人教版高中数学选择性必修第一册-直线与椭圆的位置关系-课时作业（含解析）

课时作业-直线与椭圆的位置关系（原卷版）
时间：45分钟
一、选择题
1．已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是( 　)
A．相交 B．相切
C．相离 D．相切或相交
2．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则椭圆C的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
3．直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
4．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(　　)
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
5．若AB为过椭圆＋＝1中心的线段，F1为椭圆的焦点，则△F1AB面积的最大值为(　　)
A．6 B．12
C．24 D．48
6．已知A，B是椭圆＋＝1(a＞b＞0)长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k1，k2(k1k2≠0)，若椭圆的离心率为，则|k1|＋|k2|的最小值为(　　)
A．1 B．
C． D．
7．已知椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交椭圆C于点B，若＝3，则||＝(　　)
A． B．2
C． D．3
8．(多选题)已知直线y＝3x＋2被椭圆＋＝1(a>b>0)截得的弦长为8，则下列直线中被椭圆截得的弦长也为8的是(　　)
A．y＝3x－2 B．y＝3x＋1
C．y＝－3x－2 D．y＝－3x＋2
二、填空题
9．椭圆＋＝1的右焦点到直线y＝x的距离是___________.
10．过椭圆＋＝1的右焦点F作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为___________.
11．设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为___________.
三、解答题
12．已知椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．
(1)求椭圆C2的方程；
(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，＝2，求直线AB的方程．
13．已知离心率为的椭圆E：＋＝1(a>b>0)经过点A.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若不过点A的直线l：y＝x＋m交椭圆E于B，C两点，求△ABC面积的最大值．
14．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
15．过点M(－2,0)的直线m与椭圆＋y2＝1交于P1，P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为(　　)
A．2 B．－2
C． D．－
16．已知椭圆C的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x轴上，若右焦点到直线x－y＋2＝0的距离为3.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l的方程为y＝x＋m，是否存在实数m，使直线l与椭圆C有两个不同的交点M，N，且|AM|＝|AN|，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
课时作业-直线与椭圆的位置关系（解析版）
时间：45分钟
一、选择题
1．已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是(　C　)
A．相交 B．相切
C．相离 D．相切或相交
2．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则椭圆C的离心率为(　A　)
A． B．
C． D．
解析：以线段A1A2为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2，
该圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，
∴＝a，即2b＝，
∴a2＝3b2，∵a2＝b2＋c2，∴＝，∴e＝＝，故选A．
3．直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为(　B　)
A． B．
C． D．
解析：方法一：不妨设直线l过椭圆的上顶点(0，b)和左焦点(－c,0)，b>0，c>0，则直线l的方程为bx－cy＋bc＝0，由已知得＝×2b，解得b2＝3c2，又b2＝a2－c2，所以＝，即e2＝，所以e＝或e＝－(舍去)．
方法二：不妨设直线l过椭圆的上顶点(0，b)和左焦点(－c，0)，b>0，c>0，则直线l的方程为bx－cy＋bc＝0，由已知得＝×2b，所以＝×2b，所以e＝＝，故选B．
4．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(　D　)
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
解析：因为直线AB过点F(3,0)和点(1，－1)，所以直线AB的方程为y＝(x－3)，代入椭圆方程＋＝1消去y，得x2－a2x＋a2－a2b2＝0，所以AB的中点的横坐标为＝1，即a2＝2b2，又a2＝b2＋c2，所以b＝c＝3，a2＝18，故选D．
5．若AB为过椭圆＋＝1中心的线段，F1为椭圆的焦点，则△F1AB面积的最大值为(　B　)
A．6 B．12
C．24 D．48
解析：如图，S△ABF1＝S△AOF1＋S△BOF1＝2S△AOF1.
又∵OF1＝c＝3为定值，∴点A与(0,4)重合时，OF1边上的高最大，
此时S△AOF1的面积最大为×4×3＝6.
∴S△ABF1的最大值为12，故选B．
6．已知A，B是椭圆＋＝1(a＞b＞0)长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k1，k2(k1k2≠0)，若椭圆的离心率为，则|k1|＋|k2|的最小值为(　A　)
A．1 B．
C． D．
解析：设M(x，y)，N(x，－y)(－a＜x＜a)，则k1＝，k2＝，又因为椭圆的离心率为，所以＝＝，|k1|＋|k2|＝＋≥
2＝＝1，故选A．
7．已知椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交椭圆C于点B，若＝3，则||＝(　A　)
A． B．2
C． D．3
解析：设点A(2，n)，B(x0，y0)．由椭圆C：＋y2＝1知a2＝2，b2＝1，∴c2＝1，即c＝1.∴右焦点F(1,0)．由＝3得(1，n)＝3(x0－1，y0)．∴1＝3(x0－1)且n＝3y0.∴x0＝，y0＝n.将x0，y0代入＋y2＝1，得×2＋2＝1.解得n2＝1，∴||＝＝＝，故选A．
8．(多选题)已知直线y＝3x＋2被椭圆＋＝1(a>b>0)截得的弦长为8，则下列直线中被椭圆截得的弦长也为8的是(　ACD　)
A．y＝3x－2 B．y＝3x＋1
C．y＝－3x－2 D．y＝－3x＋2
解析：作出椭圆和有关直线(图略)，由于椭圆关于坐标轴、坐标原点对称，而A、C、D中的直线与直线y＝3x＋2或关于原点对称或关于坐标轴对称，所以它们被椭圆截得的弦长相等，故应选ACD．
二、填空题
9．椭圆＋＝1的右焦点到直线y＝x的距离是.
