2024年深圳市普通高中高二年级调研考试
数学试题参考答案及评分标准
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C A D D C D B
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
9．AC 10．ABD 11．ACD
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12．3π 13． ( 4 ,1) 14． 7
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．解：（1）当 n 1时， an 1 [(an 1 an ) (an an 1) ... (a2 a1)] a1 ....................................2分
[(8n 4) (8(n 1) 4) ... (8 1 4)] 3 8[n (n 1) ... 2 1] 4n 3
n(n 1)
8 4n 3 4(n 1)2 1，.................................................................................................. 5分
2
又因为 a1 3，
所以 an 4n
2 1， n N ；..................................................................................................................7分
1 1 1 1
（2） 2 (
1 1
)
a 4n 1 (2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1 ，............................................................. 10分n
S 1 [(1 1) (1 1) ... ( 1 1n )]2 1 3 3 5 2n 1 2n 1
1 1
(1 )
2 2n 1
n
．............................................................................................................................................. 13分
2n 1
16 A．证：（1）（法一）连结 AP并延长交 BD于点 N，连结 NC，
过点M 作ME的平行线交 AN 于点 E，
因为 EM //BD，且M ， P分别是 AD， BM 的中点，
所以 AE EN ， EP PN ， E M
即得 AP 3PN ，...................................................................................................P................................ 3分
又因为 AQ 3QC，
B Q D
所以 PQ//NC， N
又因为 PQ 平面 BCD， NC 平面 BCD，
所以 PQ//
C
平面 BCD．...........................................................................................................................7分
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（法二）过点 P作 AD的平行线交 BD于点 N，过点Q作 AD的平行线交CD于点 E，A
因为 P是 BM 的中点，
所以 PN //MD且MD 2PN ，
因为 AQ 3QC，M 是 AD的中点，
所以QE //AD且MD 2QE ，.......................................................................................................M........ 3分
则 PN //QE且 PN=QE
P
， Q
所以四边形QPNE 为平行所以四边形， B D
所以 PQ//NE N，
又因为 PQ 平面 BCD， NE 平面 BCD E， C
所以 PQ//平面 BCD．...........................................................................................................................7分
解：（2）（法一）取CD的中点为T，连结 BT ，过点T作CM 的垂线，垂足为 S，连结TS，
因为 AD 平面 BCD， BT 平面 BCD， A
所以 AD BT ，
因为 BC BD，所以 BT CD，
AD CD D， M
所以 BT 平面 ACD， P
所以 BT CM ， Q
又因为TS CM ， BT TS T ， B S D
所以CM 平面 BTS ， T
所以CM BS ， C
则 BST 为平面 BCM 与平面 ACD的夹角，................................................................................... 11分
设 BD 2CD 2，则 BT BD2 15 BT 2 ，
2
CT 2
在△CTS 中，TS ，
2 4
BST BS BT 2 ST 2 62 cos BST ST 31在△ 中， ， ．
4 BS 31
31
所以平面 BCM 与平面 ACD夹角的余弦值为 ．......................................................................15分
31
（法二）取CD的中点为T，连结 BT ，
设TD t，以T 为坐标原点，分别以TD，TB，垂直于平面 BCD的直线为 x， y， z轴建立空间直
角坐标系，如图．
那么T 0,0,0 ， D(t , 0 , 0)，C( t , 0 , 0)， B(0 , 15t , 0)， A(t , 0 , 4t)，M (t , 0 , 2t)，.......... 10分
z
设平面 BMC的法向量为m (x, y, z)，因为CB (t , 15t , 0)，CM (2t , 0 , 2t)，
