2024年春季期高一期末教学质量监测
数学
(试卷总分150分，考试时间120分钟)
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、学校、班级、准考证号填写在答题卡规定的位置上
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
擦干净后，再选涂其它答案标号，
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上，
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.复数z满足z=(2+)(i是虚数单位)，则在复平面内z对应的点位于()
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2.现有以下两项调查：①从40台刚出厂的大型挖掘机中抽取4台进行质量检测：②在某校800名
学生中，0型、A型、B型和AB型血的学生依次有300,200,180,120人，为了研究血型与色弱的
关系，需从中抽取一个容量为40的样本.完成这两项调查最适宜采用的抽样方法分别是()
A.①②都采用简单随机抽样
B.①②都采用分层随机抽样
C.①采用简单随机抽样，②采用分层随机抽样
D.①采用分层随机抽样，②采用简单随机抽样
3.某射击运动员在同一条件下射击的成绩记录如表所示：
射击次数
50
100
200
400
1000
射中8环以上的次数
44
78
158
320
800
根据表中的数据，估计该射击运动员射击一次射中8环以上的概率为()
A.0.78
B.0.79
C.0.82
D.0.80
北
4.如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿
正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°
处，且与它相距8√互n mile.此船的航速是（)n mile/h.
A.16
B.32
C.64
D.128
5.已知α，B是两个不同平面，m,n是两条不同直线，下列命题中不正确的是()
A.若m∥n,m⊥a,则n⊥a
B.若m⊥a,m⊥B,则a/1B
第4题图
C.若m/1a,a∩B=n,则mlln
D.若m⊥a,mcB,则a⊥B
【高一数学第1页（共4页）】
6.如图，在钝角△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,
A>乏，过点4作与A正垂直的单位向量，将与向量表
达式AC+CB=AB两边进行数量积的运算，即
方c+C⑧=方·B,化简后得到的结论是（)
a
A.
=-c
b
B.
第6题图
sinA sinC
sinB sinC
b
C.
a=b
sinA sin B
D.a
sin A sinB sinC
7.掷一枚质地均匀的骰子，记事件A=“出现的点数不超过3”，事件B=“出现的点数是3或5”，
事件C-“出现的点数是偶数”，则事件A、B与C的关系为()
A.事件A与B互斥
B.事件B与C对立
C.事件A与B独立
D.事件C与B独立
8.己知三棱锥P-ABC的所有顶点都在球O的球面上，AB=5,AC=3,BC=4,PB为球O的直
径，PB=10,则这个三棱锥的体积为()
A.30W3
B.10W3
C.155
D.55
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分.
9.关于非零向量ā，b,下列命题中，正确的是()
A.若回=同，则a=五
B.若a=-b,则a∥B
c.若a∥b,b∥c,则a∥c
D.若同>，则a>五
10.设z是z的共轭复数，下列说法正确的是（)
A.Iz.Hz
B.若z=1,则|z1
C.若引3H名21，则子=
D.z+z是实数
11.如图，四棱锥S-ABCD的底面为菱形，AB=D=3,DB=60°，SDL底面ABCD,P是SC上
任意一点（不含端点），O为BD的中点，则下列结论中正确的是（)
A.若SA∥平面PBD,则SAIIPO
B.B到平面SMc的距离为5
C.当P为SC中点时，过P,A,B的截面图形为直角梯形
D,当P为SC中点时，DP+PB有最小值
第11题图
【高一数学
第2页（共4页）】2024年春季期高一期末教学质量监测
数学参考答案及解析
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C D B C A C B
1. z i(2 i) 1 2i ∴复数 z在复平面内对应的点的坐标为 1,2 ，位于第二象限．故选:B．
2. 由题意对于①，40台刚出厂的大型挖掘机被抽取的可能性一样，故为简单随机抽样，对于②，为了研
究血型与色弱的关系，说明某校 800名学生被抽取的可能性要按照血型比例分层抽取，故为分层随机抽样.
故选：C.
3.大量重复试验，由表格知射击运动员射中 8环以上的频率稳定在0.8，所以估计这名运动员射击一次射中
8环以上的概率为0.8，故选：D.
