2023-2024学年江苏省三校高二下学期5月学业水平选择性考试数学试题（含答案）

2023-2024学年江苏省三校高二下学期5月学业水平选择性考试
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.人站成一列，甲、乙两人相邻的不同站法的种数为( )
A. B. C. D.
2.函数的单调递增区间是( )
A. B. C. D.
3.函数在处有极值为，则( )
A. 或 B. 或 C. D.
4.某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，则在刮风天里下雨的概率为( )
A. B. C. D.
5.二项式展开式中常数项等于( )
A. B. C. D.
6.已知点，则( )
A. B. C. D.
7.设，则( )
A. B. C. D.
8.用红、黄、蓝、白、黑五种颜色在“田”字型的个小方格内涂色，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知的展开式中共有项，则下列选项正确的有( )
A. 所有项的二项式系数和为 B. 所有项的系数和为
C. 系数最大的项为第项 D. 有理项共项
10.已知函数，下列关于的四个命题，其中真命题有( )
A. 函数在上是增函数
B. 函数的最小值为
C. 如果时，，则的最小值为
D. 函数有个零点
11.在棱长为的正方体中，与交于点，则
A. 平面 B. 平面
C. 与平面所成的角为 D. 三棱锥的体积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，那么
13.某工厂将甲、乙等五名新招聘员工分配到三个不同的车间，每个车间至少分配一名员工，且甲、乙两名员工必须分到同一个车间，则不同分法的种数为 ．
14.已知函数，若不等式恒成立，则的最小值为 ；
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
坛子里放着个大小，形状都相同的咸鸭蛋，其中有个是绿皮的，个是白皮的，如果不放回地依次拿出个鸭蛋．
求第次拿出绿皮鸭蛋的概率；
在第次拿出绿皮鸭蛋的条件下，求第次拿出绿皮鸭蛋的概率．
16.本小题分
如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面．
Ⅰ证明：；
Ⅱ若，求二面角的余弦值．
17.本小题分
设，求下列各式的值：
；
；
．
18.本小题分
如图，四棱锥中，底面，，，，为线段上一点，，为的中点．
Ⅰ证明平面
Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
已知函数，其中为自然对数底数．
当时，求函数在点处的切线方程；
讨论函数的单调性，并写出相应的单调区间；
已知，若函数对任意都成立，求的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.解：
记“第次拿出绿皮鸭蛋”为事件，
易知；
即第次拿出绿皮鸭蛋的概率为；
记“第次拿出绿皮鸭蛋”为事件，
则可得，
由条件概率计算公式可得；
所以在第次拿出绿皮鸭蛋的条件下，求第次拿出绿皮鸭蛋的概率为．

16.解：设，
Ⅰ证明：因为，，，
由余弦定理得，
，故BD，
底面，平面，
，又，、平面，
平面，
又平面，．
Ⅱ解：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则 ， ， ，．
．
设平面的法向量，
则，取，得，
设平面的法向量，
则，取，得，
设二面角的平面角为，由图象知为钝角，则 ．
故二面角的余弦值为 ．

17.解：
解：由，
令，可得．
解：令，可得，
所以．
解：令，可得，
令，可得，
所以

18.解：由已知得，
取的中点，连接，，由为中点知，．
又，故，四边形为平行四边形，于是
因为平面，平面，所以平面．
Ⅱ取的中点，连结由得，从而，且
以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系由题意知，
，，，，
，，．
设为平面的一个法向量，则
即
可取．
于是．
故求直线与平面所成角的正弦值为．

19.解：
当时，，，，
函数在点处的切线方程为，
即．
，
当时，，函数在上单调递增；
当时，由得，
时，，单调递减；
时，，单调递增．
综上，当时，函数的单调递增区间为；
当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
由知，当时，函数在上单调递增，不可能恒成立；
当时，，此时；
当时，由函数对任意都成立，得，
，，
，
设，
，
由于，令，得，，
当时，，单调递增；
时，，单调递减．
，即的最大值为，
此时．

第1页，共1页