试卷类型: A
商丘市部分学校2023-2024 学年 (下) 高一年级期末考试
数 学
考生注意:
1. 答题前, 考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上, 并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号. 回答非选择题时, 将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数 ,则 的虚部为（ ）
A. B. C. D.
2. 数据 的第 60 百分位数为（ ）
A. 7 B. 7. 5 C. 8 D. 8. 5
3. 某射击运动员每次射击命中十环的概率均为 ,若该射击运动员连续射击两次,且两次射击相互独立, 则至多有一次命中十环的概率为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知一个圆台的上底面半径为 1 , 下底面半径为 4 , 高为 4 , 则该圆台的体积为（ ）
A. B. C. D.
5. 一个不透明的盒子中装有大小、材质均相同的四个球, 其中有两个红球和两个黄球, 现从盒子中一次性随机摸取两个球, 则这两球不同色的概率为（ ）
A. B. C. D.
6. 某服装厂为了解本厂员工的收入情况, 财务部门统计了所有员工的月均工资 (单位: 万元) 情况, 并绘制成频率分布直方图如图所示, 则估计该服装厂所有员工月均工资的中位数为（ ）
A. 0.62 万元 B. 0.65 万元 C. 0.7 万元 D. 0.75 万元
7. 如图所示,测量人员在楼 的楼顶上的点 处测量塔 的高度.
已知点 在同一条直线上,在点 处测得塔顶 的仰角为 ,地面上的点 的俯角为 ,在点 处测得塔顶 的仰角为 ,则塔 的高度为（ ）
参考数据: .
A. B. C. D.
8. 已知 所在平面内一点 满足 ( 为非零实数),且 的面积为 12,则 的面积为（ ）
A. 12 B. 9 C. 6 D. 4
二、多项选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知复数 ,则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 在复平面内对应的点位于第四象限
C. 若 是实数,则
D. 若 ,则 在复平面内对应的点的轨迹为一条线段
10. 已知向量 ,则下列结论正确的是（ ）
A. 若 ,则 B. 存在 ,使得
C. 若 ,则 D. 当 时, 在 上的投影向量的模为
11. 如图,在四棱锥 中,底面 为菱形, , 为棱 的中点, 是棱 上一动点 (包含端点), 则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 平面 平面
C. 若四棱锥 的体积为 ,则四边形 的面积为
D. 在点 从点 向点 运动的过程中,点 到平面 的距离的最大值为
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知事件 和 互斥,且 ,则 .
13. 已知在 中,内角 所对的边分别为 ,若 ,且 , 则 .
14. 如图,在三棱锥 中, ,且 两两相互垂直,若以 为球心,作一个半径为 4 的球,所作球面被三棱锥的四个面——面 、面 、面 、面 截得的弧分别为 ,则 的长度之和为 .
四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
某社区组织了 300 人参加读书有奖测试活动, 参与者经过一段时间的读书学习之后, 参加社区组织的测试. 把他们的测试成绩 (满分 100 分) 整理后绘制成如图所示的频率分布直方图,所有成绩共分为 , 五组.
( I ) 求 的值;
(II) 估计这 300 人测试成绩的平均数; (每组数据以该组所在区间的中点值为代表)
(III) 在测试成绩为 的四组人中,按人数比例用分层随机抽样的方法抽取 57 人,求在测试成绩为 的这一组中抽取的人数.
16. (15 分)
如图,在正三棱柱 中, 分别为棱 的中点,且 .
(I) 证明: 平面 ;
(II) 求三棱柱 被平面 截得的两部分的体积.
17. (15 分)
如图,在四棱锥 中,底面 为正方形, ,且 底面 分别为棱 的中点.
(I) 求证: 平面 平面 ;
(II) 求二面角 的大小.
18. (17 分)
如图,在平面四边形 中, .
(I) 若 ,求 的面积;
(II) 若 ,求 的最大值.