4. 1 8 2设航速为 v n mile/h，在△ABS中，AB＝ 2 v，BS＝8 2 n mile，∠BSA＝45°，由正弦定理，得 ＝sin30
1 v
2 ，∴ v＝32 n mile/h．故选：B
sin 45
5. 对于 A，若m ，则取 内任意两条相交直线 a,b，使得m a，m b，又m//n，则 n a， n b，
由线面垂直的判定定理得 n ，故 A正确；对于 B，垂直于同一条直线的
两个平面平行，故 B正确；
对于 C，若m / / ， n，如图，设m AB，平面 A1B1C1D1为平面 ，
m / / ，设平面 ADD1A1为平面 ， A1D1 n，则m n，故 C错误；
对于 D，由面面垂直的判定定理可得，故 D正确；故选：C．
6.
a j sinC c j sin A，又 j 1， asinC csin A
a c
，即 .故选：A.
sin A sinC
7. 由题意可知： A 1,2,3 ,B 3,5 ，C {2，4，6}，因为 A B 3 ，所以事件 A与 B不可能是互斥，
又B C {2 1 1 1，3，4，5，6}，故 B、C不对立，因为 P(A) ,P(B) ，P(AB) ，所以有 P(AB) P(A)P(B)，
2 3 6
1
因此事件 A与 B独立，故 C正确；又 P(BC) 0，P(B) P(C) ，所以P(CB) P(B) P(C)，所以 B、C不
6
独立.故选 C.
高一数学答案 第 1页（共 6页)
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8. 如图所示，由条件△ABC为直角三角形，则斜边 AB的中点O1为△ABC的外
接圆的圆心，
5
连接OO 2 21得OO1 平面 ABC，OO1 BO BO1 3，2
OO1 / /PA， PA 2OO1 5 3， PA 平面 ABC，
1 1三棱锥的体积为 3 4 5 3 10 3．故选 B.
3 2
二、多项选择题: 本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对得 6分，部分选对得部分分，选错或不选的得 0分．
题号 9 10 11
答案 BC ABD ABC
9. 对于 A选项，若 a b ，但 a、b 不一定相等，A错；对于 B选项，若a b，则 a∥b，B对；
对于 C选项，由 b 0，则 a∥b，b//c成立，C对；对于 D选项，若 a b ，但 a、b 不能比较大小，
D错. 故选 BC.
10. 对于 A，令 z a bi， a， b R，则 z a bi，于是 z z (a bi)(a bi) a2 b2 | z z | | z |2，
所以 A正确；对于 B，令 z a bi， a， b R，则 z a bi z 1 ，因为 ，所以
z
z z (a bi)(a bi) a2 b2 1 | z |2 ,1 | z |，所以 B正确；对于C，令 z1 1， z2 i，满足 | z1 | | z2 |，
而 z21 1, z
2
2 1， z
2 2
1 z2 ，所以C 错误；对于 D，令 z a bi， a， b R，则 z a bi，
而 z z (a bi) (a bi) 2a 是实数，所以 D正确．故选： ABD．
11.∵ SA//平面 PBD， SA 平面 SAC ，平面PBD 平面 SAC PO，∴ SA//PO，A正确；
设 B到平面 SAC的距离为 h，则有 SA SC 3 2,AC 3 3，
V V 1 1 3 1 1 3 3 5∵ B SAC S ABC ，即 h 3 3 5 3 3 3 ，则 h ，B正3 2 2 3 2 2 5
确；当 P为 SC 中点时，如图 1，取 SD的中点M ，连接 PM , AM ,MB
1
则 PM //CD， PM CD，∵ AB∥CD，则 PM AB PM
1
/ / 且 AB，
2 2
∴过 P、A、B的截面为 ABPM ，取 AB的中点 Q，连结MQ，则
PM / /QB,且PM QB，故四边形MPBQ是平行四边形，因此，MQ//PB，
易证AB 平面MDQ，所以AB MQ，得AB PB，即四边形 ABPM
为直角梯形，C正确；
借助于侧面展开图，如图 2，连接DB交 SC 于点 P，此时DP PB为最小
值。若 P为 SC 中点时，∵ SD CD，则DP SC，∴ BC SB，这与题
意相矛盾，D错误；故选：ABC．
高一数学答案 第 2页（共 6页)
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三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
题号 12 13 14
1 28答案 2 3 5
75
12．由直线 a / /b，可得直线 a,b可以唯一确定一个平面，设该平面为 ，设 a c A,b c B，可得
A ,B ，因为 A c,B c，所以 c ，所以 a、b、c三条直线能确定的平面的个数是1个.
