2023-2024学年湖北省武汉市江岸区高二下学期7月期末质量检测数学试题（含解析）

2023-2024学年湖北省武汉市江岸区高二下学期7月期末质量检测
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.若随机变量X~B(n,0.4),且D(X)=1.2,则P(X=4)的值为（）
A. 2 B. 3 C. 2 D. 3
4.某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这四个变量的关系，随机抽查名中学生，得到如下个列联表，则与性别有关联的可能性最大的变量是( )
性别 成绩 合计
及格 不及格
男
女
合计

性别 视力 合计
及格 不及格
男
女
合计

性别 智商 合计
及格 不及格
男
女
合计

性别 阅读量 合计
及格 不及格
男
女
合计
A. 成绩 B. 视力 C. 智商 D. 阅读量
5.已知，，且满足，则( )
A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为
6.定义“等方差数列”如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的方公差设数列是由正数组成的等方差数列，且方公差为，，则数列的前项和为( )
A. B. C. D.
7.某医院要派名男医生和名女医生去，，三个地方义诊，每位医生都必须选择个地方义诊，要求，，每个地方至少有一名医生，且都要有女医生，同时男医生甲不去地，则不同的安排方案为( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
8.已知定义在上的函数，设的极大值和极小值分别为，，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知变量和变量的一组成对样本数据的散点落在一条直线附近，，，相关系数，线性回归方程为，则( )
A. 当越大时，成对数据样本相关性越强
B. 当时，
C. 当，时，成对样本数据的相关系数满足
D. 当，时，成对样本数据的线性回归方程满足
10.已知，且，则( )
A. B. ，使得
C. 可能大于 D.
11.冒泡排序是一种计算机科学领域的较简单的排序算法，其基本思想是：通过对待排序序列从左往右，依次对相邻两个元素，，，比较大小，若，则交换两个数的位置，使值较大的元素逐渐从左移向右，就如水底下的气泡一样逐渐向上冒，重复以上过程直到序列中所有数都是按照从小到大排列为止例如：对于序列进行冒泡排序，首先比较，需要交换次位置，得到新序列，然后比较，无需交换位置，最后比较，又需要交换次位置，得到新序列最终完成了冒泡排序，同样地，序列需要依次交换，完成冒泡排序因此，和均是交换次的序列现在对任一个包含个不等实数的序列进行冒泡排序，设在冒泡排序中序列需要交换的最大次数为，只需要交换次的序列个数为，只需要交换次的序列个数为，则( )
A. 序列是需要交换次的序列 B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若函数，为的导函数，则的值为 ．
13.的展开式中的系数为 用数字作答
14.设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，非空集合．
若时，求
是否存在实数，使得是的必要不充分条件若存在，求实数的取值范围若不存在请说明理由．
16.(本小题12分)
树人中学对某次高三学生的期末考试成绩进行统计,从全体考生中随机抽取48名学生的数学成绩(x)和物理成绩(y),得到一些统计数据:=5280,=3552,=,其中,分别表示这48名同学的数学成绩和物理成绩,i=1,2,,48,y与x的相关系数r=0.77.
(1)求y关于x的线性回归方程;
(2)从概率统计规律看,本次考试该校高三学生的物理成绩服从正态分布N(,),用样本平均数作为的估计值,用样本方差作为的估计值.试求该校高三共1000名考生中,物理成绩位于区间(63.05,95.9)的人数Z的数学期望.
附:回归方程=+x中:=,=-
相关系数r=
若~N(,),则P(-+)0.68,P(-2+2)0.95
-=120,10.95
17.本小题分
已知等差数列的前项和为，，，数列的前项和为．
求数列和的通项公式
设数列满足求
18.本小题分
如图，在一条无限长的轨道上，一个质点在随机外力的作用下，从位置出发，每次向左或向右移动一个单位的概率都为，设移动次后质点位于位置．
Ⅰ求随机变量的概率分布列及
Ⅱ求
若轨道上只有，，，这个位置质点向左或右移动一个单位的概率都为，若在处，则只能向右移动现有一个质点从出发，求它首次移动到的次数的期望．
19.本小题分
已知函数．
求函数的单调区间
证明时，
若对于任意的，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
答案解析
1.【答案】
【解析】，即，解得，，
，即，解得，，
则，
故选：．
2.【答案】
【解析】解：由基本不等式知，
所以，当且仅当时等号成立．
因而当，即时，有；