A
m CB 0 tx 15ty 0
所以 ，即 ．
m CM 0 2tx 2tz 0
M x
令 x 1，则 y 15 ， z 1，..........................................................................P.............................. 12分15
y
Q
B D
T
第 2 页 共 7 页 C
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15
所以平面 BCM 的一个法向量为m (1 , , 1)．
15
设平面 BCM 与平面的二面角的平面角为 ，
因为平面 ACD的法向量为TB (0 , 15t , 0) ，...............................................................................13分
cos |m T B | t 31
m |TB | 31 31 ．
15t
15
BCM ACD 31所以平面 与平面 夹角的余弦值为 ．......................................................................15分
31
17．解：（1）记“该同学得分为8分”为事件 B，“该同学只射击了 2发子弹”为事件 A，
1 1 1
则 P(AB) ，........................................................................................................................ 2分
4 4 16
P(B) 1 1 1 1 1 1 ，..............................................................................................................4分
4 4 2 2 4 8
P(A | B) P(AB) 1由条件概率公式得 P(B) 2 ............................................................................................ 6分
（2）最终得分 X 的所有可能取值为 0， 4，8，12，16， 20， 24，
则 P(X 0)
1
，
4
P(X 8) 1 1 1 1 1 1 ，
4 4 2 2 4 8
P(X 4) 1 1 1 ，
2 4 8
P(X 12) 1 1 1 C1 1 1 1 32 ，2 2 2 4 2 4 16
P(X 16) 1 1 1 C1 1 1 1 13
4 4 4 3
，
2 2 4 64
P(X 24) 1 1 1 1 ，
4 4 4 64
P(X 20) C1 1 1 1 33 ，......................................................................................................13分4 4 2 32
注： X 每个取值的概率计算对 1个，给 1分．
该同学的最终得分的分布列为
X 0 4 8 12 16 20 24
1 1 1 3 13 3 1
P
4 8 8 16 64 32 64
................................................................................................................................................................ 14分
1 1 1 3
最终得分 X 的数学期望 E(X ) 0 4 8 12 16
13 20 3 24 1 37 .
4 8 8 16 64 32 64 4
................................................................................................................................................................ 15分
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18 1 f (x) 2(x 1)
2 a 2
．解：（ ） ， x (0 , )，.....................................................................2分
x
（i）当 a 2时， f (x) 0， f (x)在区间 (0 , )上单调递增；..................................................4分
（ii）当 0 a 2时，令 f (x) 0 x
a a
得， 1 1 1 ， x2 2
1 1 ， 0 x1 1 x2 2
，
当 x (0 , 1 1 a ) 和 (1 a 1 , ) 时， f (x) 0， f (x)单调递增，
2 2
当 x (1 a 1 , 1 1 a ) 时， f (x) 0 ， f (x)单调递减；.......................................................... 6分
2 2
a 0 f (x) 0 x 1 1 a（iii）当 时，令 得， 1 ， x2 1 1
a
， x1 0， x2 2 2
2，
当 x a (0 , 1 1 ) 时， f (x) 0， f (x)单调递减，
2
x (1 1 a当 , ) 时， f (x) 0， f (x)单调递增；................................................................... 8分
2
综上所述，当 a 2时， f (x)在区间 (0 , )上单调递增；
当 0 a 2时， f (x) a a在区间 (0 , 1 1 ) 和 (1 1 , ) 上单调递增，
2 2
a a
在区间 (1 1 , 1 1 ) 上单调递减；
2 2
a a
当 a 0时， f (x)在区间 (0 , 1 1 ) 上单调递减，在区间 (1 1 , ) 上单调递增．
2 2
