2023-2024学年江苏省常州市教育学会高二下学期6月学业水平监测数学试题（含答案）

2023-2024学年江苏省常州市教育学会高二下学期6月学业水平监测
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知曲线在处的切线斜率为，则( )
A. B. C. D.
3.对于实数，“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.从名男生与名女生中选出人担任班委，则“恰有名男生与名女生当选”的概率是( )
A. B. C. D.
5.某市为了解高一新生的身高情况，抽取了位高一新生的身高作为样本若高一新生的身高近似服从正态分布，且，则在位高一新生中身高在区间内的人数约为( )
A. B. C. D.
6.已知，，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知函数的部分图象如图，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数及其导数的定义域均为，对任意实数，，且当时，不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知符号函数，则( )
A. 是周期函数
B. 对任意的，
C. 函数的值域为
D. 函数的值域为或
10.现有编号分别为，，的三个袋子，装有质地均匀且大小相同的小球号袋中有个小球，其中红球个；号袋中有个小球，其中红球个；号袋中有个小球，其中红球个现将所有小球标记后放入一个袋中混合均匀，从中随机抽取一个小球，记事件：该球为红球，事件：该球出自编号为的袋子，则( )
A. B. C. D.
11.在棱长为的正方体中，为的中点，点在正方形内部及其边界上运动，则下列说法正确的有( )
A. 当时，点的轨迹长度为
B. 若平面，则长度的最小值为
C. 当时，二面角的余弦值的最小值是
D. 记直线与平面所成角为，则的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，，若存在实数，，使得，请写出的一个可能值： ．
13.如图，在半径为的半圆形纸片中，为圆心，为直径，是弧的中点，是弧的中点，将该纸片卷成一个侧面积最大的无底圆锥后，异面直线与所成角的余弦值是 ．
14.定义表示中最小的 数，已知实数满足，，则的最大值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，命题：，为真命题实数的取值集合记为．
求集合；
设的定义域为集合，若，求实数的取值范围．
16.本小题分
如图，直线平面，四边形是梯形，，，为线段上异于端点的一点，，四边形是平行四边形．
若是的中点，求证：平面；
求二面角的大小．
17.本小题分
在在区间上单调递增，，这三个条件中任选一个，补充在下面题目中，并解答已知函数，___________．
当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标变为倍纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调增区间．
18.本小题分
某研发团队研发了一款聊天机器人，在对某一类问题进行测试时发现，如果输入的问题没有语法错误，机器人作答正确的概率为；如果出现语法错误，机器人作答正确的概率为假设每次输入的问题出现语法错误的概率为，且每次输入问题，机器人的作答是否正确相互独立该研发团队成员小王想挑战一下聊天机器人，与机器人各自从给定的个问题中随机抽取个作答已知在这个给定的问题中，小王恰好能正确作答其中个问题．
对抽出的个问题，求小王能全部答对的概率；
求聊天机器人答对题数的数学期望；
答对题数较多者判定为获胜，求小王获胜的概率．
19.本小题分
已知函数，．
若在区间上单调递增，求实数的取值范围；
当时，判断关于的方程实数根的个数，并证明．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.答案不唯一
13.
14.
15.解：
因为命题：，为真命题，
所以，解得，所以；
对于函数，则，
即，因为，
解得，
所以，又，
所以，解得，即实数的取值范围为．

16.解：
连接，设其与交于，由四边形是平行四边形，则为中点，
连接，又是的中点，则，
由平面，平面，故平面；
由平面，平面，则，，
有，，平面，故平面，
又平面，故，故、、两两垂直，
故可以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
有、、、、，
则、、，
令平面与平面的法向量分别为、，
则有
令，则有，，，，
即，，
则，
由图可知，二面角为钝角，故二面角的余弦值为，
则二面角的大小为．

17.解：
选条件在区间上单调递增，
又，得，
所以满足条件，得，
又，所以取，所以；
选条件，得，
又，所以，得，所以
选条件，知是的一条对称轴，
所以，则
又，所以，
所以，
当时，，所以，
由恒成立，得，
当时，的最大值为，的最小值为，
则
所以实数的取值范围
由知，
将函数的图象向右平移个单位后，得，
再将得到的图象上各点的横坐标变为倍，得，
由，得，
的单调增区间是

18.解：
小王能全部答对的概率为；
设每次输入的问题出现语法错误为事件，则，
聊天机器人作答正确为事件，
则
，
故聊天机器人答对题数，
数学期望；
由题意可得小王最少答对道题，
小王能答对道题的概率为，答对道题的概率为，
由知，聊天机器人答对题数，
故机器人能答对道题的概率为，
机器人能答对道题的概率为，
故机器人获胜的情况为机器人能答对题且小王答对题，
故机器人获胜的概率为，
小王和机器人平局的情况为小王和机器人都答对道题和都答对道题，
其中都答对道题的概率为，
都答对道题的概率为，
所以小王获胜的概率为．

19.解：
，则有在上恒成立，
即在上恒成立，
令，则，
令，则，
则当时，恒成立，
故在上单调递增，
又，
故当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
即有，故；
当时，关于的方程有三个不同的实数根，证明如下：
当时，令，即，
令，则，
由知在上单调递减，在上单调递增，
故在上单调递减，在上单调递增，
又，，
，
故存在，，使，
由，故是方程的一个根，
则，，又时，，
故存在，使，即是方程的一个根，
存在，使，即是方程的一个根，
综上所述，当时，关于的方程有三个不同的实数根．

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