云南省曲靖市会泽县2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷（含答案）

会泽县2023-2024学年高二下学期期末考试
数学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名 考生号 考场号 座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数，则（ ）
A.5 B.25 C.4 D.3
3.已知数列，则“”是“为等比数列”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.在一次身高检查中，某班10名同学的身高分别为，，则这组数据的第80百分位数是（ ）
A. B. C. D.
5.函数在区间上的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
6.若，则（ ）
A. B. C. D.
7.已知直线交抛物线于两点，且的中点为，则直线的斜率为（ ）
A.-3 B. C. D.
8.小小的火柴棒可以拼成几何图形，也可以拼成数字.如下图所示，我们可以用火柴棒拼出1至9这9个数字，比如：“1”需要2根火柴棒，“7”需要3根火柴棒.若用10根火柴棒以适当的方式全部放入表格中中（没有放入火柴棒的空位表示数字“0”），那么最多可以表示无重复数字的三位数的个数为（ ）
A.42 B.38 C.54 D.48
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知，则下列选项中正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则与夹角的余弦值为
10.已知点在左 右焦点分别为的双曲线上，，则（ ）
A.渐近线方程为 B.离心率为
C. D.
11.在棱长为2的正方体中，点满足，其中，，则（ ）
A.当时，
B.当时，三棱锥的体积为
C.当时，平面
D.当时，到平面的距离为
12.定义在上的偶函数满足，当时，，则（ ）
A.
B.的一个周期为4
C.的图象关于点对称
D.
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知函数，则曲线在点处的切线方程为__________.
14.函数的最小正周期为，则曲线的一条对称轴方程为__________.
15.过直线上一点向圆作切线，切点为，则的最小值为__________.
16.《九章算术》是中国古代数学专著，承先秦数学发展的源流，进入汉朝后又经许多学者的删补后才最后成书.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在鳖臑中，平面，点在线段上，的最小值为__________；当的值最小时，三棱锥外接球的表面积为__________.（本题第一空2分，第二空3分）
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知在等差数列中，.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和.
18.（12分）
在中，内角的对边分别为.
（1）求的面积；
（2）若，求.
19.（12分）
如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，若为的中点，的面积为.
（1）求到平面的距离；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
20.（12分）
广场舞 健步走已成为广大群众喜闻乐见的健身活动，但围绕其噪音 占道发生的“扰民”问题常让人感到头疼，也成为社会关注的热点.某地为引导群众文明开展健身活动，促进全民养成文明健康 绿色环保的生活方式，规范广场舞 集体健步走等活动的开展，发布了《静音广场舞，规范健步走倡议书》.小明的妈妈为响应号召，在家里积极段炼，等步长沿直线前后连续移步.已知她从点出发，每次向前移动1步的概率为，向后移动1步的概率为.
（1）求移动4步后回到点的概率；
（2）若移动5步后到达点，记两点之间的步数为随机变量，求的分布列和数学期望.
21.（12分）
已知椭圆的离心率为，且椭圆过点.
（1）求椭圆的方程.
（2）设是椭圆上异于的两个动点，直线的斜率分别为.若0，试判断直线的斜率是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
22.（12分）
已知函数.
（1）若在上单调递增，求的取值范围.
（2）已知方程有两个不相等的实数根，且.
①求的取值范围；
②若，证明：.
会泽县2023年春季学期高二年级期末考试数学
参考答案
1.D 因为，所以.
2.A 因为，所以.
3.B 若为等比数列，则一定成立；若，则不一定为等比数列.比如.
4.C 将这10个数据从小到大排列，因为，所以第80百分位数为第8个数与第9个数的平均数，即.
5.A 因为，所以为偶函数，排除；因为，排除D；因为当时，，所以排除.
6.C 因为，所以，所以.
7.D 易知直线的斜率存在，设直线的斜率为，
则两式相减得，整理得.因为的中点为，所以，即直线的斜率为.
8.A 因为10根火柴可以摆出的数字为2，3或2，5或3，5或4，6或4，9或7，8或或1，3，7或，所以可以组成个无重复数字的三位数.
9.BCD 若，则，得，故不正确；
，若，则，得，故B正确；
若，则，故C，D正确.
10.BCD 因为，所以的渐近线方程为，离心率，故A错误，B正确.不妨设点在的右支上，则.因为，所以.在中，，则，所以的面积，故C，D正确.
11.ACD 当时，.因为平面平面，所以，故A正确.
当时，.易知到平面的距离为定值2.
因为，所以，故B错误.
当时，.因为平面平面平面，所以平面，故C正确.
当时，.以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系（图略），则平面的法向量为.因为，所以到平面的距离，故D正确.
12.AB 因为为偶函数，且当时，，所以，故A正确.
因为为偶函数，且，所以，所以，所以的周期为4，故B正确.
因为，所以的图象关于直线对称.因为的周期为4，所以的图象关于直线对称，故错误.
因为，
所以，故D错误.
13. 因为，所以.因为，所以所求切线方程为，即.
14.（，只需写一个答案即可 由，得，所以.令，得.
15.4 由题知，圆心，半径，圆心到直线的距离.因为为直角三角形，且，所以，当且仅当与直线垂直时，等号成立，所以的最小值为4.
16.； 如图，将与展开至同一平面内，连接交于，此时的值最小.在中，，所以，即的最小值为.
在中，，所以，所以外接圆的半径.设三棱锥外接球的半径为，则，所以三棱锥外接球的表面积为.
17.解：（1）设的公差为.由，可得.
因为，所以.
因为，所以，故.
（2）因为，所以，
所以.
18.解：（1）因为，且，所以.
因为，所以或（舍去），所以，
所以的面积为.
（2）因为，所以，
所以，
所以.
19.解：（1）连接交于点，连接.因为为菱形，所以.
因为，且为的中点，所以.
因为，所以平面.
因为平面，所以.因为，所以.
在中，为中位线，所以.在中，，所以.
因为，所以平面，所以到平面的距离为.
（2）如图，以为坐标原点，的方向分别为，轴的正方向建立空间直角坐标系，
则
设平面的法向量为，因为，
所以令，得.
设平面的法向量为，因为，
所以令，得.
因为，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
20.解：（1）设向前移动1步为事件，所以，
移动4步，回到点相当于4步中2步向前，2步向后，
所以.
（2）由题知，的可能取值为，
，
，
，
所以的分布列为
1 3 5
所以随机变量的期望.
21.解：（1）因为椭圆的离心率为，且过点，
所以解得
所以椭圆的方程为.
（2）设直线的斜率为，则直线的斜率为，设，
直线的方程为，即，
联立方程组消去，得.
因为为直线与椭圆的交点，所以，即，
把换为得，所以.
因为，
所以直线的斜率为，即直线的斜率为定值1.
22.解：（1）因为函数在上单调递增，所以在上恒成立.因为，所以，即.
令，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以.
由，得，即的取值范围是.
（2）①由题意知关于的方程有两个不相等的实数根，
即关于的方程有两个不相等的实数根，即关于的方程有两个不相等的实数根，等价于直线与曲线有两个不同的交点.
由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，
且当时，，当时，，所以.
②因为所以，所以.
令，因为，所以，所以.
令，则.
令，则，所以在上单调递增，所以，所以当时，，所以在上单调递减.
因为，所以，所以，所以.