2023-2024学年湖南省株洲市炎陵县高二下学期6月期末考试数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年湖南省株洲市炎陵县高二下学期6月期末考试数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 124.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-07-05 16:33:18 | ||
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文档简介
2023-2024学年湖南省株洲市炎陵县高二下学期6月期末考试
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知随机变量服从二项分布，则( )
A. B. C. D.
2.已知变量与的回归直线方程为，变量与负相关，则( )
A. 与负相关，与负相关 B. 与正相关，与正相关
C. 与负相关，与正相关 D. 与正相关，与负相关
3.设函数，则下列函数中为奇函数的是( )
A. B. C. D.
4.已知函数，则( )
A. B. C. D.
5.某校名同学到、、三家公司实习，每名同学只能去家公司，每家公司至多接收名同学若同学甲去公司，则不同的安排方法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.有个外包装相同的盒子，其中个盒子分别装有个白球，另外个盒子分别装有个黑球，现准备将每个盒子逐个拆开，则恰好拆开个盒子就能确定个白球在哪个盒子中的概率为( )
A. B. C. D.
7.函数的图象如图所示，则( )
A. B. C. D.
8.已知，若对任意两个不等的正实数，都有恒成立，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设、是一个随机试验中的两个事件，若，，，则下列选项一定正确的是( )
A. B. C. D.
10.设，这两个正态曲线如图所示则( )
A. B.
C. D.
11.已知函数，则( )
A. 有两个极值点 B. 有一个零点
C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中的系数为 用数字作答
13.已知函数，曲线在点处
切线也是曲线的切线．则的值是
14.某食品的保鲜时间单位：小时与储存温度单位：满足函数关系为自然对数的底数，、为常数若该食品在的保鲜时间是小时，在的保鲜时间是小时，则该食品在的保鲜时间是 小时．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
若，求曲线在处的切线方程；
求函数在上的单调区间和最小值．
16.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，已知，．
求的值；
若，求的面积．
17.本小题分
某学校举办数学建模知识竞赛，每位参赛者要答道题，第一题分值为分，第二、三题分值均为分，若答对，则获得题目对应分值，若答错，则得分，参赛者累计得分不低于分即可获奖．已知甲答对第一、二、三题的概率均为，乙答对第一、二、三题的概率分别为，，，且甲、乙每次答对与否互不影响．
求甲的累计得分的分布列和期望；
在甲、乙两人均获奖的条件下，求甲的累计得分比乙高的概率．
18.本小题分
如图，在四棱锥，，，为的中点．
证明：直线平面；
若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
为考察药物对预防疾病以及药物对治疗疾病的效果，科研团队进行了大量动物对照试验．根据个简单随机样本的数据，得到如下列联表：单位：只
药物 疾病
未患病 患病 合计
未服用
服用
合计
依据的独立性检验，分析药物对预防疾病的有效性；
用频率估计概率，现从患病的动物中用随机抽样的方法每次选取只，用药物进行治疗．已知药物的治愈率如下：对未服用过药物的动物治愈率为，对服用过药物的动物治愈率为若共选取次，每次选取的结果是相互独立的．记选取的只动物中被治愈的动物个数为，求的分布列和数学期望．
附：，．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
当时，，则，
故，，
故切线方程为，即，
且，
当时，，的单调增区间为，；
当时，
当时，，当时，，
所以的单调减区间为，单调增区间为，；
当时，，所以的单调减区间为，
16.解因为，，
得，
又
所以，
整理得，
所以，
由，得，，
于是，
由及正弦定理，得．
设的面积为，则．
17.
由题意知：甲累计得分的可能取值有：，
所以，
，
，
，
，
，
的分布列为：
．
法一：根据题意得：得分不低于分即可获奖，
由知：甲获奖的概率为，
乙获奖的概率为：，
乙只得分的概率为：，
所以甲、乙两人同时获奖的概率为：，
甲、乙均获奖且甲累计得分比乙高的概率为：，
所以，在甲、乙两人均获奖的条件下，求甲的累计得分比乙高的概率为：．
法二：已知得分不低于分才可获奖，即甲、乙的得分应为或，共计种情况，其中，甲比乙高的情况，只有甲获得分，乙获得分时一种情况，故概率为：．
18.
取的中点，连接，，
因为，所以．
因为，，所以，，．
又因为平面，平面，所以平面
因为为的中点，为的中点，所以．
又因为平面，平面，所以平面
又因为，，所以平面平面．
而平面，故平面．
因为平面平面，连接交于点，连，由对称性知，为中点，且．
如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，过点作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，．
设，则，，得，，．
设平面的一个法向量为，
由于，，
则得
令，得，，故，
设直线与平面所成角为，由于，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为．
19.
