贵州省仁怀市第四中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2024高一下·仁怀月考）是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】C
【知识点】任意角；象限角、轴线角
【解析】【解答】2016°=360°×5+216°，而216°为第三象限角，故2016°为第三象限角，
故答案为：C.
【分析】根据终边相等的角的关系，将2016°化成360°×5+216°更可知其象限.
2．（2024高一下·仁怀月考）设向量，则等于（ ）
A． B．5 C． D．6
【答案】B
【知识点】向量的模；平面向量数乘运算的坐标表示
【解析】【解答】，故，
故答案为：B.
【分析】根据平面向量坐标表示的运算规则，求出，即可求出其模.
3．（2024高一下·仁怀月考）的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】任意角三角函数的定义；诱导公式
【解析】【解答】cos（-300°）=cos(-300°+360°)=cos60°=，
故答案为：D.
【分析】根据诱导公式cosθ=cos（θ+360°k），k∈Z，将角度化小，最后求出其值.
4．（2024高一下·仁怀月考）下列各选项中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角函数值的符号
【解析】【解答】对于A，300°为第四象限角，其正弦值小于0，故A错误；
cos-305°=cos(-305°+360°）=cos55°>0，故B错误；
tan(-)=tan()=tan<0，故C错误；
1rad≈57.3°，故10rad573°=360°+213°，为第三象限角，故sin10<0，D正确.
故答案为：D.
【分析】直接判断角度所在的象限，再根据象限符号图判断其符号.
5．（2024高一下·仁怀月考）已知向量，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】由得m=2×(-2)=-4，故，于是，
故答案为：C.
【分析】根据向量的共线可得1×m=2×(-2)可得m的值，即可求得的坐标表示.
6．（2022高一下·赣州期末）已知某扇形的周长是，面积是，则该扇形的圆心角的弧度数为（ ）
A．1 B．4 C．1或4 D．1或5
【答案】C
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】设扇形的弧长为，半径为，所以，
解得或，
所以圆心角的弧度数是或。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合扇形的周长公式和面积公式，进而解方程组求出扇形的弧长和半径长，再利用圆心角的弧度数公式，进而得出该扇形的圆心角的弧度数。
7．（2024高一下·仁怀月考）如图所示，中，，点是线段的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】向量加法的三角形法则；平面向量的线性运算
【解析】【解答】根据向量的线性运算知而，代入前式可得
故答案为：C.
【分析】根据线性运算，利用三角形法则一步一步将之转化为和为基底的线段表示.
8．（2024高一下·仁怀月考）已知在中，为线段的中点，点在边上，且与交于，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的线性运算
【解析】【解答】由A、O、E共线知，而由知，而D为AC的中点，
故代入上式可得，即有，
而由D、O、B共线得得λ=，于是，
故答案为：A.
【分析】根据三点共线定理可直接用和表示向量，再利用特殊等分点转化为以和为基底表示，可求出λ的值，即可求出结果.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9．（2024高一下·仁怀月考）已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A． B．可以作为一个基底
C． D．与方向相同
【答案】A,C
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的基本定理；平面向量的坐标运算
【解析】【解答】易知，故A正确.
共线向量不能作为基底向量，故B错误.
由得，故C正确.
=(3，-6)与方向相反，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据坐标表示的向量运算规则可一一验证各个选项，即可得到正确结果.
10．（2024高一下·仁怀月考）下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,D
【知识点】诱导公式；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】sin470°=sin（470°-360°）=sin110°>sin115°，故A正确.
cos=cos(-2π）=cos，而sin，coscos226°=cos（180°+46°）=-cos46°=-sin44°，sin224°=sin(180°+44°)=-sin44°，故，故C错误.
tan1600°=tan(180°×9-20°)=-tan20°，而tan1415°=tan(180°×8+15°）=tan15°>-tan20°，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】根据诱导公式将角度化为360°以内的三角函数值，利用函数的单调性比较大小即可.
11．（2024高一下·仁怀月考）下列结论中正确的是（ ）
A．终边经过点的角的集合是
B．将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是
C．若是第三象限角，则是第二象限角，为第一或第二象限角
D．，则
【答案】A,B,D
【知识点】象限角、轴线角；终边相同的角
【解析】【解答】对于A，点(a，a)在直线y=x上，即一三象限的角平分线，故A正确.
