3.3幂函数 课件（共19张PPT）-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

(共19张PPT)
幂函数
高中数学人教A版必修第一册（新课标）
（1）如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜wkg， 那么她需要支付p＝w元， 这
里p是w的函数；
（2）如果正方形的边长为a， 那么正方形的面积S＝a2 ， 这里S是a的函数；
（3）如果立方体的边长为b， 那么立方体的体积V＝b3 ， 这里V是b的函数；
（4）如果一个正方形场地的面积为S， 那么正方形的边长c＝ ， 这里c是S的函数；
（5）如果某人ts内骑车行进1 km， 那么他骑车的平均速度v＝ ，这里v是t的函数 .
问题1 观察（1） ～（5） 中的函数解析式， 你能发现它们的共
同特征吗？
问题导入
y＝x0 ，y＝x4 ，y＝x－2 ，y＝ 等 .
问题1 观察（1） ～（5） 中的函数解析式， 你能发现它们的共
同特征吗？
问题导入
追问1 你还能举几个相同结构的函数的例子吗？
共同特征是： 函数解析式是幂的形式， 且指数是常数，底数是自变量 .
幂函数定义：
一般地， 函数y＝xα叫做幂函数（power function） ， 其中x为自变量，
α为常数 .
对于幂函数， 我们只研究α= 1， 2， 3， ， －1时的图象与性质 .
问题导入
（1） 函数的对应关系的表示、定义域、值域、单调性和奇偶性等 .
（2）通常先根据函数解析式求出函数的定义域， 画出函数的图象； 再
利用图象和解析式， 讨论函数的值域、单调性、奇偶性等问题 .
（2）你能类比前面讨论函数性质时的思路， 提出研究幂函数性质的方
法吗？
问题2 （1）对于一类新函数，请你思考我们需要从哪些方面
入手去研究？
新知探究
问题3 请你在同一坐标系中画出函数y＝x，y＝x2 ，y＝x3，y= 和y＝ 的图象， 结合解析式观察函数图象，将你发现的结论填
写在表内.
新知探究
y＝x
y＝x2
y＝x3
y=
y=
奇偶性
单调性
定义域
值域
图1
新知探究
问题3 请你在同一坐标系中画出函数y＝x，y＝x2 ，y＝x3，y= 和y＝ 的图象， 结合解析式观察函数图象，将你发现的结论填
写在表内 .
在( - ∞ , 0）上 单调递减，在（0， +∞) 上单调递增
在( - ∞ , 0）， （0， +∞) 上 单调递减
在( - ∞ , + ∞) 上单调递 增
在( - ∞ , + ∞) 上单调递 增
在[0， +∞)
上单调递增
y＝x2
y=
y＝x3
y＝x
y=
单调性
R
奇函数
{y|y≥0}
{x|x≠0}
奇函数
R
{y|y≠0}
奇函数
R
R
{x|x≥0}
奇函数
非奇非偶函数
R
{y|y≥0}
定义域
奇偶性
值域
表1
追问2 这5个幂函数的图象均过第一象限， 如何确定是否过第二或第
三象限？
如果定义域为{x|x≥0}， 则不过第二、三象限， 比如y= ;
如果定义域包含( - ∞ , 0） ， 可以结合奇偶性判断，
如果为偶函数， 则过第二象限， 比如y＝x2；
如果为奇函数， 则过第三象限， 比如y＝x和y＝x3 .
新知探究
追问1 结合图1和表1， 你能总结出这5个幂函数的共性吗？
图象都过点（1， 1） ， 图象都经过第一象限 .
新知探究
追问3 在第一象限中， 如何区分这5个函数的图象？
y＝ 在（0， +∞) 上单调递减， 图象向上与y轴无限接近，
向右与x轴无限接近， 其余均单调递增． y＝x的图象是一条直线，
其余全是曲线； 当0＜x＜1时，
当x＞1时，y＝x的图象
位于该直线的下方 .
相比y＝ 的图象，y＝x2
和y＝x3 的图象与y＝x的
图象的位置关系正好相
反（如图2），
y＝x的图象位于该直线的上方；
图2
新知探究
追问3 在第一象限中， 如何区分这5个函数的图象？
即： 当0＜x＜1时，y＝x2 的图象位于y＝x3 的图象的上方，
当x＞1时，y＝x2 的图象位于y＝x3 的图象的下方（如图3） .
图3
例1 证明幂函数 f（x）＝ 是增函数 .
证明： 函数的定义域是[0， +∞) .
x1 ，x2 ∈[0， +∞) , 且x1＜x2，
f（x1 ）－f（x2 ）= = = 因为x1－x2＜0， ＞0， 所以f（x1 ）＜f（x2 ）， 即幂函数f（x）＝ 是增函数 .
新知探究
解：（1）（ －1.5）3和（ －1.4）3可看作函数y＝x3 当x分别取－1.5和
- 1.4时所对应的两个函数值 .
y＝x3在( - ∞ , +∞) 上单调递增，
因为－1.5＜ －1.4， 所以（ －1.5）3 ＜（ －1.4）3 .
新知探究
例2 利用幂函数的性质， 比较下列各题中两个值的大小： （1）（ －1.5）3 ，（ －1.4）3； （2）
新知探究
例2 利用幂函数的性质， 比较下列各题中两个值的大小： （1）（ －1.5）3 ，（ －1.4）3； （2）
解：（2） 和 可看作函数y＝ 当x分别取－1.5和－1.4时所
对应的两个函数值 .
y＝ 在( - ∞ , +∞) 上单调递增，
因为－1.5＜ －1.4， 所 以
归纳小结
问题4 回忆本节课的内容，请你回答以下几个问题：
（1）什么是幂函数？你能简单说一说本节课所学的5个幂函数的
性质吗？
（2）你能说说幂函数和正比例函数， 反比例函数， 二次函数的区别和
联系吗？
（1）概念和性质略；
（2）幂函数和正比例函数， 反比例函数， 二次函数的交集分别是y=
x，y＝ ，y＝x2 ， 除此之外， 别无交集 .
答案：y＝ ，x≥0 .
1． 已知幂函数y＝f（x）的图象过点（2， ）， 求这个函数的解析
式.
目标检测
目标检测
2． 根据单调性和奇偶性的定义证明函数f（x）＝x3 的单调性和奇偶
性.
证明： 因为函数f（x）＝x3定义域为R.
x∈R ， 都有－x∈R ， 且f（－x）＝（－x）3 ＝－x3 ＝－f（x），
函数f（x）＝x3为奇函数 .
任取x1 ，x2 ∈R ， 且x1＜x2，
目标检测
2． 根据单调性和奇偶性的定义证明函数f（x）＝x3 的单调性和奇偶
性.
证明：f（x1 ）－f（x2 ）＝（x1－x2 ） [x12＋x1x2＋x22]
=（x1－x2 ） [x12＋x1x2 ＋ x22 ＋ x22]
=（x1－x2 ） [（x12 ＋ x2 ）2 ＋ x22] .
因为x1－x2＜0，（x12 ＋ x2 ）2 ＋ x22＞0， 所以f（x1 ）＜f（x2 ），
即幂函数f（x）＝x3是增函数 .
谢谢大家
敬请各位老师提出宝贵意见！
再见
再见