反之，取，，显然，但．
综上，“”是“”的必要不充分条件．
故选B．
3.【答案】B
【解析】解：因为X服从二项分布X～B(n,0.4)，D(X)=1.2，
∴0.4×0.6×n=1.2，解得n=5
∴P(X=4)=.
4.【答案】
【解析】解：表：；
表：；
表：；
表：，
阅读量与性别有关联的可能性最大．
故答案为．
5.【答案】
【解析】解：，，且满足，
，即，
当且仅当，即，时取等号，
的最小值为．
故选A．
6.【答案】
【解析】解：因为是方公差为的等方差数列，
所以，是公差为的等差数列，
所以，解得，又，所以，，，
所以，
所以．
故选A．
7.【答案】
【解析】解：因为男医生甲不去地，所以男医生甲有种安排方案；
另一名男医生有种安排方案；
先将名女医生分成组，然后分配到三个地方，有种安排方案，
所以不同的安排方案数为．
8.【答案】
【解析】解：由题，，
令，其开口向下且，
故必有两个异号零点，，不妨设，
根据韦达定理，，，
由于恒成立，故或时，时，，
因此，在和上单调递减，在上单调递增，
又因为时，时，，
故的最大值，最小值，
于是，
因为，故
9.【答案】
【解析】解：对于当越大时，成对数据样本相关性越强，故A错误；
对于当时，，故B正确；
对于当，时，成对样本数据的相关系数满足，故C正确；
对于当，时，成对样本数据的样本中心点不变，故线性回归方程满足，故D正确．
10.【答案】
【解析】解：由及，得，所以，
由及，得，
所以同理可得则．
所以，故A正确，C错误；
由及，得，
所以，得，
所以，得，故B错误；
由，以及，可得，
则，又，
所以，故D正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】解：
对于，序列，首先比较，无需交换位置，然后比较，交换次，得到新序列，最后比较，无需交换位置，得到新序列，再比较，交换第次，得到新序列，然后比较，无需交换位置，最后比较，无需交换位置，最终完成了冒泡排序，是需要交换次的序列，故A错误；
对于，不妨设序列的个元素为，，，交换次数最多序列是
，将元素冒泡到最右侧，需要交换次，将元素冒泡到右侧
需要交换次，，故共需要次交换，故B正确
对于选项C，只需要交换次的序列是将序列中的任意相邻两个数字调换位
置得到的序列，故有个这样的序列，故 C正确
对于选项D，当个元素的序列顺序确定后，将添加进原序列，使得新序列共个元素交换次数也是，则在新序列中的位置只能是最后三个位置：若在新序列中的位置是最后一个位置，则不会增加交换次数，故原序列交换次数为这样的序列有个若在新序列中的位置是倒数第个位置，则会增加次交换，故原序列交换次数为这样的序列有个若在新序列中的位置是倒数第个位置，则会增加次交换，故原序列交换次数为这样的序列只有个，因此，
故，
故故D正确，
故选BCD．
12.【答案】
【解析】解：，
．
故答案为
13.【答案】
【解析】解：展开式的第项为，
所以展开式中的系数为．
故答案为
14.【答案】
【解析】解：因为，，，
所以，解得：
所以
故答案为
15.【答案】解：集合，当时，非空集合，．
假设存在实数，使得是的必要不充分条件，则，即，则解得故存在实数，使得是的必要不充分条件．
【解析】
化简集合，求得补集，利用求得结果
假设存在实数，使得 是 的必要不充分条件，可得 ，即求得结果．
16.【答案】【解答】解:(1)由题中数据可得,==110,==74,
由r==0.77,可得r,
回归方程为=0.42x+27.8；
(2)=74,==-=120,
~N(74,120),又10.95，
P(63.05<<84.95)=0.68,P(52.1<<95.9)=0.95，
P(63.05<<95.9)==0.815,Z~N(74,120),
E(Z)=10000.815=815所以物理成绩位于区间(63,96)的人数Z的数学期望为815.
【解析】
（1）利用公式，直接代入即可求得；
(2)利用正态分布的概率，即可求出.
17.【答案】【解答】解：设的公差为，由题设得解得，，所以，
当时，，，也符合上式
所以．
记
则
得，，
所以
【解析】
利用已知条件即可求出和的通项公式；
利用已知求出数列的和．
18.【答案】解：可能取值为，，，，，
，
，
，
，
，
；
设质点次移动中向右移动的次数为，显然每移动一次的概率为，则∽，，所以；
设首次从到的步数期望为，则有，所以，可得又小球在处，只能向前移动到，则有，
所以，又有，则．
【解析】
根据可能取值为，，，，，即可求出分布列和期望；
利用有，即可找到关系，求出
19.【答案】解：，当时，当时，，
的增区间为，减区间为
令，当时，当时，，当时，，
，
即，
原不等式等价于，为上的减函数，，
只需证明，即，
令，当时，，当时，，
，原不等式成立．
当时，由知，又，原不等式在上恒成立当时，令，．
，在内必有零点，设为，则，，，，而，综上所述实数的取值范围是
【解析】
首先求导，再解和即可；
利用导数求导，不等式等价于，再求导即可；
利用恒成立，得出不成立，即可得出的取值范围．
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