2024年春季期高二期末教学质量监测
数学
(试卷总分150分，考试时间120分钟)
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、学校、班级、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2、答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
擦干净后，再选涂其它答案标号，
3,答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的，
1.集合A={x|x2+2x-3=0},B=1,3},则AUB=()
A.{1}
B.{3}
C.{-3,1,3}
D.{-1,1,3}
2.下列说法中，正确的是()
A.若a>b>0,c
B.若a>b,则日分
C.若b>a,m>0,则a+m>a
D.若ac2>bc2,则a>b
b+m b
3.已知命题p:∈1,2]，x2+ax-2>0,则p的一个必要不充分条件是()
A.a<-1
B.a>0
C.a>1
D.a>2
4.已知线性回归方程少=x+0.7相应于点(2,6.6)的残差为-0.1，则6的值为()
A.-3
B.3
C.-2.9
D.2.9
5.中国古代儒家要求学生掌握六种基本才能（六艺)：礼、乐、射、御、书、数.某校国学社团周
末开展“六艺”课程讲座活动，一天连排六节，每艺一节，则“射”与“数”之间间隔一艺的不
同排课方法总数有()
A.432种
B.240种
C.192种
D.96种
6.袋中有6个球，其中红黄蓝紫白黑球各一个，甲乙两人按序从袋中有放回的随机摸取一球，记事件
A:甲和乙至少一人摸到红球，事件B:甲和乙摸到的球颜色不同，则条件概率P(B|4)=()
B
c.
【高二数学
第1页（共4页）】
7.已知R上的可导函数f(x)的函数图象如图所示，则不等式f"()>0的解集为(
A.(-1,0)(1,+o)
B.(-0,-2)J(1,2)
C.(-o,-l1)(1,too）
D.(-1,1)LU(2,+∞)
-2-1
8.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，对于两个整数α，b,若它
们除以正整数m所得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a=b(modm)·若
a=C+C,×6+C%×62+.+C7×6”,a=b(mod8),则b的值可以是()
A.2021
B.2022
C.2023
D.2024
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分，
9.下列函数中最小值为4的是()
A.y=Inc+4
B.y=sinx+
x
sinx
x2+5
C.y=2+22-x
D.y=-
x2+1
10.已知随机变量X服从正态分布N(0,),定义函数f()为X取值不超过x的概率，即
f(x)=P(X≤x),若之0，则下列说法正确的有(
)
A.0)=
B.f(2x)=2f(x)
C.f(x)在(0，∞)上是增函数
D.P(X|≤x)=2f(x)-1
11.若函数f(x)=alnx-2x2+bx既有极小值又有极大值，则()
0
B.b>0
C.b2+16a>0
D.a-bk4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.甲、乙、丙、丁各自研究两个随机变量的数据，若甲、乙、丙、丁计算得到各自研究的两个随
机变量的线性相关系数分别为片=0.96,2=0.67,5=0.92,4=0.89，则这四人中，_研
究的两个随机变量的线性相关程度最高
13.
已知函数f(x)=lm(-x2+5x+6),则f(x)的定义域是
；单调增区间为
14.