10分钟转过2大格，每格30°，即转过了60°，故B正确.
若α是第三象限，则α∈(π+2kπ，+2kπ)，k∈Z，故为第一象限或第三象限，故C错误.
对于D中，x=45°(1+2k)，而y=45°(2+k)，1+2k表示奇数，而2+k表示整数，故y表示的范围更大，故，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由点在y=x上，可得角的集合为，通过象限角的表示方式可推导所在象限，通过对角度关系式的改变，得到集合之间的关系.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2024高一下·仁怀月考）设角的终边经过点，那么 .
【答案】
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】|OP|=5，由三角函数的定义得，，故，
故答案为：.
【分析】根据三角函数的定义求出sinθ和cosθ即可求得结果.
13．（2024高一下·仁怀月考）不等式的解集是 .
【答案】
【知识点】指数函数单调性的应用
【解析】【解答】得即有2x-3>-7，故x>-2，
故答案为：.
【分析】将不等号右边化为以2为底数的幂的形式，再求出解集.
14．（2024高一下·仁怀月考）如图，已知向量满足与的夹角为，则 .
【答案】
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】，
故答案为：.
【分析】根据向量模的公式转化为已知条件，便可求出模.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（2024高一下·仁怀月考）已知向量.
（1）求；
（2）求满足的实数；
（3）若，求实数.
【答案】（1）解：
（2）解：，
.
解得
（3）解：，
，且，
.
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积坐标表示的应用
【解析】【分析】(1)直接根据向量的坐标表示的运算规则进行计算即可.
(2)将向量代入式子中得到关系m、n的二元一次方程组，即可求出m、n.
(3)将向量代入可得两向量的坐标表示，再根据共线向量的关系得到关于k的方程，求出k即可.
16．（2024高一下·仁怀月考）如图所示，在平行四边形中，点为中点，点在上，且，记，
（1）以为基底表示；
（2）求证：三点共线.
【答案】（1）解：
（2）证明：，
，
，
，
且有与有公共点，
所以M、N、C三点共线.
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的线性运算
【解析】【分析】(1)根据向量的线性表示，将转化为以和为基底的线性表示.
(2)同样以和为基底分别表示，可验证与共线，即可证M、N、C三点共线.
17．（2024高一下·仁怀月考）解下列不等式.
（1）.
（2）.
（3）.
【答案】（1）解：，
，
即
可知可取任意实数，
所以原不等式的解集为
（2）解：，
所以原不等式的解集为
（3）解：，
，解得，
所以原不等式的解集为
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】(1)先将二次项系数化正，再配方可知解集为R.
(2)先将二次项系数化正，再因式分解即可求不等式.
(3)先将分式不等式转化为一元二次不等式，注意分母不为零这个隐含的限制.
18．（2024高一下·仁怀月考）设函数（为常数），且
（1）求的值；
（2）设，求不等式的解集.
【答案】（1）解：函数为常数），
，即，则
（2）解：由（1）得，，
则，
①当时，不等式，即为，
即，解得，
②当时，不等式为，
即，则，
解得，则，
综上可得，不等式的解集是.
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【分析】(1)直接根据可求a的值；
(2)先将分段函数化简整理，再分段和求解x的取值范围即可.
19．（2024高一下·仁怀月考）如图，在直角坐标系中，点是单位圆上的动点，过点作轴的垂线，与轴交于点，作射线交的延长线于点，使得，.记，且.
（1）若，求；
（2）求的最大值.
【答案】（1）由得MQ=2MP，故tan∠MOQ=2tan∠MOP，
而可得tanα=，故tan∠MOQ=，由此可得.
（2）易知OM=cosα，MQ=2MP=2sinα，故，当α=45°，面积的最大值为
【知识点】二倍角的正弦公式；任意角三角函数的定义；单位圆与三角函数线
【解析】【分析】(1)由面积关系可得线段关系，再由线段关系可得正切值的关系，通过正切值可求得角度的余弦值；
（2）用三角函数表示线段长，即可表示面积，面积表达式为sin2α，即可求出最大值.