19. (17 分)
张三参加某闯关比赛, 比赛分为三关, 每关都需要闯, 且在同一天内完成三关的闯关, 不能弃权. 比赛规则如下: 第一天三关都闯关失败者被淘汰; 第一天只有一关闯关成功者获得纪念奖并结束闯关;第一天三关都闯关成功者获得蓝牙耳机一副并结束闯关;第一天只有两关闯关成功者第二天可以重新参与闯关, 若该闯关者第二天三关都闯关成功, 则获得蓝牙耳机一副,否则获得纪念奖,并结束闯关. 已知张三每关闯关成功的概率均为 ,且前面各关闯关成功与否对后面的闯关没有影响.
(I) 求张三被淘汰的概率;
(II) 求张三第一天获得纪念奖的概率;
(III) 求张三第二天获得蓝牙耳机的概率.2023一2024学年（下）高一年级期末考试
数学(A卷)答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分
1.答案D
命题意图本题考查复数的运算与概念
2+i
解析因为22-干2-)2+d=号+，所以：的虚部为行
2.答案B
命题意图本题考查百分位数
解析这组数据从小到大排列为4456,77,899,9，又10x0.6=6,放这组数据的第60百分位数为宁87.5
3.答案A
命题意图本题考查对立事件的概率
解析连续射击两次，每次射击是相互独立的，则至多有一次命中十环的概率为1-号×号=1-治-号
25=25
4.答案C
命题意图本题考查圆台的体积计算
解析该圆台的体积V=号×4×(12+1×4+4)=28m
5.答案D
命题意图本题考查古典概型的概率，
解析将两个红球编号为1,2，两个黄球编号为3,4.一次性随机摸取两个球的情况有(1,2)，(1,3)，(1,4)，
(2,3),(2,4),(3,4),共6种，其中两球不同色的情况有(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，共4种，故两球不同色的
概率为P=合=号
6.答案C
命题意图本题考查频率分布直方图及中位数的计算
解析，(0.375+0.750)×0.2=0.225<0.5，(0.375+0.750+2.750)×0.2=0.775>0.5，∴.该服装厂所有
员工月均工资的中位数在[0.6,0.8)内，设中位数为a万元，则0.225+2.750×(a-0.6)=0.5,解得a=0.7,
故估计中位数为0.7万元
7.答案B
命题意图本题考查解三角形的实际应用，
解析由已知可得△1PB为等樱直角三角形，在△4PB中，AP=10m,P=5=1O0,反(m),由题知
一1
人PD乙D:5乙0P-30在△P0中.由正弦定理得费m.益物
sin30°
1002x2+
1
4=10(1+5)(m).在R△PcD中，cD=P0m60=10(1+5)x号=50(3+5)(m),
2
8.答案C
命题意图本题考查平面向量基本定理
解析如图所示，设BC的中点为N,连接MN,由条件知M+M元=2M示=AA店，.MN∥AB,而N为BC的中
点，，点C到直线AB的距离等于点M到直线AB的距离的2倍，∴.S△4c=2S么Aw=12,故S△Aw=6.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的
得0分.
9.答案AC
命题意图本题考查复数的概念及运算，
,i=1+21=-2+1
解析z=1-2i
5
5+51
对于A,=号)+（兮-故A正确：
对于B,=-
子-：在复平面内对应的点位于第三象限，故B错误：
5-
对于C,(a-i)=(-号+a-i)12+,要使(a-i)是实数，则2=0，解得a=-2.故C
5
正确：
对于D,1u-1=2“在复平面内对应的点的轨迹是以(-号，）为圆心，以2为半径的圆，故D错误
10.答案ACD
命题意图本题考查平面向量的运算与性质，
解折对于A,a/ 月如a-ma=0ma=停，又君≤a≤号a=君故A正确：
6
对于B,若a1b,则a·b=sinc+5cosa=0,解得tama=-尽，不清足石≤a≤受故B错误：
对于C,(a,b〉=7，.
分=1：h-血+8=m(a+号）又君<≤号号≤a+骨≤
2
6
则a+号-君即a=号故C正确：
2-