已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(3x+3)为奇函数，记f'(x)为f(x)的导函数，若
(3)=1，则y=f(x)在点(-9，f(-9)处的切线一般式方程为
【高二数学第2页（共4页）】2024年春季期高二期末教学质量监测
数学参考答案及解析
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．【解答】依题意， A { 3，1}，而 B {1， 3}，所以 A B { 3，1，3}．故选：C．
2．【解答】对于 A a 2 b 1 c 2 d 1 a b，若 ， ， ， ，则 ，故 A错误．
c d
对于 B，若 a 0 b 1 1，则 0 ，故 B错误．
a b
a m a m(b a)
对于C， ，
b m b b(b m)
0 b a m 0 m(b a) 0 a m a若 ， ，则 ，即 ，所以C错误．
b(b m) b m b
对于 D，由 ac2 bc2，可知 c2 0，即 c2 0，所以 a b，故D正确．故选：D．
3．【解答】因为 x 2 [1， 2]， x2 ax 2 0，所以 a x 在 [1， 2]上恒成立，
x
y x 2只需 在 [1， 2]上的最大值小于 a，
x
因为 y x 2 2 在 [1,2]上单调递减，故 y x 在[1， 2]上的最大值为 1，所以 a 1，
x x
A选项既不是充分条件，也不是必要条件； B选项因为 a 1 a 0所以 a 0是 p的一个必要不充分条
件．正确；C选项 a 1是 p的充要条件；D.因为 a 2 a 1 ,所以 a 2是 p的充分不必要条件
故选： B．
4．【解答】由线性回归方程 y b x 0.7，取 x 2，得 y 2b 0.7，
又相应于点 (2,6.6)的残差为 0.1， 6.6 2b 0.7 0.1，解得 b 3．故选： B．
5．【解答】根据题意，“射”与“数”之间间隔一艺，有C14A
2
2 A
4
4 192种排课方法．故选：C．
6．【解答】袋中有 6个球，其中红黄蓝白黑球各一个，甲乙两人按序从袋中有放回的随机摸取一球，记事
件 A：甲和乙至少一人摸到红球，
则事件 A的基本事件个数为 6 6 5 5 11，事件 B：甲和乙摸到的球颜色不同，则事件 A B的基本事
件个数为11 1 10，则 P(B | A) 10 ，故选： A．
11
7．【解答】由函数 f (x)的图象可得，
当 x ( , 1)， (1, )时， f (x) 0，当 x ( 1,1)时， f (x) 0．
高二数学答案 第 1页（共 6页）
{#{QQABDYKAogAIAJAAAAgCUQX6CEEQkACAASgOAAAIMAAAQBFABAA=}#}
f (x) 0 f (x) 0
由 xf (x) 0 ①或 ②
x 0 x 0
解①得， x 1，解②得， 1 x 0，
综上，不等式 xf (x) 0的解集为 ( 1， 0) (1， )，故选： A．
8．【解答】已知 a C017 C
1
17 6 C
2 2
17 6 C
17 17
17 6 (1 6)
17 717
则 a (8 1)17 C0 8 17 ... C16 81 ( 1)1617 17 1，即 a除以 8所得的余数为 7，
显然 2023除以 8所得的余数为 7，即 b的值可以是 2023．故选：C．
二、多项选择题: 本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得 6 分，部分选对得部分分，选错或不选得 0 分．
9．【解答】当 lnx 0时， A显然错误；
令 t | sin x |，则 0 t 1， y t 4 2 t 4 4，当且仅当 t 2时取等号， B错误；
t t
y 2x 22 x 2 2x 22 x 4，当且仅当 x 1时取等号，C正确；
x2 5 4
由题意得 x2 1 0，故 y x 2 1 4，当且仅当 x 3 时取等号，D正确．
x2 1 x2 1
故选：CD．
10．【解答】因为 X ~ N (0,1)，所以 f (0) P(X 0) 1 ，故 A正确；
2
因 为 f (2x) P(X 2x) ， 2 f (x) 2P(X x) ， 当 x 0 时 ， f (x) P(X x) 1 ， 则 2 f (x) 1 ， 又
2
f (2x) P(X 2x) 1，所以 f (2x) 2 f (x)不成立，故 B错误；
x 0 ,当 x增大时 f (x) P(X x)也增大，所以 f (x)在 (0, )上是增函数，故C正确；
P(| X | x) P( x X x) 1 2P(X x) 1 2[1 f (x)] 2 f (x) 1 ，故D正确．
故选：ACD．
2
11 f (x) a 4x b 4x bx a．【解答】 ，
x x
