2023-2024学年湖南省长沙市高二下学期期末调研数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年湖南省长沙市高二下学期期末调研数学试卷（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 93.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-05 16:24:22 | ||
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文档简介
2023-2024学年湖南省长沙市高二下学期期末调研数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.“”是“函数在上单调递减”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.学生可从本年级开设的门选修课中往意选择门，并从种课外活动小组中选择种，不同的选法种数是( )
A. B. C. D.
4.福州新港江阴港区地处福建最大海湾兴化湾西北岸，全年全日船泊进出港不受航道及潮水的限制，是迄今为止“我国少有、福建最佳”的天然良港如图，是港区某个泊位一天中时到时的水深变化曲线近似满足函数，据此可知，这段时间水深单位：的最大值为( )
A. B. C. D.
5.已知随机变量，且，则( )
A. B. C. D.
6.某企业生产线上生产的产品的某项指标，且现从该生产线上随机抽取个产品，记表示的产品个数，则( )
A. B. C. D.
7.若函数在区间上存在最值，则的取值范围是( )
A. B.
C. D. 或
8.设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，为实数，则下列命题中正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，，则 D. 若，则
10.已知，则下列选项正确的有( )
A. B.
C. D.
11.已知正实数满足是自然对数的底数，，则( )
A. B.
C. 的最大值为 D. 方程无实数解
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.曲线与直线平行的切线方程为 ．
13.现安排高二年级甲、乙、丙、丁、戊五名同学去、两个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，每个工厂至少需要两名同学，若甲和乙不能去同一个工厂，则不同的安排方法种数为 用数字作答
14.某学校有，两家餐厅，经统计发现，某班学生第天午餐时选择餐厅和选择餐的概率均为如果第天去餐厅，那么第天去餐厅的概率为；如果第天去餐厅，那么第天去餐厅的概率为，则某同学第天去餐厅用餐的概率为 ；假设班内各位同学的选择相互独立，随机变量为该班名同学中第天选择餐厅的人数，则随机变量的均值 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，．
求，；
记关于的不等式的解集为，若，求实数的取值范围．
16.本小题分
在的展开式中，
求二项式系数最大的项；
若第项是有理项，求的取值集合；
系数最大的项是第几项．
17.本小题分
为了适应市场需求，同时兼顾企业盈利的预期，某科技公司决定增加一定数量的研发人员，经过调研，得到年收益增量单位：亿元与研发人员增量人的组数据．现用模型，分别进行拟合，由此得到相应的经验回归方程，并进行残差分析，得到如图所示的残差图．
根据收集到的数据，计算得到下表数据，其中．
根据残差图，判断应选择哪个模型；无需说明理由
根据中所选模型，求出关于的经验回归方程；并用该模型预测，要使年收益增量超过亿元，研发人员增量至少多少人？精确到
18.本小题分
无人机已广泛用于森林消防、抢险救灾、环境监测等领域．
消防员甲操纵某一品牌的无人机在不同的气候中进行了投弹试验，结果见下表，根据小概率值的独立性检验，分析消防员甲操纵该无人机的投弹命中率跟气候是否有关：
晴天 雨天
命中
不命中
附：其中
某森林消防支队在一次消防演练中利用无人机进行投弹灭火试验，消防员乙操控无人机对同一目标起火点进行了三次投弹试验，已知无人机每次投弹时击中目标的概率都为，每次投弹是否击中目标相互独立无人机击中目标一次起火点被扑灭的概率为，击中目标两次起火点被扑灭的概率为，击中目标三次起火点必定被扑灭．
求起火点被无人机击中次数的分布列及数学期望；
求起火点被无人机击中且被扑灭的概率．
19.本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
函数在区间上有零点，求的值；
记函数，设，是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.或或
15.
因为，解得，所以，
又因为，解得或，所以，
所以；
又因为，所以．
因为，
所以，
若，则，解得，
所以的取值范围是．
16.
，
二项式系数最大的项为中间项，即第项，
所以．
，
当为整数时为有理项，
即，
则的取值集合为；
设第项的系数最大，
则
所以，解得，
故系数最大的项为第项和第项．
17.
选择模型，理由如下：
由于模型残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型带状宽度窄，
所以模型的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，所以选模型比较合适；
根据模型，令与可用线性回归来拟合，有，
则，
所以，
则关于的经验回归方程为．
所以关于的经验回归方程为，
由题意，，解得，又为整数，所以，
所以，要使年收益增量超过亿元，研发人员增量至少为人．
18.
零假设消防员甲操纵该无人机的投弹命中率跟气候无关
晴天 雨天 合计
命中
不命中
合计
因为，
根据小概率值的独立性检验，零假设不成立，消防员甲操纵该无人机的投弹命中率跟气候有关．
起火点被无人机击中次数的所有可能取值为
，
．
的分布列如下：
．
击中一次被扑灭的概率为
击中两次被火扑灭的概率为
击中三次被火扑灭的概率为
所求概率．
19.