13. 【详解】比分为 1比 2时有三种情况：（1）甲第一次发球得分，甲第二次发球失分，乙第一次发球得
分（2）甲第一次发球失分，甲第二次发球得分，乙第一次发球得分（3）甲第一次发球失分，甲第二次发
球失分，乙第一次发球失分
3 2 2 2 3 2 2 2 1 28
所以概率为
5 5 3 5 5 3 5 5 3 75
14 2S 2 9 3
a
．因为内切圆半径 r 3 1，外接圆半径MA MB 2 3，由等边 ABC的
3a 3 6 2sin 60
内心为M ，则M也为 ABC的重心，且 MN 1，故 N 在以M 为圆心，
1为半径的圆上，所以 N轨迹在三角形内部，如下图示， AMB 120 ，
2
所以 NA NB (NM MA) (NM MB) NM NM (MA MB) MA MB
1 NM (MA MB) 2 3 2 3 cos120 NM (MA MB) 5，若D是 AB
中点，则 2MD MA MB，综上， NA NB 2NM MD 5，要使其最小，只需 NM ,MD反向共线，由
| NM | 1,|MD | 3，故 (NA NB)min 2 3 5 .
四、解答题：本大题共 5小题，满分 77分．解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤．
15．（1）由 a∥b可知， a,b两向量的夹角为0 或180 ， ……（1分）
当夹角为 0 时， a b a b cos0 1 2 2； ……（2分）
当夹角为180 时， a b a b cos180 1 2 ( 1) 2； ……（3分）
所以， a b 2 . ……（4分）
（2 ）由题意可知，若 a,b 60 ，则 a b a b cos a,b 1 2 cos60 1, ……（5分）
……（7分）
所以 a b 7 . ……（8分）
（3）由 a b与 a垂直可得 a b a 0，即 a b 1； ……（9分）
若 ka b a 2b ，则 ka b a 2b 0， ……（10分）
高一数学答案 第 3页（共 6页)
{#{QQABDYKEoggAAoBAAAgCUQXqCEIQkACACYgOxBAIMAAAwANABAA=}#}
即 ，得3k 9 0， ……（12分）
所以 k 3 ,当 k 3时， ka b a 2b . ……（13分）
b2 2 216．（1）由b2
c a bc 1
c2 a2 bc， cos A ， ……（4分，列公式得 2分，结果得 2分）
2bc 2bc 2
由 A 0, π ， ……（5分）
A π ； ……（6分）
3
（2） sinC 2sin B， 由正弦定理得 c 2b①， ……（8分）
又b2 c2 4 bc，②， 联立 ①② ……（10分）
2 3 4 3
解得b , c ， ……（12分）
3 3
S 1 1 2 3 4 3 3 2 3 ABC bcsin A . ……（15分，列公式得 1分，结果得 2分）2 2 3 3 2 3
17.（1）在正三棱柱 ABC - A1B1C1中，
因为 AA1 平面 ABC， BD 平面 ABC，所以 AA1 BD . ……（2分）
因为 ABC为等边三角形，D为 AC的中点，所以 AC BD . ……（4分）
又因为 AA1 AC A， AA1, AC 平面 AA1C1C， ……（5分）
所以 BD 平面 AA1C1C； ……（6分）
又因为AC1 平面AA1C1C，所以 BD AC1， ……（7分）
所以直线 BD与 AC1所成角的大小为90 . ……（8分 ）
法 2：取 CC1 的中点 E，连结 DE，BE，又D为 AC的中点，所以 DE为 ACC1 的中位线，
DE//AC1 ，故 BDE为直线BD与AC1的所成角（或其补角） ……（3分）
设 AC=2a,CC1=2b,因为 ABC为正三角形，所以 BD 3a ， ……（4分）
在Rt CDE中，DE a2 b2 ,在Rt BCE中，BE 4a2 b2 ……（6分）
所以 BE2=BD2+DE2 ， BDE 90 , ……（7分）
所以直线 BD与 AC1所成角的大小为90 . ……（8分）
（2）由（1）知，BD 平面 AA1C1C，所以 BC1D 即为直线 BC1与平面 AA1C1C所成的角，……（10分）
设等边△ABC的边长为 2，则CC1 AA1 AB BC 2， ……（11分）
所以在 Rt△BC1D中， BD 3， BC1 2 2， ……（13分）
高一数学答案 第 4页（共 6页)
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所以 sin BC
BD 3 6
1D . ……（14分）BC1 2 2 4
6
即直线 BC1与平面 AA1C1C所成的角的正弦值为 . ……（15分）
4
另解（2）如果用法 2 证明（1），解答如下：
在正三棱柱 ABC - A1B1C1中，因为 AA1 平面 ABC， BD 平面 ABC，所以 AA1 BD .