f (x) alnx 2x2 bx既有极小值又有极大值， 4x2 bx a 0在 (0, )上有两个不同的实数根，
b2 16a 0
b
2 16a 0
b 0 ， b 0 ，
4
a a 0
0 4
高二数学答案 第 2页（共 6页）
{#{QQABDYKAogAIAJAAAAgCUQX6CEEQkACAASgOAAAIMAAAQBFABAA=}#}
b
0， b 0，b2 16a 0，显然 | a b | 4不一定成立． 故选： ABC．
a
三、填空题: 本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12．【解答】因为 | r1 | 0.96 | r3 | | r4 | | r2 |，所以这四人中，甲研究的两个随机变量的线性相关程度最高．
故答案为：甲．
13．【解答】由 x2 5x 6 0，解得 1 x 6，则定义域是（-1，6 ）
令 t x2 5x 6 5，其对称轴方程为 x ，图象是开口向下的抛物线，
2
t x2 5x 6 ( 1, 5则 在 ]上为增函数，
2
又 y lnt 5为定义域内的增函数，则 f (x)的单调增区间为 ( 1, ]．
2
5 5
故答案为：（-1，6 ）；( 1, ]．(备注：单调增区间为 ( 1, )也正确，答对第 1 个空得 2 分，第 2 个空得 3 分）
2 2
14．【解答】因为 f (x)是定义在 R上的偶函数，所以 f ( x) f (x) ①，且 f (3x 3)为奇函数，
f ( 3x 3) f (3x 3) ，所以 f ( x 3) f (x 3) ②，由①②可得 f (x) f (x 6) ，
即 f (x)的周期为 12，且 f （3） 0，所以 f ( 9) f （3） 0，
又 f ( x) f (x) ， f (x) f (x 6)，得 f ( 9) f ( 9 6) f ( 3) f (3) 1，
所以 y f (x)在点 ( 9， f ( 9))处的切线方程为： y 0 1 (x 9)，即 x y 9 0．
故答案为： x y 9 0．
四、解答题: 本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．【解答】（1）由题意知 n 9 ………………1分
在 ( x 3 )9的展开式中，令 x 1． ………………2分
x
得：（ 2）9 512，
( x 3因此 )9的展开式中，所有项的系数之和是 512 .………………4分
x
3 1 9 3r
（2） ( x )9展开式的通项：T C r (x 2 )9 r ( 3x 1r 1 9 )
r C r9 ( 3)
r x 2 (r 0,1,2, ,9)， ………7分
x
9 3r
令 0，解得 r 3， ………………8分
2
因此展开式中的常数项C39 ( 3)
3 2268 ………………10分
9 3r
要使C 39 (
9 3r
3)r x 2 为有理项，则 Z ， ………………11分
2
则 r 1,3,5,7,9，故展开式中有理项有 5项． ………………13分
高二数学答案 第 3页（共 6页）
{#{QQABDYKAogAIAJAAAAgCUQX6CEEQkACAASgOAAAIMAAAQBFABAA=}#}
16．【解答】（1）依题意男女同学人数的比例为 2 :1 a 10，所以 2，故 a 30， ………………1分
10 10
零假设H0 ：选择跑步项目类别与学生性别无关， ………………2分
2 (30 10 10 10) (30 10 10 10)
2 15
3.75 6.635， ………………5分（写对式子给以 1分）
(30 10) (10 10) (30 10) (10 10) 4
根据小概率值 0.01的独立性检验，没有充分证据推断出 H0 不成立，
因此可以认为 H0 成立，即认为选择跑步项目类别与学生性别无关． ………………7分
（2）抽取 8名同学中有 6名男生，2名女生， ………………8分
则 X 的所有可能取值为 0，1，2， ………………9分
C 2C0 15 C1C 1 0 2
则 P(X 0) 6 2 ,P(X 1) 6 2 12 3
C 6C2 1
C 2 28 C 2
,P(X 2) 2 ， ………………12分
8 8 28 7 C 8 28
则 X 的分布列为：
X 0 1 2
P 15 3 1
28 7 28
………………13分
E(X ) 0 15 3 1 1 1 2 ． ………………15分
28 7 28 2
1
, 1 x 0
x
17．【解答】（1） 函数 f (x) x2 2x, 0 x 3
2x 9, 3 x 4
f (3)=32-2 3=3，f (4)=-2 4+9=1，f (1) 1 2 1， ………………3分
f ( f (1)) f ( 1) 1 1． ………………4分
1
2 1（ ）①当 a 0时， f （ a） 1， a 1（舍去）， ………………5分
a