（2）（i）当 a 2时， f (x)在区间 (0 , )上单调递增，
因为 f (1) 3 0 ， f (4) a ln 4 0，
所以 f (x)在区间 (1 , 4)存在唯一的零点；........................................................................................ 10分
（ii）当 0 a 2时，令 f (x) 0得， x1 1 1
a x 1 1 a ， 2 ，2 2
且 0 x1 1 x2 2 ， x1 x2 2
a
， x1x2 ，2
f (x)在区间 (0 , x1)和 (x2 , )上单调递增，在区间 (x1 , x2 )上单调递减，
f (x1) a ln x1 x
2
1 4x1 2x1x2 ln x1 x
2
1 4x1 2x1(2 x1) ln x1 x
2
1 4x1 x1[(4 2x1) ln x1 x1 4] ，12分
设 h(x) (4 2x) ln x x 4， x (0 , 1)，........................................................................................... 13分
则 h (x)
4
2ln x 1，易知 h (x)在区间 (0 , 1)上单调递减，
x
所以 h (x) h (1) 3 0 ， h(x)在区间 (0 , 1)上单调递增，
所以 h(x) h(1) 3 0．
因为 0 x1 1，
所以 f (x1) x1[(4 2x1) ln x1 x1 4] 0 ．........................................................................................... 15分
因为 f (x)在区间 (0 , x2 )上的最大值 f (x1) 0，所以 f (x)在此区间无零点；
因为 f (x)在区间 (x2 , )上单调递增， f (x2 ) 0， f (4) a ln 4 0，
所以 f (x)在区间 (x2 , 4)上存在唯一的零点．
综上（i）（ii），即证得当 a 0时函数 f (x)有且仅有一个零点．................................................. 17分
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19．解：（1）由直线 l过点M 易得直线 l的方程为 y
1
x 1，
2
设 P(xP , yP )，Q(xQ , yQ )，
y
1
x 1
2 a2
联立 2 2 ，消去 y并整理得 (b
2 )x2 a2x a2 a2b2 0 ，Δ 0，.........................2分
x y
2 2 1
4
a b
2
x x a
由韦达定理可得 P Q
2 2
2 a ，整理得 a
2 4b2 ，
b
4
又因为 2c 2 3 ， a2 b2 c2 ，
解得 a 2， b 1，
x2
所以椭圆 E的方程为 y2 1；...................................................................................................... 4分
4
（2）（i）不妨设 AB // CD， AB的中点为G，CD的中点为 H ，
设 A(x1, y1)， B(x2 , y2 )，C(x3 , y3 )，D(x4 , y4 )，
2 2
AB x1 y1 1 x
2 y 2
由题知可得直线 斜率必存在， 2 2
a2
b2
，
a2
2 1，b
(x x )(x x ) (y y )(y y )
以上两式相减得 1 2 1 2 1 2 1 2
a2
2 0，b
(y1 y )(y
2 2
移项得 2 1
y2 ) b b2 ，即 kAB kOG 2 ，.......................................................................6分(x1 x2 )(x1 x2 ) a a
2
同理 k bCD kOH ，a2
又因为 AB // CD，所以 kAB kCD，
因此 kOG kOH ，即O，G， H 三点共线，.......................................................................................8分
又因为四边形 ABCD是梯形，且 AC与 BD交与M ，
由平面几何知识可知M ，G，H 三点共线，.................................................................................. 9分
即得证G，H ，O，M 四点共线；................................................................................................ 10分
1 1
（ii）由（i）易知 kOG kOH kOM ，所以 kAB k2 CD
，
2
1 1
设直线 AB的方程为： y x m，直线CD的方程为： y x n，
2 2
y 1 x m
2
联立 2 ，消去 y并整理得 2x
2 4mx 4(m2 1) 0 ，
x y2 1
4
由韦达定理得 x1 x2 2m，不妨设 x m 2 m2 ， x m 2 m 21 2 ，
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同理 x3 x4 2n， x n 2 n23 ， x4 n 2 n
2 ，
1
x 14 n ( x2 m)
k y4 y2 1 1 2n 2mBD 2 2 x4 x2 x4 x2 2 2 x4 x2
1 1 (x3 x4 ) (x1 x2) 1 1 (x4 x2) (x x 3 1
) 1 x3 x 1
2 2 x4 x2 2 2 x4 x2 2 x4 x2
1 n 2 n2 (m 2 m2 ) 1 n m 2 m2 2 n2
，
2 n 2 n2 (m 2 m2 ) 2 n m 2 n2 2 m2
1 y 1 1 x m 1 1 2 2 (m 2 m
2 ) m 2
k 2 1 1 m 2 mBM 2 2 2 2 ，1 x2 1 x2 1 (m 2 m2 ) 2 1 m 2 m2
因为 kBM kBD ，
1 n m 2 m2 2 n2 1 1 m 2 m2