解：零假设为药物对预防疾病无效果，
根据列联表中的数据，经计算得到
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断零假设不成立，
即认为药物对预防疾病有效果．
解：设表示药物的治愈率，表示对未服用过药物，表示服用过药物，
由题意可得，，
且，，
，
药物的治愈率，
则，所以，
，，
，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
．
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数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知随机变量服从二项分布，则( )
A. B. C. D.
2.已知变量与的回归直线方程为，变量与负相关，则( )
A. 与负相关，与负相关 B. 与正相关，与正相关
C. 与负相关，与正相关 D. 与正相关，与负相关
3.设函数，则下列函数中为奇函数的是( )
A. B. C. D.
4.已知函数，则( )
A. B. C. D.
5.某校名同学到、、三家公司实习，每名同学只能去家公司，每家公司至多接收名同学若同学甲去公司，则不同的安排方法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.有个外包装相同的盒子，其中个盒子分别装有个白球，另外个盒子分别装有个黑球，现准备将每个盒子逐个拆开，则恰好拆开个盒子就能确定个白球在哪个盒子中的概率为( )
A. B. C. D.
7.函数的图象如图所示，则( )
A. B. C. D.
8.已知，若对任意两个不等的正实数，都有恒成立，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设、是一个随机试验中的两个事件，若，，，则下列选项一定正确的是( )
A. B. C. D.
10.设，这两个正态曲线如图所示则( )
A. B.
C. D.
11.已知函数，则( )
A. 有两个极值点 B. 有一个零点
C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中的系数为 用数字作答
13.已知函数，曲线在点处
切线也是曲线的切线．则的值是
14.某食品的保鲜时间单位：小时与储存温度单位：满足函数关系为自然对数的底数，、为常数若该食品在的保鲜时间是小时，在的保鲜时间是小时，则该食品在的保鲜时间是 小时．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
若，求曲线在处的切线方程；
求函数在上的单调区间和最小值．
16.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，已知，．
求的值；
若，求的面积．
17.本小题分
某学校举办数学建模知识竞赛，每位参赛者要答道题，第一题分值为分，第二、三题分值均为分，若答对，则获得题目对应分值，若答错，则得分，参赛者累计得分不低于分即可获奖．已知甲答对第一、二、三题的概率均为，乙答对第一、二、三题的概率分别为，，，且甲、乙每次答对与否互不影响．
求甲的累计得分的分布列和期望；
在甲、乙两人均获奖的条件下，求甲的累计得分比乙高的概率．
18.本小题分
如图，在四棱锥，，，为的中点．
证明：直线平面；
若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
为考察药物对预防疾病以及药物对治疗疾病的效果，科研团队进行了大量动物对照试验．根据个简单随机样本的数据，得到如下列联表：单位：只
药物 疾病
未患病 患病 合计
未服用
服用
合计
依据的独立性检验，分析药物对预防疾病的有效性；
用频率估计概率，现从患病的动物中用随机抽样的方法每次选取只，用药物进行治疗．已知药物的治愈率如下：对未服用过药物的动物治愈率为，对服用过药物的动物治愈率为若共选取次，每次选取的结果是相互独立的．记选取的只动物中被治愈的动物个数为，求的分布列和数学期望．
附：，．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
当时，，则，
故，，
故切线方程为，即，
且，
当时，，的单调增区间为，；
当时，
当时，，当时，，
所以的单调减区间为，单调增区间为，；
当时，，所以的单调减区间为，
16.解因为，，
得，
又
所以，
整理得，
所以，
由，得，，
于是，
由及正弦定理，得．
设的面积为，则．
17.
由题意知：甲累计得分的可能取值有：，
所以，
，
，
，
，
，
的分布列为：
．
法一：根据题意得：得分不低于分即可获奖，
由知：甲获奖的概率为，
乙获奖的概率为：，
乙只得分的概率为：，
所以甲、乙两人同时获奖的概率为：，
甲、乙均获奖且甲累计得分比乙高的概率为：，
所以，在甲、乙两人均获奖的条件下，求甲的累计得分比乙高的概率为：．
法二：已知得分不低于分才可获奖，即甲、乙的得分应为或，共计种情况，其中，甲比乙高的情况，只有甲获得分，乙获得分时一种情况，故概率为：．
18.
取的中点，连接，，
因为，所以．
因为，，所以，，．
又因为平面，平面，所以平面
因为为的中点，为的中点，所以．
又因为平面，平面，所以平面
又因为，，所以平面平面．
而平面，故平面．
因为平面平面，连接交于点，连，由对称性知，为中点，且．
如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，过点作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，．
设，则，，得，，．
设平面的一个法向量为，
由于，，
则得
令，得，，故，
设直线与平面所成角为，由于，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为．
19.
解：零假设为药物对预防疾病无效果，
根据列联表中的数据，经计算得到
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断零假设不成立，
即认为药物对预防疾病有效果．
解：设表示药物的治愈率，表示对未服用过药物，表示服用过药物，
由题意可得，，
且，，
，
药物的治愈率，
则，所以，
，，
，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
．
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