2023-2024学年四川省泸州市江阳区高二下学期6月期末数学试题（含答案）

2023-2024学年四川省泸州市江阳区高二下学期6月期末数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线，，若，则( )
A. B. C. D.
2.求以为圆心，且经过点的圆的一般方程( )
A. B.
C. D.
3.已知双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于，那么点到另一个焦点的距离等于( )
A. B. 或 C. D.
4.已知等差数列中，，则公差( )
A. B. C. D.
5.甲、乙、丙、丁、戊名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有，，三个小区可供选择，每个志愿者只能选其中一个小区则每个小区至少有一名志愿者，且甲不在小区的概率为( )
A. B. C. D.
6.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
7.下列说法正确的有个
已知一组数据的 方差为，则的方差也为．
对具有线性相关关系的变量，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是．
已知随机变量服从正态分布，若，则．
已知随机变量服从二项分布，若，则．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
8.如图，在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，则下列结论正确的是( )
A. 存在点，使得
B. 存在点，使得平面
C. 三棱锥的体积是定值
D. 存在点，使得与所成的角为
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，若随机事件，相互独立，则( )
A. B. C. D.
10.若，则( )
A.
B.
C.
D.
11.已知为坐标原点，过抛物线：焦点的直线与交于，两点，其中在第一象限，点若，则( )
A. 直线的斜率为 B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列满足，，则 ．
13.若随机变量的数学期望和方差分别为，，则对于任意，不等式成立在年湖南省高三九校联考中，数学科考试满分分，某校高三共有名学生参加考试，全体学生的成绩，则根据上述不等式，可估计分数不低于分的学生不超过 人
14.若函数在上存在单调递减区间，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知是各项均为正数的等比数列，．
求的通项公式；
设，求数列的前项和．
16.本小题分
某单位为丰富员工的业余生活，利用周末开展趣味野外拉练，此次拉练共分，，三大类，其中类有个项目，每项需花费小时，类有个项目，每项需花费小时，类有个项目，每项需花费小时．要求每位员工从中随机选择个项目，每个项目的选择机会均等．
求小张在三类中各选个项目的概率；
设小张所选个项目花费的总时间为小时，求的分布列．
17.本小题分
如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点．
求证：平面；
求二面角的正弦值；
求点到平面的距离．
18.本小题分
已知双曲线：，点为双曲线右支上一点，、为双曲线的左、右顶点，直线与轴交于点，点在轴正半轴上，点在轴上．
若点，，过点作的垂线交该双曲线于，两点，求的面积；
若点不与重合，从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
；；注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
19.本小题分
已知函数．
若，求的最大值；
若，其中，求实数的取值范围．
参考答案
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15.【详解】因为数列是各项均为正数的等比数列，，，
所以令数列的 公比为，，，
所以，解得舍去或，
所以数列是首项为、公比为的等比数列，．
因为，所以，，，
所以数列是首项为、公差为的等差数列，．

16.解：
记事件为“在三类中各选个项目”，则，
所以小张在三类中各选个项目的概率为．
由题知的所有可能取值为，，，，，，
则，，
，，
，．
所以的分布列为

17.解：
在正三棱柱中，取中点，过作，连接，
由平面，得平面，平面，则，，而，即两两垂直，
以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，
有，于是，，
即，，而又平面，
所以平面．
由知，平面，则是平面的法向量，
设平面的法向量，而，，
则，取，得，
则，设二面角的平面角为，
因此，
所以二面角的正弦值为．
由知是平面的法向量，而向量，
所以点到平面的距离为．

18.解：由已知可得， ， ．
因为点 ，直线 的斜率为 ，
所以直线 的垂线 的方程为 ，
整理可得， ．
设点 ， ，
联立直线 与双曲线的方程 可得， ，
则 ，且 ，
所以， ．
原点 到直线 的距离为 ，
所以， 的面积为 ．
如图，
为条件，为结论：
令点 ， ，且 ，
因为 三点共线，所以 ．
又 ，所以点 的坐标为 ，
直线 的斜率为 ．
又 ，所以 ，
设点 ，
则直线 的斜率 ，
所以 ，
所以 ；
为条件，为结论：
令点 ， ，且 ，
因为 三点共线，所以 ．
又 ，所以点 的坐标为 ，
又 ，点在轴正半轴上，所以 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
所以， ；
为条件，为结论：
令点 ， ，且 ，不妨设 ．
因为 三点共线，
所以 ，且 ．
因为 ，点在轴正半轴上，所以 ．
因为 ，所以 ．
又 ，
所以， ，且 ，
所以， ，即 ．

19.解：
当时，，则．
令，则，
在上单调递减．
又，
存在使得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
有最大值
另法：当时，，令，
则，其中，，
当时，单调递增；当时，单调递减，故，即的最大值为．
令，
由题意知的取值应满足函数有两个零点．
易得，
若，则，在上单调递增，
至多有一个零点，不符合题意，舍去；
若，则当时，单调递减；
当时，单调递增．
要使函数有两个零点，则
易知．
令，则，
令，则，
在上单调递增，
在上单调递减，
，
由知在和上各有一个零点，
则实数的取值范围为
另法：令，
由题意知的取值应满足函数有两个零点，
若，易知单调递增，不符合题意，舍去；
若，由知，，
令，则，
在上单调递减，在上单调递增．
又，且时，，解得，
故实数的取值范围为．

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