2023-2024学年浙江省嘉兴市高二下学期6月期末检测数学试题（含解析）

2023-2024学年浙江省嘉兴市高二下学期6月期末检测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.的展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
3.设，为两个不同平面，直线，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.下列说法错误的是( )
A. 若样本相关系数的绝对值越接近于，则两变量的线性相关程度越强
B. 一组数据，，，，，，，，，的第百分位数为
C. 由样本点，，，得到回归直线，则这些样本点都在该回归直线上
D. 若，，，则事件与事件相互独立
5.已知非零向量与满足，且，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
6.由甲、乙、丙三个地区的学生参加的某项竞赛，已知这三个地区参加竞赛人数的比为，且甲、乙、丙三个地区分别有，，的学生竞赛成绩优秀若小嘉同学成绩优秀，则他来自下列哪个地区的可能性最大( )
A. 甲地区 B. 乙地区 C. 丙地区 D. 不能确定
7.已知函数在区间上的值域为，则实数的取值可以是( )
A. B. C. D.
8.已知函数，，若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数其中是虚数单位，则下列说法正确的是( )
A. 的虚部为
B.
C. 在复平面内对应的点位于第四象限
D. 若，则，
10.已知函数及其导函数的定义域均为，若，均为奇函数，则下列说法中一定正确的是( )
A. B. 的图象关于点对称
C. D.
11.年月嘉兴市普通高中期末检测的数学试卷采用新结构，其中多选题计分标准如下：每小题的四个选项中有两个或三个正确选项，全部选对得分，有选错的得分部分选对得部分分若某小题正确选项为两个，漏选一个正确选项得分若某小题正确选项为三个，漏选一个正确选项得分，漏选两个正确选项得分若每道多选题有两个或三个正确选项等可能，在完成某道多选题时，甲同学在选定了一个正确选项后又在余下的三个选项中随机选择个选项，乙同学在排除了一个错误选项后又在余下的三个选项中随机选择个选项，甲、乙两位同学的得分分别记为和，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量X~N(1,),且P(X<0)=,则P(X>2)= .
13.某班一天上午有节课，下午有节课，现要安排该班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术堂课的课程表，要求数学课不排在下午，体育课不排在上午第节，则不同的排法总数是 用数字作答
14.已知，，，为球的球面上四个点，且满足，，，平面，则球的表面积的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求函数在处的切线方程
当时，求函数的最大值．
16.本小题分
已知的内角，，的对边分别是，，，且C.
求角的大小
若，，求的面积．
17.本小题分
如图，和都垂直于平面，且，．
证明：平面平面
当平面与平面的夹角为时，求几何体的体积．
18.本小题分
为了了解某市市民平均每天体育锻炼的时间，在该市随机调查了位市民，将这位市民每天体育锻炼的时间单位：分钟分为，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图：
求的值并估计该市市民每天体育锻炼时间的平均数
假设每天的体育锻炼时间达到分钟及以上为“运动达人”若从样本中随机抽取一位市民，设事件“抽到的市民是运动达人”，“抽到的市民是男性”，且．
(ⅰ)求和
(ⅱ)假设有的把握认为运动达人与性别有关，求这次至少调查了多少位市民
附：．
19.本小题分
已知函数．
当时，求的单调区间
当时，求证：在区间有唯一的极值点
若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围．
答案解析
1.【答案】
【解析】解：集合，，
故．
2.【答案】
【解析】解：二项式展开式的通项公式为，
令，可得展开式中的系数为．
3.【答案】
【解析】解：由于，直线，则成立，
反之若直线，，则或与相交，
“是“”的充分不必要条件．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：选项，若样本相关系数的绝对值越接近于，
则两变量的线性相关程度越强，故A正确；
选项，因为，
所以数据的第百分位数为，故B正确；
选项，回归直线必过样本数据中心点，但样本点可能全部不在回归直线上，故C错误；