解析：已知椭圆的右焦点为(1,0)，它到直线x－y＝0的距离为＝.
10．过椭圆＋＝1的右焦点F作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为.
解析：由a2＝5，b2＝4，得c2＝1，则右焦点F的坐标为(1,0)，直线AB的方程为y＝2(x－1)．由得3x2－5x＝0，解得x＝0或x＝，所以|AB|＝×＝，又点O到直线AB的距离为d＝＝，因此S△OAB＝××＝.
11．设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为x2＋y2＝1.
解析：不妨设点A在第一象限，如图，
∵AF2⊥x轴，∴A(c，b2)(其中c2＝1－b2,0＜b＜1，c＞0)．
又∵|AF1|＝3|F1B|，
∴由＝3，得B，
代入x2＋＝1，得＋＝1，
又c2＝1－b2，∴b2＝.
故椭圆E的方程为x2＋y2＝1.
三、解答题
12．已知椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．
(1)求椭圆C2的方程；
(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，＝2，求直线AB的方程．
解：(1)由已知可设椭圆C2的方程为＋＝1(a>2)，
其离心率为，故＝，解得a＝4，
故椭圆C2的方程为＋＝1.
(2)若将A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，
由＝2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx.
将y＝kx代入到＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，
所以x＝.
将y＝kx代入到＋＝1中，得(4＋k2)x2＝16，
所以x＝.
又由＝2，得x＝4x，即＝，
解得k＝±1.故直线AB的方程为x－y＝0或x＋y＝0.
13．已知离心率为的椭圆E：＋＝1(a>b>0)经过点A.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若不过点A的直线l：y＝x＋m交椭圆E于B，C两点，求△ABC面积的最大值．
解：(1)因为＝，所以设a＝n，c＝n，则b＝n，椭圆E的方程为＋＝1.代入点A的坐标得＋＝1，n2＝1，
所以椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)设点B，C的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
由得x2＋2＝2，
即x2＋mx＋m2－1＝0，x1＋x2＝－m，x1·x2＝m2－1，Δ＝2m2－4(m2－1)>0，m2<2.
|BC|＝＝
＝，
点A到直线l的距离d＝，
△ABC的面积S＝|BC|·d＝
·＝≤
·＝，
当且仅当m2＝2－m2，即m2＝1时等号成立．
所以当m＝±1时，△ABC面积取最大值为.
14．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是(　A　)
A． B．
C． D．
解析：设左焦点为F0，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形．
∵|AF|＋|BF|＝4，∴|AF|＋|AF0|＝4，∴a＝2.设M(0，b)，则≥，∴1≤b<2.∴离心率e＝＝＝＝∈，故选A．
15．过点M(－2,0)的直线m与椭圆＋y2＝1交于P1，P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为(　D　)
A．2 B．－2
C． D．－
解析：设P(x0，y0)，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，过点M(－2,0)的直线m的方程为y－0＝k1(x＋2)，代入椭圆的方程化简得(2k＋1)x2＋8kx＋8k－2＝0，∴x1＋x2＝，∴点P的横坐标为，纵坐标为k1(x0＋2)＝，即P，
直线OP的斜率k2＝.∴k1k2＝－，故选D．
16．已知椭圆C的一个顶点为A(0，－1)，焦点在x轴上，若右焦点到直线x－y＋2＝0的距离为3.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l的方程为y＝x＋m，是否存在实数m，使直线l与椭圆C有两个不同的交点M，N，且|AM|＝|AN|，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)依题意，设椭圆的方程为＋y2＝1(a>1)，右焦点为(c,0)，则由点到直线的距离公式得＝3，∴c＝，∴a2＝b2＋c2＝3.∴椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)不存在，理由如下：
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由
消去y并整理得4x2＋6mx＋3m2－3＝0，
∴x1＋x2＝－m，x1x2＝，
∴y1＋y2＝x1＋m＋x2＋m＝－m＋2m＝.
由题意知Δ>0，即(6m)2－4×4×(3m2－3)>0，
解得－2∵|AM|＝|AN|，
∴＝，
整理得(x1＋x2)(x1－x2)＋(y1－y2)(y1＋y2＋2)＝0，
∴－m(x1－x2)＋(y1－y2)＝0，
∴[x1＋m－(x2＋m)]＝m(x1－x2)，
即(x1－x2)＝m(x1－x2)，
又x1≠x2，∴m＝＋2，解得m＝2.
∵m＝2不满足－2