1 / 1贵州省仁怀市第四中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2024高一下·仁怀月考）是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
2．（2024高一下·仁怀月考）设向量，则等于（ ）
A． B．5 C． D．6
3．（2024高一下·仁怀月考）的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高一下·仁怀月考）下列各选项中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024高一下·仁怀月考）已知向量，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2022高一下·赣州期末）已知某扇形的周长是，面积是，则该扇形的圆心角的弧度数为（ ）
A．1 B．4 C．1或4 D．1或5
7．（2024高一下·仁怀月考）如图所示，中，，点是线段的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024高一下·仁怀月考）已知在中，为线段的中点，点在边上，且与交于，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9．（2024高一下·仁怀月考）已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A． B．可以作为一个基底
C． D．与方向相同
10．（2024高一下·仁怀月考）下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024高一下·仁怀月考）下列结论中正确的是（ ）
A．终边经过点的角的集合是
B．将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是
C．若是第三象限角，则是第二象限角，为第一或第二象限角
D．，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2024高一下·仁怀月考）设角的终边经过点，那么 .
13．（2024高一下·仁怀月考）不等式的解集是 .
14．（2024高一下·仁怀月考）如图，已知向量满足与的夹角为，则 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（2024高一下·仁怀月考）已知向量.
（1）求；
（2）求满足的实数；
（3）若，求实数.
16．（2024高一下·仁怀月考）如图所示，在平行四边形中，点为中点，点在上，且，记，
（1）以为基底表示；
（2）求证：三点共线.
17．（2024高一下·仁怀月考）解下列不等式.
（1）.
（2）.
（3）.
18．（2024高一下·仁怀月考）设函数（为常数），且
（1）求的值；
（2）设，求不等式的解集.
19．（2024高一下·仁怀月考）如图，在直角坐标系中，点是单位圆上的动点，过点作轴的垂线，与轴交于点，作射线交的延长线于点，使得，.记，且.
（1）若，求；
（2）求的最大值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】任意角；象限角、轴线角
【解析】【解答】2016°=360°×5+216°，而216°为第三象限角，故2016°为第三象限角，
故答案为：C.
【分析】根据终边相等的角的关系，将2016°化成360°×5+216°更可知其象限.
2．【答案】B
【知识点】向量的模；平面向量数乘运算的坐标表示
【解析】【解答】，故，
故答案为：B.
【分析】根据平面向量坐标表示的运算规则，求出，即可求出其模.
3．【答案】D
【知识点】任意角三角函数的定义；诱导公式
【解析】【解答】cos（-300°）=cos(-300°+360°)=cos60°=，
故答案为：D.
【分析】根据诱导公式cosθ=cos（θ+360°k），k∈Z，将角度化小，最后求出其值.
4．【答案】D
【知识点】三角函数值的符号
【解析】【解答】对于A，300°为第四象限角，其正弦值小于0，故A错误；
cos-305°=cos(-305°+360°）=cos55°>0，故B错误；
tan(-)=tan()=tan<0，故C错误；
1rad≈57.3°，故10rad573°=360°+213°，为第三象限角，故sin10<0，D正确.
故答案为：D.
【分析】直接判断角度所在的象限，再根据象限符号图判断其符号.
5．【答案】C
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】由得m=2×(-2)=-4，故，于是，
故答案为：C.
【分析】根据向量的共线可得1×m=2×(-2)可得m的值，即可求得的坐标表示.
6．【答案】C
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】设扇形的弧长为，半径为，所以，
解得或，
所以圆心角的弧度数是或。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合扇形的周长公式和面积公式，进而解方程组求出扇形的弧长和半径长，再利用圆心角的弧度数公式，进而得出该扇形的圆心角的弧度数。
7．【答案】C
【知识点】向量加法的三角形法则；平面向量的线性运算
【解析】【解答】根据向量的线性运算知而，代入前式可得
故答案为：C.
【分析】根据线性运算，利用三角形法则一步一步将之转化为和为基底的线段表示.
8．【答案】A
【知识点】平面向量的线性运算
【解析】【解答】由A、O、E共线知，而由知，而D为AC的中点，
故代入上式可得，即有，
而由D、O、B共线得得λ=，于是，
故答案为：A.
【分析】根据三点共线定理可直接用和表示向量，再利用特殊等分点转化为以和为基底表示，可求出λ的值，即可求出结果.