所以 ，
2 n m 2 n2 2 m2 2 1 m 2 m2
化简得 ( 2 m2 2 n2 )(1 m) 2 m2 (n m) ，
即 2 m2 (1 n) 2 n2 (m 1) ，
上式两边同时平方化简得 2mn 3(m n) 4 0．..........................................................................13分
设梯形两腰 AD与 BC的交点为T，
1
由平面几何知识易知T，G，H 三点共线，故设T (x0 , x )，2 0
dM AB AB dH AB
由△MAB △MCD，△TAB △TCD可得 d CD d ，M CD H CD
（注： dM AB 为M 到的直线 AB的距离， dM CD 为M 到直线CD的距离， dT AB 为T 到的直线 AB的
距离， dT CD 为T到直线CD的距离）
2 m 1 y
dM AB 5 m 1 ，
d 2M CD n 1 n 1 A T
5 G
D
2 Bm x M
d 0T AB 5 m x 0
d 2
， O x
T CD n x n x0 H
5 0
m 1 m x C0
所以 ，
n 1 n x0
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{#{QQABRYIEgggoAIIAAQgCUQEKCEAQkAEAAagOgBAEIAAAAQFABAA=}#}
m 1 m x m 1 m x
则
0 0
n 1 n x ，0 n 1 n x
（舍），
0
化简得 2mn (x0 1)(m n) 2x0 0 ，.............................................................................................15分
结合 2mn 3(m n) 4 0，可得 x0 2，
故直线 AD与直线 BC的交点为定点T (2 ,1)．.................................................................................17分
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{#{QQABRYIEgggoAIIAAQgCUQEKCEAQkAEAAagOgBAEIAAAAQFABAA=}#}试卷类型：A
2024年深圳市普通高中高二年级调研考试
数学
2024.7
本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1,答题前，考生请务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答
题卡上。用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡
右上角“条形码粘贴处”。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信
息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3,非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区
域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和
涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1.集合A={-1,0,1,2},B={xeZx2≤3}，则A∩B=
A.{0,1
B.{-1,0,1}
C.{0,1,2
D.{-1,0,1,2}
2.若复数z满足i(2-2)=1，则z=
A.-2-i
B.-2+i
C.2-i
D.2+i
3.已知向量4，b,c为非零向量，则“b=c”是“ab=ac”的
A,充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
4,设m,”是两条不同的直线，心，B是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是
A.若m∥a,nCa,则m∥n
B.若m∥a,a∥B,则mllB
C.若m⊥，m⊥n,则nll
D,若m⊥a,m∥B,则a⊥B
5.已知a,b,c均为不等于1的正实数，若a2=b2，b=c2,则log.(ab)=
A
B.g
D.19
2024年深圳市普通高中高二年级调研考试，数学试题：第1页共4页
6.从9名同学中选出4人去参加环保活动，若甲、乙两名同学至少有1名位参加，则
选派方案共有
A.56种
B.70种
C.91种
D.126种
7.P,2分别是抛物线x2=2y和x轴上的动点，M(2,-1),则1PM1+|P2的最小值为
A.5
B.
D.2
2
C.5
8.已知sina+cosa=
$，且3
V10
4
1
A:-7
B月
C.-7
D.7
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.
己知互不相等的一组数据x,x2,xn的平均数为x,记x为x+1,则x,名2，…，xn,xm
这组新数据与原数据相比，一定不变的量有
A.极差
B.中位数
C.平均数
D.标准差
10.已知函数f)=sin(x-sin(x+乃，则
3
61
A.f(x)的最小正周期为π
B.)的图象关于x=召对称
C.f()在区间(0，上单调递增
D.f(x)在区间[0,2π]上有4个零点
11.已知点A,B为圆0：x2+y2=26上两动点，且|AB=4V6,点P为直线1：
x+y+10=0上动点，则
A.以A,B为直径的圆与直线1相离
B.∠APB的录大值为写
C.PA.PB的最小值为8
D.|PA2+|PB2的最小值为112
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知圆锥的表面积为9π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积
为
13.已知函数f(x)=2x-sin2x,则不等式f(x2)+f(3x-4)<0的解集为
14已知双商线C兰茶=c>0,6>0的去、右德点分别为5，及，过5的直线与C
的右支交于A,B两点，若FB=3AF,∠？AF=60°，则C的离心率为
2024年深圳市普通高中高二年级调研考试数学试题第2页共4页