部分人的职业．现对200家IT企业开展调查，统计每家企业一年内应用ChatGPT的广泛性及招聘人数的增减，得到数据结果统计如下表所示：(15分）
ChatGPT应用广泛性 招聘人数减少 招聘人数增加 合计
广泛应用 60 50 110
没有广泛应用 40 50 90
合计 100 100 200
（1）根据小概率α＝0.01的独立性检验，是否有99%的把握认为IT企业招聘人数的增减与ChatGPT应用的广泛性有关？
（2）用频率估计概率，从招聘人数减少的企业中随机抽取30家企业，记其中广泛应用ChatGPT的企业有X家，事件“X＝k”的概率为P（X＝k）．求X的分布列并计算使P（X＝k）取得最大值时k的值．
附：，其中n＝a+b+c+d．
α 0.1 0.05 0.01
xa 2.706 3.841 6.635
20．已知函数f（x）＝x2﹣2ax+2lnx．(10分）
（1）当时，求曲线y＝f（x）的单调减区间；
（2）若y＝f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，，若不等式f（x1）≥mx2恒成立，求实数m的取值范围．
21．某中医药研究所研制出一种新型抗癌药物，服用后需要检验血液是否为阳性，现有n（n∈N*）份血液样本，每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n次；（2）混合检验，将其中k（k∈N*，2≤k≤n）份血液样本分别取样混合在一起检验，若结果为阴性，则这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只需检验一次就够了：若检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪份为阳性，就需要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为k+1次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阳性的概率为p（0＜p＜1）．(15分）
（1）假设有6份血液样本，其中只有两份样本为阳性，若采取逐份检验的方式，求恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率．
（2）现取其中的k（k∈N*，2≤k≤n）份血液样本，记采用逐份检验的方式，样本需要检验的次数为ξ1；采用混合检验的方式，样本需要检验的总次数为ξ2．
（ⅰ）若Eξ1＝Eξ2，试运用概率与统计的知识，求p关于k的函数关系p＝f（k）；
（ⅱ）若，采用混合检验的方式需要检验的总次数的期望比逐份检验的总次数的期望少，求k的最大值．（ln4＝1.386，ln5＝1.609，ln6＝1.792，ln7＝1.946，ln8＝2.079，ln9＝2.197）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1-5：BADCC 6-8:DAD
二．多选题（共4小题）
9：AB．
10：BC．
11:BD．
12：AC．
三．填空题（共4小题）
13：0.043．
14：y＝﹣2x﹣1．
15：4760．
16：．
四．解答（共5小题）
17．解：（1）令A表示事件“三种粽子各取到1个”，
则；
（2）X的所有可能值为0，1，2，
且，
综上知，X的分布列为：
X 1 2 3
P
（3）由题意知Y的所有可能值为1，2，3，且
，，
综上知，Y的分布列为：
Y 1 2 3
P
18．（1）证明：连接AF，
∵E，F分别为直三棱柱ABC﹣A1B1C1的棱AC和CC1的中点，且AB＝BC＝2，
∴CF＝1，BF＝，
∵BF⊥A1B1，AB∥A1B1，
∴BF⊥AB
∴AF＝＝＝3，AC＝＝＝，
∴AC2＝AB2+BC2，即BA⊥BC，
故以B为原点，BA，BC，BB1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（2，0，0），B（0，0，0），C（0，2，0），E（1，1，0），F（0，2，1），
设B1D＝m，则D（m，0，2），
∴＝（0，2，1），＝（1﹣m，1，﹣2），
∴ ＝0，即BF⊥DE．
（2）解：∵AB⊥平面BB1C1C，∴平面BB1C1C的一个法向量为＝（1，0，0），
由（1）知，＝（1﹣m，1，﹣2），＝（﹣1，1，1），
设平面DEF的法向量为＝（x，y，z），则，即，
令x＝3，则y＝m+1，z＝2﹣m，∴＝（3，m+1，2﹣m），
∴cos＜，＞＝＝＝＝，
∴当m＝时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的余弦值最大，此时正弦值最小，
故当B1D＝时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小．
19解：（1）零假设H0：IT企业招聘人数的增减与ChatGPT应用的广泛性无关，
因为，
所以根据α＝0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，
因此可认为IT企业招聘人数的增减与ChatGPT应用的广泛性无关；
（2）由题知，从招聘人数减少的企业中随机抽取1家企业，该企业广泛应用ChatGPT的概率为，没有广泛应用ChatGPT的概率为，
因为，
所以X的分布列为且k∈N，
若P（X＝k）是最大值，则P（X＝k）≥P（X＝k+1）且P（X＝k）≥P（X＝k﹣1），
根据，
即，整理得，
解得，
又0≤k≤30且k∈N，所以k＝18，
即使P（X＝k）取得最大值时k的值为18．
20．解：（1），
令f′（x）＝0得，
由f′（x）＜0得，
所以f（x）的单调减区间为．
（2），因为f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，
所以x1，x2是方程x2﹣ax+1＝0的两正根，则，
不等式f（x1）≥mx2恒成立，即恒成立，
所以＝＝﹣2a+2x1lnx1，
＝﹣2（x1+x2）+2x1lnx1＝﹣﹣2x1+2x1lnx1，
由x1+x2＝a，x1x2＝1，得，所以，
令，
令在上递增，
则有，即φ′（x）＜0，
所以φ（x）在上是减函数，
所以，故．
21．解：（1）设“恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来”为事件A，则，
即恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来的事件的概率为．
（2）（ⅰ）由题意知Eξ1＝k，ξ2取值的可能有1，k+1，，，
所以，
由Eξ1＝Eξ2，得k＝k+1﹣k（1﹣p）k，即，所以，
所以p关于k的函数关系．
（ⅱ）由题意知，Eξ1＞Eξ2，所以k＞1+k﹣k（1﹣p）k，即k（1﹣p）k＞1．
所以，又，所以，
两边同时取对数，得，即，
设，则，易知函数f（x）在（4，+∞）上单调递减，
f（8）＝ln8﹣2＝2.079﹣2＝0.079＞0，，
所以k的最大值为8．
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