9．【答案】A,C
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的基本定理；平面向量的坐标运算
【解析】【解答】易知，故A正确.
共线向量不能作为基底向量，故B错误.
由得，故C正确.
=(3，-6)与方向相反，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据坐标表示的向量运算规则可一一验证各个选项，即可得到正确结果.
10．【答案】A,D
【知识点】诱导公式；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】sin470°=sin（470°-360°）=sin110°>sin115°，故A正确.
cos=cos(-2π）=cos，而sin，coscos226°=cos（180°+46°）=-cos46°=-sin44°，sin224°=sin(180°+44°)=-sin44°，故，故C错误.
tan1600°=tan(180°×9-20°)=-tan20°，而tan1415°=tan(180°×8+15°）=tan15°>-tan20°，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】根据诱导公式将角度化为360°以内的三角函数值，利用函数的单调性比较大小即可.
11．【答案】A,B,D
【知识点】象限角、轴线角；终边相同的角
【解析】【解答】对于A，点(a，a)在直线y=x上，即一三象限的角平分线，故A正确.
10分钟转过2大格，每格30°，即转过了60°，故B正确.
若α是第三象限，则α∈(π+2kπ，+2kπ)，k∈Z，故为第一象限或第三象限，故C错误.
对于D中，x=45°(1+2k)，而y=45°(2+k)，1+2k表示奇数，而2+k表示整数，故y表示的范围更大，故，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由点在y=x上，可得角的集合为，通过象限角的表示方式可推导所在象限，通过对角度关系式的改变，得到集合之间的关系.
12．【答案】
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】|OP|=5，由三角函数的定义得，，故，
故答案为：.
【分析】根据三角函数的定义求出sinθ和cosθ即可求得结果.
13．【答案】
【知识点】指数函数单调性的应用
【解析】【解答】得即有2x-3>-7，故x>-2，
故答案为：.
【分析】将不等号右边化为以2为底数的幂的形式，再求出解集.
14．【答案】
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】，
故答案为：.
【分析】根据向量模的公式转化为已知条件，便可求出模.
15．【答案】（1）解：
（2）解：，
.
解得
（3）解：，
，且，
.
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积坐标表示的应用
【解析】【分析】(1)直接根据向量的坐标表示的运算规则进行计算即可.
(2)将向量代入式子中得到关系m、n的二元一次方程组，即可求出m、n.
(3)将向量代入可得两向量的坐标表示，再根据共线向量的关系得到关于k的方程，求出k即可.
16．【答案】（1）解：
（2）证明：，
，
，
，
且有与有公共点，
所以M、N、C三点共线.
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的线性运算
【解析】【分析】(1)根据向量的线性表示，将转化为以和为基底的线性表示.
(2)同样以和为基底分别表示，可验证与共线，即可证M、N、C三点共线.
17．【答案】（1）解：，
，
即
可知可取任意实数，
所以原不等式的解集为
（2）解：，
所以原不等式的解集为
（3）解：，
，解得，
所以原不等式的解集为
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】(1)先将二次项系数化正，再配方可知解集为R.
(2)先将二次项系数化正，再因式分解即可求不等式.
(3)先将分式不等式转化为一元二次不等式，注意分母不为零这个隐含的限制.
18．【答案】（1）解：函数为常数），
，即，则
（2）解：由（1）得，，
则，
①当时，不等式，即为，
即，解得，
②当时，不等式为，
即，则，
解得，则，
综上可得，不等式的解集是.
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【分析】(1)直接根据可求a的值；
(2)先将分段函数化简整理，再分段和求解x的取值范围即可.
19．【答案】（1）由得MQ=2MP，故tan∠MOQ=2tan∠MOP，
而可得tanα=，故tan∠MOQ=，由此可得.
（2）易知OM=cosα，MQ=2MP=2sinα，故，当α=45°，面积的最大值为
【知识点】二倍角的正弦公式；任意角三角函数的定义；单位圆与三角函数线
【解析】【分析】(1)由面积关系可得线段关系，再由线段关系可得正切值的关系，通过正切值可求得角度的余弦值；
（2）用三角函数表示线段长，即可表示面积，面积表达式为sin2α，即可求出最大值.
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