因为 ABC为等边三角形，D为 AC的中点，所以 AC BD . ……（10分）
又因为 AA1 AC A， AA1, AC 平面 AA1C1C，
所以 BD 平面 AA1C1C；所以 BC1D 即为直线 BC1与平面 AA1C1C所成的角， ……（12分）
设等边 ABC的边长为 2，则CC1 AA1 AB BC 2，
所以在 Rt△BC1D中， BD 3， BC1 2 2， ……（13分）
sin BC D BD 3 6所以 1 .BC1 2 2 4
即直线 BC1与平面 AA1C
6
1C所成的角的正弦值为 . ……（14分）
4
18．（1）设这m人的平均年龄为 x，则
x 22.5 0.05 27.5 0.35 32.5 0.3 37.5 0.2 42.5 0.1 32.25（岁）.……（3分，列对式子得 1分，结
果得 2分） ……（3分）
设第 80百分位数为 a，分数低于 35分占 0.05+0.35+0.3=0.7<0.8,
分数低于 40分占 0.05+0.35+0.3+0.2=0.9＞0.8，故 a （35，40）， ……（4分）
所以 0.7 (a 35) 0.04 0.8，解得 a 37.5 . ……（6分）
0.8 0.7
或者 35+ 5 =37.5
0.9 0.7
（2）（i）由题意得，第四组应抽取 4人，记为A， B，C，甲，第五组抽取 2人，记为D，乙，
……（7分）
对应的样本空间为：
{(A,B),(A,C),(A,甲),(A,乙),(A,D),(B,C),(B,甲),(B,乙),(B,D),(C,甲),(C,乙),
(C,D),(甲,乙),(甲,D),(乙,D)}，共 15个样本点. ……（9分）
设事件M “甲、乙两人至少一人被选上”，则
M {(A,甲),(A,乙),(B,甲),(B,乙),(C,甲),(C,乙),(甲,乙),(甲,D),(乙,D)}，共有 9个样本点 .……（11分）
高一数学答案 第 5页（共 6页)
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P(M ) n(M ) 3所以， n( ) 5 . ……（12分）
（ii 2 2）设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为 x4， x5，方差分别为 s4 ， s5 ，
5
则 x4 37， x5 43， s
2
4
2
， s5 1，2
设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为 z ，方差为 s2 .
z 4x4 2x则 5 39， ……（14分）
6
s2 1 4 s2 2 2 x 2 4 z 2 s x 5 z 10 ， ……（16分）6 4 5
因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为 10，
据此，可估计这m人中年龄在 35至 45岁的所有人的年龄方差约为 10. ……（17分）
19. （1）由BB 底面圆O，且l 底面圆O，∴ BB l， ……（2分）
又因为 AB l， AB,BB 平面 ABB ， AB BB B ……（4分）
∴ l 平面 ABB ……（5分）
而 AB 平面 ABB ，则 AB l。 ……（6分）
（2）①因为 AB l且 AB l，所以 B AB为平面 与底面二面角的平面角 ……（8分）
π
又因为 AB AA 2，所以 B AB . ……（9分）
4
过点 M做 MF垂直于直线 l垂足为 F，连接 NF，
由MN 底面O，则MN l,又MF l，且MN MF M， l 平面MNF，所以FN l
则 NFM B AB π ，MN FM ， ……（12分）
4
作 ME垂直于直径 AB垂足为 E，四边形 AFME为矩形， AE FM
∵ AB 2，则底面圆 O半径OA 1
又因为A M x，所以 AOM x,当x 0, 时，OE cos x， AE OA OE 1 cosx ， 2
FM 1 cos x， ……（14分）
当x ， 时，OE cos( x) cos x, AE OA OE 1 cos x,FM 1 cos x, 2
同理，当x ( , 2 )时，也有FM 1 cos x ……（15分）
又∵MN FM ，∴MN 1 cos x，∴ y 1 cos x， x 0,2π ……（17分）
（ 注：若没有给出 x的取值范围扣 1 分,范围是两边都闭或一开一闭都可以。）
高一数学答案 第 6页（共 6页)
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