2023-2024学年福建省四地五校联考高一下学期4月期中数学试题（含解析）

2023-2024学年福建省四地五校联考高一下学期4月期中数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数其中为虚数单位对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知向量，，，若，则( )
A. B. C. D.
3.如图，平行四边形的对角线相交于点，为的中点，若，则等于( )
A. B.
C. D.
4.正四棱台的上、下底面边长分别是和，侧棱长是，则该棱台的体积是( )
A. B. C. D.
5.若向量，且，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
6.在中，边上的高等于，则( )
A. B. C. D.
7.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
8.在锐角中，角，，的对边分别为，，，的面积为，若，则的最小值为
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于非零向量，，下列命题正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
10.如图，已知正方体的棱长为，则下列四个结论正确的是( )
A. 直线与为异面直线 B. 平面
C. 正方体的外接球的表面积为 D. 三棱锥的体积为
11.在中，角，，所对的边分别为，，，且，若有唯一解，则的值可以是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，满足，，，则与的夹角为 ．
13.如图，在离地面高的热气球上，观测到山顶处的仰角为、山脚处的俯角为，已知，则山的高度为
14.在九章算术中，堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，阳马指底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥．如图，在堑堵中，，，则当堑堵的体积最大时，阳马的体积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数，复数在复平面内对应的向量为，
若为纯虚数，求的值；
若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围．
16.本小题分
中，角，，的对边分别为，，，．
求的大小；
若，且，是边的中线，求长度．
17.本小题分
如图，在四边形中，，，，且．
Ⅰ用表示；
Ⅱ点在线段上，且，求的值．
18.本小题分
如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点．
求证：；
求证：平面；
若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由．
19.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，且，．
Ⅰ求的大小；
Ⅱ若，求的面积；
Ⅲ求的最大值．
答案解析
1.【答案】
【解析】
解：，
对应的点为，在第四象限．
故选D．
2.【答案】
【解析】解：，，
，
，，
，
．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：由题意知
，
因为，
所以．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：由棱台的几何特征可得其高度为：，
则其体积：．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：因为，，，
所以，得，
所以，又，
所以，
，，
所以在上的投影向量为：
，
故选A．
6.【答案】
【解析】
解：设中角，，所对的边分别为，，，
则由题意得，
．
由余弦定理得
，
．
由正弦定理得．
故选D．
7.【答案】
【解析】解：根据题意作出图形：
设球心为，过，，三点的小圆的圆心设为，则平面，
延长交球于点，则，，平面，
，
，
是中点，
，
是边长为的正三角形，
，
．
故选A．
8.【答案】
【解析】解：因为，
所以，又，
所以．
由余弦定理得：，
即：．
由正弦定理得：．
所以，
，
所以，
因此，在锐角中，有，或舍去，即．
因为是锐角三角形，
所以，得，即，
所以，
当且仅当，即时取等号．
所以的最小值为．
故本题选A．
9.【答案】
【解析】解：选项，对于非零向量，，若，则，故A错误；
选项， ，故B正确；
选项，因为 ，则可得 ，
所以 或 或 ，故C错误；
选项，若，即有，
故有，故D正确．
故选BD．
10.【答案】
【解析】解：
直线与为异面直线，满足异面直线的定义，所以正确；
，平面，平面，
平面，所以正确；
正方体的外接球的半径为：，
所以正方体的外接球的表面积为：，所以正确；
三棱锥的体积为：，所以不正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】
解：因为，，有唯一解，
所以或，即
故选：．
12.【答案】
【解析】解：由，得，
即得，
则，
又，则可得与的夹角为．
13.【答案】
【解析】
解：根据题意，可得中，，，．
中，，，
，
由正弦定理，得，
在中，．
故答案为．
14.【答案】
【解析】
解：设，则，
，
当最大时， 体积最大，
，
当且仅当时，取最大值，
当堑堵的体积最大时，，
所以阳马的体积为．
故答案为．
15.【答案】
由题，则，
由为纯虚数得，
解得．
，
在复平面内的对应点在第四象限，则，即
解得．
【解析】由复数在复平面对应的向量得复数，再由复数的分类求得的值；
计算，由其在复平面内对应的点列出不等式组，解不等式组得的取值范围．
16.【答案】解：因为，
由正弦定理得：，，
所以由余弦定理得：，
因为，故；
法一：中线公式：由，
故，又，则，
故，故．
法二：由，故，
又，则由余弦定理得：，
故，，又，则，
由余弦定理得：，即，
故．
【解析】
由，结合正弦定理得到，再由余弦定理求出，即可求出的大小；
法一：先结合求出，再根据，则有，展开代入数据计算即可求解．
法二：先结合求出，然后由余弦定理求出，则，再根据，结合余弦定理建立关于的方程求解即可．
17.【答案】Ⅰ因为，
所以 因为，
所以

Ⅱ因为，
所以因为，
所以点共线．
因为，
所以．
以为坐标原点，所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
因为，，，
所以．
所以，．
因为点在线段上，且，
所以
所以．
因为，
所以．
【解析】Ⅰ直接利用向量的线性运算即可．
Ⅱ以为坐标原点，所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系可得代入各值即可．
18.【答案】证明：在四棱锥中，平面，平面，
平面平面，
；
取的中点，连接，，
是的中点，
，，
又由可得，且，
，，
四边形是平行四边形，
，
平面，平面，
平面．
取中点，连接，，
，分别为，的中点，
，
平面，平面，
平面，
又由可得平面，，、平面，
平面平面，
是上的动点，平面，
平面，
线段上存在点，使得平面．
【解析】
根据线面平行的性质定理即可证明；
取的中点，连接，，利用中位线的性质，平行四边形的性质，以及线面平行的判断定理即可证明；
取中点，连接，，根据线面平行的性质定理和判断定理即可证明．
19.【答案】解：因为，又，
所以，
所以，
所以，
因为，，
所以，
则．
因为，所以，
所以或舍去，
所以的面积为．
由，得，
因为，所以，
所以当且仅当时取等号．
设，则，所以，
设，
则在区间上单调递增，所以的最大值为，
所以，的最大值为．
【解析】
根据题意，由变形可得，进而可求的值；
由题意可得，解方程可得的值，进而根据三角形的面积公式即可得解；
由余弦定理，基本不等式可求，设，则，可得，设，由在区间上单调递增，可求的最大值．
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