因为，所以，则切线斜率为，
又，切点为，所以切线方程为；
，，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
所以的极小值为，，
在区间上存在一个零点，此时；
又，，
在区间上存在一个零点，此时，
综上，的值为或；
函数，，
所以，
由得，依题意方程有两不相等的正实根、，
则，所以，
，，，
又，，，解得，
，
构造函数，
所以，
在上单调递减，
所以当时，，
因为恒成立，
所以，则的最大值为．
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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.“”是“函数在上单调递减”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.学生可从本年级开设的门选修课中往意选择门，并从种课外活动小组中选择种，不同的选法种数是( )
A. B. C. D.
4.福州新港江阴港区地处福建最大海湾兴化湾西北岸，全年全日船泊进出港不受航道及潮水的限制，是迄今为止“我国少有、福建最佳”的天然良港如图，是港区某个泊位一天中时到时的水深变化曲线近似满足函数，据此可知，这段时间水深单位：的最大值为( )
A. B. C. D.
5.已知随机变量，且，则( )
A. B. C. D.
6.某企业生产线上生产的产品的某项指标，且现从该生产线上随机抽取个产品，记表示的产品个数，则( )
A. B. C. D.
7.若函数在区间上存在最值，则的取值范围是( )
A. B.
C. D. 或
8.设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，为实数，则下列命题中正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，，则 D. 若，则
10.已知，则下列选项正确的有( )
A. B.
C. D.
11.已知正实数满足是自然对数的底数，，则( )
A. B.
C. 的最大值为 D. 方程无实数解
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.曲线与直线平行的切线方程为 ．
13.现安排高二年级甲、乙、丙、丁、戊五名同学去、两个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，每个工厂至少需要两名同学，若甲和乙不能去同一个工厂，则不同的安排方法种数为 用数字作答
14.某学校有，两家餐厅，经统计发现，某班学生第天午餐时选择餐厅和选择餐的概率均为如果第天去餐厅，那么第天去餐厅的概率为；如果第天去餐厅，那么第天去餐厅的概率为，则某同学第天去餐厅用餐的概率为 ；假设班内各位同学的选择相互独立，随机变量为该班名同学中第天选择餐厅的人数，则随机变量的均值 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，．
求，；
记关于的不等式的解集为，若，求实数的取值范围．
16.本小题分
在的展开式中，
求二项式系数最大的项；
若第项是有理项，求的取值集合；
系数最大的项是第几项．
17.本小题分
为了适应市场需求，同时兼顾企业盈利的预期，某科技公司决定增加一定数量的研发人员，经过调研，得到年收益增量单位：亿元与研发人员增量人的组数据．现用模型，分别进行拟合，由此得到相应的经验回归方程，并进行残差分析，得到如图所示的残差图．
根据收集到的数据，计算得到下表数据，其中．
根据残差图，判断应选择哪个模型；无需说明理由
根据中所选模型，求出关于的经验回归方程；并用该模型预测，要使年收益增量超过亿元，研发人员增量至少多少人？精确到
18.本小题分
无人机已广泛用于森林消防、抢险救灾、环境监测等领域．
消防员甲操纵某一品牌的无人机在不同的气候中进行了投弹试验，结果见下表，根据小概率值的独立性检验，分析消防员甲操纵该无人机的投弹命中率跟气候是否有关：
晴天 雨天
命中
不命中
附：其中
某森林消防支队在一次消防演练中利用无人机进行投弹灭火试验，消防员乙操控无人机对同一目标起火点进行了三次投弹试验，已知无人机每次投弹时击中目标的概率都为，每次投弹是否击中目标相互独立无人机击中目标一次起火点被扑灭的概率为，击中目标两次起火点被扑灭的概率为，击中目标三次起火点必定被扑灭．
求起火点被无人机击中次数的分布列及数学期望；
求起火点被无人机击中且被扑灭的概率．
19.本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
函数在区间上有零点，求的值；
记函数，设，是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.或或
15.
因为，解得，所以，
又因为，解得或，所以，
所以；
又因为，所以．
因为，
所以，
若，则，解得，
所以的取值范围是．
16.
，
二项式系数最大的项为中间项，即第项，
所以．
，
当为整数时为有理项，
即，
则的取值集合为；
设第项的系数最大，
则
所以，解得，
故系数最大的项为第项和第项．
17.
选择模型，理由如下：
由于模型残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型带状宽度窄，
所以模型的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，所以选模型比较合适；
根据模型，令与可用线性回归来拟合，有，
则，
所以，
则关于的经验回归方程为．
所以关于的经验回归方程为，
由题意，，解得，又为整数，所以，
所以，要使年收益增量超过亿元，研发人员增量至少为人．
18.
零假设消防员甲操纵该无人机的投弹命中率跟气候无关
晴天 雨天 合计
命中
不命中
合计
因为，
根据小概率值的独立性检验，零假设不成立，消防员甲操纵该无人机的投弹命中率跟气候有关．
起火点被无人机击中次数的所有可能取值为
，
．
的分布列如下：
．
击中一次被扑灭的概率为
击中两次被火扑灭的概率为
击中三次被火扑灭的概率为
所求概率．
19.
因为，所以，则切线斜率为，
又，切点为，所以切线方程为；
，，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
所以的极小值为，，
在区间上存在一个零点，此时；
又，，
在区间上存在一个零点，此时，
综上，的值为或；
函数，，
所以，
由得，依题意方程有两不相等的正实根、，
则，所以，
，，，
又，，，解得，
，
构造函数，
所以，
在上单调递减，
所以当时，，
因为恒成立，
所以，则的最大值为．
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