选项，因为，，，
则，所以事件与事件相互独立，故D正确．
故选C．
5.【答案】
【解析】解：，
则两边同时平方可得，，即，
因为，得 ，
所以 ，
又，
所以，
所以，
所以所以向量在向量上的投影向量为：
．
故选A．
6.【答案】
【解析】解：因为这三个地区参加竞赛人数的比为，
所以甲、乙、丙三个地区参加竞赛的人数分别为：人、人、人，
又甲、乙、丙三个地区分别有，，的学生竞赛成绩优秀，
则优秀的人数分别为：，
因为，
所以，
，
所以甲地区成绩优秀的人数多，
所以小嘉来自下列哪个地区的可能性最大．
故选A．
7.【答案】
【解析】解：
，
当时，，
因为在区间上的值域为，
所以，解得，
所以实数的取值可以是．
故选B．
8.【答案】
【解析】解：，即，
构造函数，，
当时单调递减，当时单调递增，
因为，所以，
此时，
令，，
所以当时，单调递减，当时，单调递增，
所以的最小值为．
答案为．
9.【答案】
【解析】解：，
复数虚部为，A错误
，B正确；
在复平面内对应的点为位于第四象限，C正确；
若，则，
所以，解得，，D正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】解：因为为奇函数，所以，
所以，即，故A正确；
由，可得，即，
所以的图象关于对称，故B错误；
因为均为奇函数，所以，即，
所以，即，
所以，故C正确；
因为均为奇函数，所以为偶函数，
所以，即．
因为，所以，即，
所以．
因为，所以，
所以，
所以，故D正确．
11.【答案】
【解析】解：，，，
的分布列为
由此可得
．
，，，
的分布列为
由此可得，
．
综上，答案为．
12.【答案】
【解析】解：∵随机变量X～N（1，σ 2），
∴正态分布曲线的对称轴为x=1，
∴P（X＞2）=P（X<0）=，
故答案为．
13.【答案】
【解析】解：分数学课排在上午第一节和不排在上午第一节两种情况：
数学课排在上午第一节，不同的排法有：
种排法；
数学课不排在上午第一节，不同的排法有：
种排法；
所以不同的排法总数是．
故答案为．
14.【答案】
【解析】解：如图，以为底，为高补成直三棱柱，，分别为，的外心，易知球心即为中点，设球心半径为，外接圆半径为，则，由正弦定理可知：，当时取等号，，，．
15.【答案】解：因为，所以，，所以切线方程为，即．
令，，，因为，所以在，单调递增，单调递减，所以．
【解析】
求导，根据导数的几何意义求出切线斜率，然后根据点斜式方程求解即可；
求导，根据导函数的正负判断原函数的单调性，根据单调性求最值即可。
16.【答案】解：因为，
所以，
则，
即，
所以，
因为，故C．
，
所以，所以，．
所以，
因为，所以，，
所以．
【解析】
由正弦定理和三角恒等变换得，可得的大小；
由化简得，再由正弦定理得，结合，得出、的值，利用三角形面积公式可得结果．
17.【答案】证明：取中点，中点，连，，，
则，且．
又平面，平面，，
又，且，且，
四边形为平行四边形，，
平面，平面，，．
，是中点，，
，平面，且，
平面，
又平面，平面平面．
解：由可得，，平面．
故如图建立空间直角坐标系．
设，则，，，
，，
设平面法向量为，
则，取．
易知平面法向量，
，解得．
此时，．

【解析】
取中点，中点，连，，，根据线面垂直和面面垂直的判定定理进行证明即可；
建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解即可．
18.【答案】解：，解得，
所以每天体育锻炼时间的平均数为：
；
由频率分布直方图可知：，
，
，
，解得；
(ⅱ)由可得，列联表为：
合计
合计
，解得，
取最小值，
所以该样本至少有人．
【解析】
利用频率之和为，即可求出，利用频率分布直方图中平均数的求解，即可求出平均数；
由频率分布直方图直接求出，利用，即可求出；
(ⅱ)写出列联表，计算出的值，即可求出结果．
19.【答案】解：，当时，，单调递增；当时，，单调递减；
的单调递增区间为，单调递减区间为．
令，，
当时，，当时，，在单调递减，单调递增．
又，，
存在唯一实数，使得，
当时，，即，当时，，即，在单调递减，单调递增，
区间有唯一极小值点得证．
由知：在单调递减，单调递增，且．
当，即时，在单调递增，所以，解得，故无解
当，即时，在单调递减，所以恒成立，故
当，即时，在单调递减，在单调递增，所以，
解得，故综上所述，．
【解析】
求出函数的导数，根据导数的正负求解不等式即可得单调区间；
令求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间即可得区间有唯一极小值点；
由知：在单调递减，单调递增，且，讨论与，的大小，从而得出结论．
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