数 学
注意事项:
一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的。
z i
已知 i,则 | z |
i
A.2 B. 2 C.1 D.0
2
已知集合 P {x | x x 2≤0},则
A. RP {x | x≤ 1} B. P N = N C *. P N {1,2} D. P Z
已知单位向量a,b的夹角为 ,则 | a b |
2
A.1 B. 2 C. 2 D. 5
x2 y2
已知双曲线C: 1的左顶点为 A1,右焦点为 F2,虚轴长为m,离心率为 e,则3 4
A. A1( 3,0) B. F2 (1,0) C.m 2 D e
21
.
3
ABC AC 2BC 2 B 在△ 中, , ,将△ABC绕边 AC 旋转一周得到一旋转体,
2
则该旋转体体积为
A. B. C. D. 2
2 2
已知△ABC内角 A, B,C 1的对边分别为 a,b,c,若 tan B ,bcos A c 0,
2
则 A
A. B. C. D.
4 2 3 4
已知 p:a≤0,q:函数 f (x) ln x ax只有一个零点,则 p是q的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
数学试题第 1页(共 4页)
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“不以规矩,不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规,“矩”是指相互垂
直的长短两条直尺构成的方尺,是古人用来测量、画图的工具.如图,现有一椭圆经某同
学以“矩”量之得 | F1P | 6cm, | F1Q | 2cm,其中 F1为 y
P
椭圆左焦点, PQ经过坐标原点O,则该椭圆的离心率为
1 10 F1
A. B. O x
2 5
10 1 Q
C. D.
4 3
二、选择题:本题共 3小题,每小题 6分,共 18分。在每小题给出的选项中,有多
项符合题目要求。全部选对的得 6分,部分选对的得部分分,有选错的得 0分。
下列叙述正确的是
A.随机变量 X~N ( , 2) ( 0), 反映了随机变量 X 的分布相对于均值 的离散程度
B.经验回归直线 y b x a 必过点 (x , y)
C.样本相关系数 r的绝对值越接近于1时,成对样本数据的线性相关程度越弱
D 2.决定系数 R 越大,表示残差平方和越小,即模型的拟合效果越差
已知 f (x) sin x cos x,则
1
A.函数 f (x)的周期为 2 B.曲线 y f (x)关于直线 x 对称
4
1 131
C.函数 f (x)在[ , 0]上单调递增 D. f (k) 12 k 1
如图,等边△ABC的边长为 4,D为边 AB的中点,将△ADC沿CD折成三棱锥 A1 BCD,
A1,B,C,D都在球O的球面上.记 A1C,A1D,A1B与平面 BCD所成的角分别为 1,
1, 1,平面 A1DC , A1DB,BDC与平面 A1BC所成的角分别为 2 , 2 , 2,则
A.CD A D与 1B所成的角为定值 A B A1
B.球O的表面积的最大值为 20 D B
2 1 1
C.
tan C1 tan 1 tan 1
C
D.存在点 A1使得 2 2 2
数学试题第 2页(共 4页)
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三、填空题:本题共 3小题,每小题 5分,共 15分。
在等比数列{bn}中,b1b2b3 27,b4 9,则b6 .
(1 x )10 2的展开式中 x 项的二项式系数是 (用数字作答).
f (x) a x a x已知函数 a (a 0 x且 a 1),若不等式 f (a e ) f (ln a ln x) 2a≤0
恒成立,则a的取值范围是 .
四、解答题:本题共 5小题,共 77分。解答应写文字说明、证明过程或演算步骤。
( 分)
如图,在四棱锥 P ABCD中,底面 ABCD为正方形,△PAD为等边三角形,AB 2 .点M ,
N 分别为 AD, BC的中点. P
(1)证明: AD 平面 PMN ;
(2)若 PB 2 2,求平面 PBC与 D C
平面 ABCD的夹角的余弦值.
M N
A B
( 分)
随着人工智能的飞速发展,AI应用场景越来越多.最近 AI自习室在家长圈、学生圈中持续
走热.某校随机抽取 400名学生进行调查,其中期末综合素质测评等级为良好的共180人,有120
人利用 AI自习室学习并且期末综合测评等级为优秀,有 200人未利用 AI自习室学习.
1 2 2 0.05 2( )完成 列联表,依据小概率值 的 独立性检验,能否认为期末综合素质测
评等级为优秀与利用 AI自习室学习有关联?
2 n(ad bc)
2
良好 优秀 合计 附: .
(a c)(b d)(c d)(a b)
利用 AI自习室 120
未利用 AI自习室 200 α 0.100 0.050 0.025
合计 180 400 x0 2.706 3.841 5.024
(2)现有从利用 AI自习室学习的学生中以期末综合素质测评等级为依据,用分层随机抽样
的方法抽出的10名学生.从这10名学生中随机选取 4人进行访谈,记这 4人中期末综合素质测评
等级为优秀的人数为 X ,求 X 的分布列(用表格表示)与数学期望.
( 分)
已知函数 f (x) 1 1 x3 x2 2x 3, g(x) 2 ln x .
3 2
(1)求函数 f (x)的极值;
(2)曲线 y f (x)在 x 0处的切线方程为 y h(x),证明: g(x) h(x).
数学试题第 3页(共 4页)
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( 分)
把一个无穷数列{an}从第 2项起,每一项减去它的前一项,得到一个新数列,此数列叫做原
数列{an}的1阶差数列.对1阶差数列作同样的处理得到的数列叫做原数列{an}的 2阶差数列,
如此类推,可得到原数列{an}的K阶差数列.如果一个数列{an}的K阶差数列是由一个非零常
数D组成的常数数列,则称这个数列{an}为K阶等差数列,非零常数D叫做数列{an}的K阶公
差.
例如,原数列: 14, 24, 34, 44, 54, 64, 74,……
1阶差数列: 15, 65, 175, 369, 671, 1105,……
2阶差数列: 50, 110, 194, 302, 434,……
3阶差数列: 60, 84, 108, 132,……
4阶差数列: 24, 24, 24,……
所以原数列为 4阶等差数列,24为该数列的 4阶公差.
已知数列{an}是2阶等差数列, 2阶公差为1,且 a1 1, a2 2 .
(1)已知数列{bn}是数列{an}的1阶差数列,求数列{bn}的通项;
(2)求数列{an}的通项公式;
1
(3)数列{cn}的前 n项和为 Sn, c1 1, cn (n≥ 2),证明:1≤ Sn 3.an 1
( 分)
2
已知点F 为抛物线C:x 2py ( p 0)的焦点,过F 的直线 l交C于点 P,Q.当 l的斜
率为1时, | PQ | 8 .
(1)求C的方程;
(2 2 2)已知圆H : x (y 1) 1.
(ⅰ)若直线m与C,H 都相切,求m的方程;
(ⅱ)点 N 是H 上的动点,点M 是 y 轴上的动点,若四边形MQNP为菱形,求所有满足条
件的点M 的纵坐标之和.
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