2023-2024学年江苏省徐州市高二下学期6月期末数学试题（含答案）

2023-2024学年江苏省徐州市高二下学期6月期末数学试题
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.用数字组成没有重复数字的四位数，其中偶数的个数为（ ）
A.48 B.60 C.96 D.120
3.我们通常用里氏震级来标定地震规模的大小，里氏震级与震源中心释放的能量有关，二者满足关系式年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级地震，2024年6月12日，四川甘孜州石渠县发生里氏4.7级地震，则里氏8.0级地震释放的能量是里氏4.7级地震释放的能量的（ ）
A.1.7倍 B.4.95倍 C.倍 D.倍
4.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
5.从数字中随机取一个数字，记为，再从数字中随机取一个数字，则第二次取到的数字为2的概率是（ ）
A. B. C. D.
6.若直线经过曲线的对称中心，则的最大值为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
7.在棱长为4的正方体中，分别为棱的中点，点在棱上，且，则点到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
8.已知是定义在上的函数，且，则（ ）
A. B. C. D.0
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知为实数，则“”的必要条件可以为（ ）
A. B.
C. D.
10.已知函数，则（ ）
A.
B.为奇函数
C.在区间上单调递增
D.集合的元素个数为4
11.如图，在边长为12的正方形中，分别边的三等分点，正方形内有两点，点到的距离分别为，点到的距离也是和，其中.将该正方形沿折起，使与重合，则在该空间图形中，（ ）
A.直线平面
B.的最小值为
C.线段的中点到的距离不超过
D.异面直线与成角时，
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知随机变量，若，则__________.
13.已知，则__________，被6除所得的余数是__________.
14.已知函数，若对任意，则实数的取值范围为__________.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知的展开式的各项系数和为256.
（1）求展开式中的常数项；
（2）设，证明：；
（3）求证：.
16.（15分）
为加快推动旅游业复苏，进一步增强市民旅游消费意愿，某景区推出针对中 高考生的优惠活动：凭中 高考准考证可优惠购票，并可以八折购买“金榜题名”文创雪糕.该景区从中 高考生游客中随机抽取200人了解他们对这项活动的满意度，统计得到列联表如下：
不满意 满意 合计
高考生 60 40 100
中考生 35 65 100
合计 95 105 200
（1）判断能否有的把握认为满意度与考生类型有关？
（2）现从高考生的样本中用分层抽样的方法选出5人，再从这5人中随机抽取3人做进一步的访谈，求这3人中不满意的人数的概率分布及数学期望.
附：，其中.
0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
17.（15分）
如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，平面平面，.
（1）若点为棱的中点，求二面角的余弦值；
（2）若，设直线与平面，平面所成的角分别为，求的最大值.
18.（17分）
对于函数，记.已知定义在上的函数满足，当时，，其中是给定的正整数，记集合.
（1）当时，求；
（2）证明：当时，；
（3）求.
19.（17分）
在空间直角坐标系中，一个质点从原点出发，每秒向轴正 负方向 轴正 负方向或轴正 负方向移动一个单位，且向六个方向移动的概率均相等.如在第1秒末，质点会等可能地出现在六点处.
（1）求该质点在第4秒末移动到点的概率；
（2）设该质点在第2秒末移动到点，记随机变量，求的均值；
（3）设该质点在第秒末回到原点的概率为，证明：.
参考答案
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15.解：
因为的展开式的各项系数和为，
所以，解得，
所以，
展开式的通项公式为，
令，得，
所以展开式中的常数项为；
证明：因为
，
所以；
证明：因为由知，
所以

16.解：
零假设为满意度与考生类型相互独立，即满意度与考生类型无关．
由列联表可得：
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
所以有的把握认为满意度与考生类型有关．
高考生共有人，其中不满意的有人，满意的有人，
由分层抽样，其中抽得不满意的有人，满意的有人，
由题意，的可能取值为，
则，，，
所以的分布列为：
．

17.解：
连接，因为，所以，
又，，所以四边形为菱形，
又，故菱形为正方形，
故，由勾股定理得，
因为，所以，
由勾股定理逆定理得，故为等腰直角三角形，
取的中点，连接，则，
因为平面平面，交线为，平面，
所以平面，
又，所以，，故两两垂直，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
，
平面的法向量为，
设平面的法向量为，
则
令，则，故，
故，
设二面角的大小为，由图形可知，为锐角，

故二面角的余弦值；
设，则，
解得，故，
，，
平面的法向量为，平面的法向量为，
故
，
，
故，
，令，
则，
故当时，取得最大值，最大值为．

18.解：
当时，，
当时，，所以，则，所以，
当时，，所以，则，所以，
，
；
设，则，
，故
设，则，
，故；
设，则，
，故；
设，则，
，故；
综上，当时，．
，由知当时，有，故，
而，故．
当时，，
，
由上，当且时，；
下证：对于任意且．
由知，若，则，故；
若，则，故；
综上，对于任意且．
故．

19.解：
在第秒末质点要移动到点，需要沿轴正方向移动次，
沿轴正方向移动次，所以共有种可能．
故该质点在第秒末移动到点的概率为．
质点在第秒可能移动到点，
，
，
所以的所有可能取值为．
，
所以．
质点要在第秒末回到原点，
则必定向轴正、负方向移动相同的次数，设为次，
向轴正、负方向移动相同的次数，设为次，
向轴正、负方向移动相同的次数，为次
所以
所以．

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