②当 0 a 3时， f （ a） a2 2a 1，解得 a 1 2， ………………7分
又 0 a 3， a 1 2 ， ………………8分
③当 3 a 4时， f （ a） 2a 9 1， a 4， ………………10分
综上所述， a的值为1 2或 4． ………………11分
高二数学答案 第 4页（共 6页）
{#{QQABDYKAogAIAJAAAAgCUQX6CEEQkACAASgOAAAIMAAAQBFABAA=}#}
（3）函数 f (x)的图象， ………………13分
如图：
由图象可知，函数 f (x)的值域为 ( ， 3]． ……………15分
18．【解答】（1）Y的所有可能取值为 3，4，5， …………1分
P(Y 3) (2)3 (1)3 1 ， ……………3分
3 3 3
P(Y 2 4) C2 ( )2 1 2 C2 (1)2 2 1 103 3 ， ………………5分3 3 3 3 3 3 27
P(Y 5) C2 2 2 1 1 1 8 24 ( ) ( ) ( ) ， ………………7分3 3 2 2 27
故Y的分布列为：
Y 3 4 5
P 1 10 8
3 27 27
………………8分
10 1 8
因为 > > ， 进行 4局比赛的可能性最大． ………………9分
27 3 27
P (2)2 (C2 1) 2 1 1 2（2）采用三局两胜时，甲获胜概率 1 3 ， ………………12分3 3 2 3 3
2 2 1
采用五局三胜时，甲获胜概率 P ( )3 (C32 4 1) ( )
3 C24 (
2)2 (1)2 1 20 ， ………………15分
3 3 3 3 3 2 27
P2 P1， ………………16分
如果我是甲队领队，采用五局三胜制． ………………17分
19 1．【解答】（1） f (x) ， ………………1分
x 1
g (x) m(2 x) mx 2m ， ………………2分
(2 x)2 (2 x)2
由题意可得， f (0) g (0)，解得m 2； ………………3分
（2 2x）证明：由（1）知， g(x) ，
x 2
令 (x) f (x) g(x) ln(x 1) 2x ( 1 x 0)， ………………4分
x 2
2
则 (x) 1 4 x 0， ………………5分
x 1 (x 2)2 (x 1)(x 2)2
(x)在其定义域 ( 1,0)内为单调递增函数， ………………6分
高二数学答案 第 5页（共 6页）
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又 (0) f (0) g(0) 0 ， ………………7分
时， (x) f (x) g(x) (0) 0 ，
即当 1 x 0时， f (x) g(x)； ………………8分
（3）令 h(x) 1 g(x) af (x) x aln(x 1)，则定义域是 ( 1, )，
2 x 2
h (x) 2 a ax
2 (2 4a)x (2 4a)
2 ． ………………9分(x 2) x 1 (x 1)(x 2)2
令 ax2 (2 4a)x 2 4a 0，△ 4(1 2a)
1
(i)当 a 时，△ 0，则 h (x) 0，
2
h(x)在 ( 1, )上单调递减，且 h(0) 0，
h(x)在 ( 1, )上存在 1个零点； ………………11分
(ii)当 0 a 1 时，△>0，
2
设方程 ax2 (2 4a)x 2 4a 0的两根分别为 x1， x2 ，且 x1 x2 ，
1
则 x1 x2 2( 2) 0 x x
1
，
a 1 2
2(2 ) 0，
a
所以 h (x)有两个零点 x1， x2，且 1 x1 0 x2 ， ………………12分
当 x (0, x1)时， h (x) 0， h(x)单调递减；
当 x (x1， x2 )时， h (x) 0， h(x)单调递增；
当 x (x2， )时， h (x) 0， h(x)单调递减；
故 h(x1) h（0） h(x2 )，且 h(0) 0，则 h(x1) 0 h(x2 )， ………………14分
1 1
h(e a 1) 2 0 ,h(e a 1) 2
1 1
又因为 1 1 0 ，且 1 e a 1 0 ea 1， ………………16分
e a 1 ea 1
1 1
故有 e a 1 x1 0 x2 ea 1，由零点存在性定理可知，
1 1
f (x)在 (e a 1, x1)恰有一个零点，在 (x2 ,ea 1)也恰有一个零点，
易知 x 0是 h(x)的零点，所以 h(x)恰有三个零点；
综上所述，当 a 1 1时，方程 g(x) af (x) 0有 1个解；
2 2
1 1
当 0 a 时，方程 g(x) af (x) 0有 3个解． ………………17分
2 2
高二数学答案 第 6页（共 6页）
{#{QQABDYKAogAIAJAAAAgCUQX6CEEQkACAASgOAAAIMAAAQBFABAA=}#}
